Динамічні системи; Наук; Інженер

автор cfaury Опубліковано 15 січня 2020 р. Оновлено 26 січня 2020 р

динамічні

лінійної, неперервної та інваріантної системи

A динамічна система є фізичною системою, стан якої (набір величин, достатніх для того, щоб кваліфікувати систему) еволюціонує з часом. Тому вивчення еволюції динамічної системи вимагає знань:

  • його початкового стану: значення характерних величин на початковий час дослідження.
  • його закону еволюції: диференціальні рівняння, що пов'язують його характерні величини.

Тому його характерними величинами є фізичні величини, які є функціями часу.

приклади: положення x (t), температура θ (t), ...

A динамічна система можна розглядати як процес перетворення вхідного сигналу у вихідний.

У загальному випадку система може мати кілька входів (причини) та кілька виходів (наслідки).

Лінійна система

система, характерні величини якої пов’язані лінійними диференціальними рівняннями з постійними коефіцієнтами.

  • Принцип пропорційності:

  • Принцип накладання:

Безперервна система

система, характерні величини якої постійно змінюються з часом.
Варіації фізичних величин визначаються в кожен момент (вони характеризуються безперервними функціями)

Інваріантна система

система, закон еволюції якої з часом не змінюється.

Це вірно, якщо припустити, що характерні величини системи (маса, розміри, опір, опір тощо) не змінюються з часом

Порядок системи

З попередніми припущеннями, застосування законів фізики призводить до моделювання системи системою диференціальних рівнянь виду:

Примітка: ми завжди маємо \ (m \ geq n \) (інакше це не може бути моделюванням фізичної системи).

Серед систем порядку 1 і 2 можна виділити:

Примітка: чим вищий порядок моделі, тим більш «тонке» моделювання.

Системи 1-го порядку

Система від 1-й порядок якщо це можна змоделювати за допомогою диференціального рівняння типу:

\ (\ large \) викликається посилення система (одиниця \ (\ frac \))
\ (\ великий \) - це постійна часу система (одиниця: s)

Системи 2-го порядку

Система від 2-й порядок якщо це можна змоделювати за допомогою диференціального рівняння типу:

\ (\ large \) викликається посилення система (одиниця \ (\ frac \))
\ (\ великий \) - це власна пульсація система (одиниця: рад/с)
\ (\ великий \) - це коефіцієнт демпфування системи (без блоку)

Аналіз часу

Крок відповідь

Найпоширеніший спосіб перевірити тимчасову поведінку системи - це піддавати її (під час тесту або моделювання) покрокова інструкція.

Його реакція (зміна вихідної кількості) тоді називається крокова реакція.

Він ніколи не буває ідеально рівним інструкціям, і вивчення його еволюції дозволяє ідентифікувати налаштування моделі системи.

Крок відповіді системи 1-го порядку

Чудові персонажі відповіді:

  • \ (\ color \) має a горизонтальна асимптота для \ (t \ rightarrow \ infty \);
  • \ (\ color \) має a коса дотична до початку координат, яка перетинає свою асимптоту в \ (t = \ tau \).

Примітки:

  • \ (\ color \) ніколи не перевищує своєї асимптоти;
  • \ (\ tau \) вказує на швидкість системи;
  • Крокова відповідь має рівняння: \ (\ color = G \; E (1-e ^>) \)

Крок відповіді системи 2-го порядку

  • \ (z> 1 \): режим апериодичний або дієта амортизований
  • \ (z = 1 \): режим критичний
  • \ (z Аналіз частоти

Для характеристики лінійної системи ми застосовуємо a чиста синусоїда імпульсу \ (\ omega \) та амплітуди \ (E_0 \): \ (e (t) = E_0 \; sin⁡ \ omega t \) (з \ (\ omega \) в рад/с)

Ми доводимо, що стаціонарний вихідний сигнал - це чисто синусоїдальний сигнал з однаковим імпульсом \ (\ omega \) та амплітудою \ (S_0 \): \ (s (t) = S_0 \; sin⁡ (\ omega t + \ фі) \).

  • \ (\ phi \) - це зсув фази або фаза система: \ (\ bbox [10 пікселів, межа: 2 пікселі суцільно чорна]> \) (одиниця виміру: рад)
  • \ (G \) - це посилення (або співвідношення амплітуд) системи: \ (\ bbox [10 пікселів, межа: 2 пікселі суцільно чорний] >> \)
    (одиниця виміру \ (\ frac \))

Діаграми Боде

Посилення та зсув фази залежать від пульсації збудження \ (\ omega \).

Для того, щоб представити цю залежність, ми використовуємо 2 діаграми, які називаються Діаграми Боде, які представляють:

  • посилення \ (G_ \) (у децибелах: дБ)
  • та фаза \ (\ phi \) (у рад)

як функція \ (\ omega \) (в рад/с - у логарифмічному масштабі) .

Шкала зміни коефіцієнта підсилення настільки велика, що переважно включати їх у децибелах (дБ): \ (G_ = 20 log⁡ G \)

Системи 1-го порядку


Системи 2-го порядку

Коливальний режим

Аперіодична дієта

Ідентифікація параметрів з лінійною системою заданого порядку

Коли поведінкові рівняння системи апріорі невідомі (ми не знаємо точно, як вона складається, або рівняння занадто складні для встановлення), тим не менше, ми можемо отримати рівняння прийнятної моделі шляхом ідентифікації: