Аргумент щодо паралаксу місяця Для науки
Проста помилка знаку, допущена в підрахунку, опублікованому Ейлером у 1751 р., Призвела до тривалої сварки між французькими астрономами Жеромом Лаландом та П'єром-Шарлем Ле Монньє.
Так, у 1751 р. За рекомендацією його господаря П'єра-Шарля Ле Монньє Короля Академії наук Жером Лаланд, якому було лише 19 років, відправив до Берліна для проведення програми узгоджених спостережень з тими, що проводились Ніколас-Луї Лакай на мисі Доброї Надії. Метою цих спостережень було по суті визначити з точністю “паралакс” Місяця, кутовий параметр, тісно пов’язаний з його віддаленістю від Землі. Саме про цей паралакс великий швейцарський учений Леонард Ейлер зробив трохи необережності в розрахунках, помилка, яка була причиною суперечки між Ле Монньє та Лаландою.
Що таке паралакс? Спостерігач, розташований на поверхні Землі, визначає положення зірки на небі за двома кутами - висотою та азимутом, виміряними щодо площини горизонту та меридіана. Значення цих координат, як правило, відрізняються від тих, які вони мали б взяти, якби місце спостереження було центром Землі, оскільки зірка не була б спрямована точно в одному напрямку (див. Рисунок 1).
Цей так званий добовий ефект паралаксу незначний для зірок через їх дуже велику відстань. Але це чутливо для планет, а тим більше для Місяця. Зокрема, висота зірки над горизонтальною площиною спостерігача на землі, яка кваліфікується як "видима висота", як правило, менша за висоту, яка вимірюється від центру Землі відносно паралельної площини. Іншими словами, видима висота менше "справжньої висоти". Різниця між цими двома висотами полягає у "паралаксі висоти".
Дві суперечливі думки
Повернувшись у Париж, після року, проведеного в Берліні, де він довгий час перебував з Ейлером, Лаланд піклувався про паралакс Місяця. Він написав два мемуари на цю тему, що принесло йому вступ до Академії наук в 1753 році. Це був лише початок довгої і блискучої кар'єри, під час якої він взяв керівництво Паризькою обсерваторією і здобув кафедру в Королівському Коледж, назва Французького коледжу під владою Ансієна.
Згодом, коли Академія доручила йому в 1758 р. Відповідальність за Connaissance des Temps, Лаланд зробив кілька змін у змісті цих ефемерид. Зокрема, він вставив таблиці, що стосуються місячного паралаксу, у виданнях 1760 і 1761 років, надрукованих у 1759 році. Саме в цей час ворожнеча за паралакс між ним та Ле Монньє бере свій початок з.
Після геодезичної експедиції паризьких академіків у Лапландії (1736-1737), у якій брав участь Ле Монньє, та тієї, що в Перу (1735-1744), гіпотеза про еліпсоїдальну Землю, приплюснуту до полюсів, була дуже загальновизнаною. Проведення точних обчислень, пов’язаних із видимим положенням Місяця на небі, вимагало врахування цього сплощення Землі, і це було об’єктом нових таблиць Лаланда в «Знанні часів».
Астрономи знали, що паралакс висоти зірки, який вони раніше висновували з її видимої висоти, припускаючи, що Земля має сферичну форму, повинен бути переглянутий за припущенням сплощеної Землі. Таким чином, Лаланд стверджував, що сплощення Землі призвело до зменшення паралаксу висоти Місяця. Але Ле Монньє стверджував протилежне! Чому ?
У томі мемуарів Берлінської академії 1749 року, опублікованих в 1751 році, Ейлер опублікував статтю, в якій в результаті вивчених розрахунків він дійшов висновку, що при сплощеній Землі "паралакс висоти зазвичай буде [поза полюсами та екватором] більший, ніж за загальним правилом [де Земля сферична] ”. Немає сумнівів, що ці мемуари та авторитет Ейлера, величезної фігури науки XVIII століття, мали багато спільного з Ле Монньє. Більше того, Ле Монньє повинен був базувати своє переконання на простому, але неправильному аргументі, як ми побачимо.
По поверненню з Берліна Лаланд ініціював листування з Ейлером, з якого у нас залишилося 15 листів від нього самого, останній датований 1768 р. У своєму листі від 1 січня 1761 р. Лаланд не напав лоб на Лойлера за його висновку темою паралаксу, але він не погодився з одним із термінів формули, яка відповідала за цей висновок.
Ця формула Ейлера, встановлена в загальному випадку сплощеної еліпсоїдної Землі, повинна була виражати синус паралаксу висоти як функцію видимої висоти. Але, з необхідними запобіжними заходами, коли хтось змагається з таким престижним вченим, як Ейлер, Лаланд припустив, що, можливо, сталася плутанина, бо йому здавалося, що формула була б правильнішою, якщо б вона поєднувалась із справжньою висотою, а не з видимою висотою. Роблячи це, Лаланд поклав палець на аномалію, яка втекла Ейлеру.
"Невеликий недогляд"
Після встановлення цієї загальної формули - як ми її позначимо далі - Ейлер випробував її, застосувавши до конкретного випадку, коли земний еліпсоїд був би сферою. Таким чином він сподівався відновити звичний вираз синуса паралаксу висоти і, справді, мав задоволення отримати формулу, яку знав. Однак з цим недоліком, що останній виражав синус паралаксу висоти відповідно до справжньої висоти.
Цілком випадково тест Ейлера дав класичну формулу. хто помилився. І ось як Ейлер дав потрапити в пастку: не помітивши неможливої мутації висоти між двома своїми формулами, він прийняв для послідовності підтвердження точності своїх обчислень, що насправді було невідповідністю, що підтверджує помилковість загальної формули !
Ейлер був кваліфікованим калькулятором, і йому особливо сподобався розвиток функцій у ряді ступенів змінної. У мемуарах, які стосуються нас, трапляється навіть, що вони розробляють функції до третього порядку (тобто до ступеня трьох) без необхідності, оскільки для його подальших обчислень для цього достатньо першого порядку.! Встановивши точний, але незручний вираз синуса паралаксу висоти в гіпотезі сплощеної Землі, він за допомогою законних наближень виводить свою загальну формулу, оскаржену Лаландою. Для цього, не даючи деталей своїх розрахунків, Ейлер використовує розробку, обмежену другим порядком щодо величини r/z, часткового земного радіуса r, що йде від центру Землі до спостерігача на відстань z розділення центрів Землі та Місяця. Тепер, якщо ми знову проведемо ці обчислення, виявиться, що першому з його членів другого порядку, якому Ейлер присвоює знак +, повинен передувати знак -.
Астроном Жан-Батіст Деламбр, вихованець Лаланди, який, як і він, був директором Паризької обсерваторії, у вісімнадцятому столітті написав "Історію астрономії", опубліковану в 1827 році, в якій написав: нагляд, здійснений Ейлером або його друкарем, оскільки це був знак + або -. Перейдемо до "незначної ненавмисності", яка завжди є ознакою помилки, хоча вона може виявитися чреватою наслідками. Це судження Деламбр доводить, що він не мав точного знання тези Ейлера. Краще поінформувавши, він міг би знати, що ця помилка не з'явилася на завершальній фазі дослідження, але що саме в її основі був помилковий висновок, викладений Ейлером через п'ять сторінок! Якщо кілька помилок у записі, ймовірно, пов’язані з принтером, це, звичайно, не так.
Відновлення правильного знака в обмеженому розвитку Ейлера повністю змінює спірний термін із загальної формули. Таким чином виправлена і застосована до випадку сферичної Землі, ця формула знову зводиться до класичного вираження синуса паралаксу висоти, але цього разу, як і має бути, як функції видимої висоти.
Листом, який Лаланд згодом звернувся до Ейлера, ми знаємо, що останній відповів йому 2 лютого 1761 р., Визнаючи його помилку, на велике задоволення свого кореспондента. Лаланд не тільки не помилився, але він, безумовно, пишався тим, що виявив важливу помилку у написанні відомого вченого.
З таким підкріпленим, на його думку, Лаландом, протиставленим Ле Монньє, упертість якого була звичною, суперечка могла лише пожвавитись. до того, що Ле Монньє пішов так далеко, що проголосив свою доктрину на повному засіданні Академії наук, 27 січня 1762 р.
Нерозважливий Монньє
Чи Ле Монньє не знав, що він, мабуть, єдиний на її думку? У будь-якому випадку, під час цієї самої зустрічі, і оскільки він був настільки впевнений, що мав рацію, він зробив необережність апелювати до рішення своїх колег, просячи створити комісію для вирішення цього питання.
Тому Академія призначила астрономів Ніколя-Луї Лакайя та Сезара-Франсуа Кассіні де Тюрі, а також математика Алексіса-Клода Клеро, який супроводжував Ле Монньє до Лапландії, для формування комісії. Останній подав свій звіт 3 лютого наступного року, що говорить багато про роздратування, спричинене упертістю Ле Монньє серед його колег.
Преамбула цього звіту, оригінал якого в руках Лакайя зберігається в Архіві Академії наук, не передбачала Ле Монньє: "М. Ле Монньє просив, щоб Академія призначила членів комісії чи є паралакс Місяця в меридіані більшим чи меншим в гіпотезі Землі, сплощеної полюсами, ніж той, який використовується, якщо взяти той самий горизонтальний паралакс, в гіпотезі сферичної Землі, ми, комісари призначили з цією метою заявіть, що це питання, зведене до пропозиції найпростішої геометрії, не піддається обговоренню в Академії. "
Однак, оскільки Ле Монньє заявив, що він завжди збільшував свої паралакси, враховуючи сплющування Землі, комісари погодились продемонструвати протилежне. Для цього вони припускають, що з точки в північній півкулі Місяць спостерігається на південь під час проходження меридіана, що завжди відбувається для спостерігача в Європі і є неявним пунктом вирішення проблеми.
У цій ситуації паралакс висоти тоді являє собою просто кут, під яким радіус Землі, що закінчується у спостерігача, буде видно з Місяця, незалежно від того, чи є Земля сферичною чи еліпсоїдальною (див. Малюнок 1). Демонстрація комісарів склала порівняння випадку сферичної Землі, де вертикаль спостерігача спрямована до центру Землі, та вертикалі сплощеної еліпсоїдної Землі, де ця вертикаль випрямляється до осі Землі, в результаті чого зменшується в кутовій різниці між горизонтальною площиною та площиною екватора.
За цих умов при однаковій відстані від Місяця до центру Землі однакові спостережувані висоти будуть відповідати різним положенням Місяця залежно від того, сфера Землі чи сплощена, і, без розрахунку, вже очевидно, що паралакс Місяця в останньому випадку буде нижчим, ніж у першому (див. малюнок 2).
Щоб наполегливо стверджувати протилежне, Ле Монньє повинен був дозволити себе обдурити, мабуть, наступною помилкою: (а) На певній відстані від зірки, коли її видима висота збільшується, її паралакс зменшується (твердження відповідає дійсності); (b) Очевидна висота зірки, яка спостерігається на південь від місця в північній півкулі, була б більшою, якби Земля була сферичною, ніж якби вона була сплощена (справжнє твердження); (в) Отже, паралакс зірки, що спостерігається таким чином, буде меншим на сферичній Землі, ніж на сплощеній Землі (хибний висновок).
Помилка виникає внаслідок різних умов в (а) - двох положеннях зірки відносно однієї горизонтальної площини - і в (б) - положеннях тієї самої зірки щодо двох горизонтальних площин. У будь-якому випадку висновок (с) є хибним для зірки, яка спостерігається на меридіані, оскільки її паралакс, кут, під яким радіус, що йде від центру Землі до спостерігача, бачиться від зірки (див. Рисунок 1), байдужий до форми Землі.
Дивовижна помилка
Ле Монньє з цікавістю втрачав той факт, що видима висота є даними спостереження (і, отже, тут не йдеться про дві висоти), і що мова не йде про знання, більший чи менший паралакс залежно від форми Земля, але якщо оцінка, зроблена з спостережуваної висоти, більша або менша залежно від цієї форми, що не є однаковим.
Нарешті, роман перетворився на розгубленість Ле Монньє, який міцно посварився з Лаландою. Останній, який знав, що він повинен своєму колишньому господареві, марно наполягав на примиренні, тим більше, що згодом вони мали інші можливості виступити проти. На цю тему Лаланд писав у своїй астрономічній бібліографії, опублікованій у 1792 році: «Я ніколи не переставав говорити, як Діоген своєму господареві Антісфену: Ви не знайдете палиці, досить міцної, щоб забрати мене від себе. "Пізніше, за словами Деламбре, Лаланд любив говорити, що Ле Монньє зачинив йому двері" під час цілої революції вузлів Місяця ", тобто 18 років !
Демонстрація академіків комісії не лише засвідчила помилку Ле Монньє. Це показало, що великий Ейлер допустив помилку, заявивши, після довгих розрахунків, результат, який елементарні геометричні міркування, однак, легко поставити під загрозу.
Більше того, це правда, що якщо спостерігач, який все ще знаходиться в Північній півкулі, буде досить близько до екватора, він може спостерігати Місяць на північ під час його проходження по меридіану, і та сама демонстрація дасть тоді результат за згодою з думкою Ейлера та Ле Монньє. За винятком того, що останній у своєму невдалому втручанні на засіданні Академії наук від 27 січня явно взяв приклад з спостерігача, розташованого в Парижі, де попередня обставина ніколи не зустрічається.
Отже, жертва невдалого шансу і надмірної впевненості у своїх розрахунках, Ейлер упустив дві можливості виявити свою помилку, дивовижну невдачу прославленого математика, з якої мав вийти прикрий помилковий крок Ле Монньє, і маленьку перемогу, яку Лаланд звичайно не шкодував, що переміг.