Інференційні статистичні вправи

Вправа 2.1 (Закон \ (\ overline_n \)) Населення складається з 3 працівників A, B та C у віці 23, 37 та 45 років відповідно.

інференційні

Вибираємо працівника навмання.

Визначте випадковий експеримент \ (\ varepsilon \), сукупність \ (\ Omega \), ймовірність \ (P \) та випадкову величину \ (X \).

Обчисліть \ (E (X) = m \) та \ (V (X) = \ sigma ^ 2 \). Що означають \ (E (X) \) та \ (V (X) \) ?

Зараз ми випадковим чином обираємо вибірку з 2 працівників.

  1. Визначте новий випадковий експеримент \ (\ varepsilon_n \), набір зразків \ (E_n \) та випадкові величини \ (X_i, i = 1, \ ldots, n \) .
  2. Визначте випадкову величину \ (\ overline_n \) та визначте її розподіл.
  3. Обчислити \ (E (\ overline_n) \) та \ (V (\ overline_n) \). Знайдіть формули курсу.

Вправа 2.2 (Закон \ (P_n \)) Населення складається з 3 осіб А, В і С, результати голосування яких за певного кандидата відповідно такі: Ні, Ні та Так.

Ми обираємо людину навмання.

Визначте випадковий експеримент \ (\ varepsilon \), сукупність \ (\ Omega \), ймовірність \ (P \) та випадкову величину \ (X \).

Обчислити \ (E (X) \) та \ (V (X) \). Що означає \ (E (X) \) ?

Зараз ми випадковим чином обираємо вибірку з 2 особин.

  1. Визначте новий випадковий експеримент \ (\ varepsilon_n \), набір зразків \ (E_n \) та випадкові величини \ (X_i, i = 1, \ ldots, n \) .
  2. Визначте випадкову величину \ (P_n \) та визначте її розподіл.
  3. Обчислити \ (E (P_n) \) та \ (V (P_n) \). Знайдіть формули курсу.

Вправа 2.3 Це випадкова величина?

  1. Середнє населення.
  2. Чисельність населення.
  3. Обсяг вибірки.
  4. Середнє значення зразка.
  5. Відхилення середнього значення вибірки.
  6. Найбільше значення вибірки.
  7. Дисперсія населення.
  8. Приблизна дисперсія середнього значення вибірки.

Вправа 2.4 (Центральна гранична теорема) Зіткнувшись із збільшенням проблем із вагою серед європейського населення, нове дослідження призначене для вимірювання взаємозв'язку між ним та кількістю споживаних калорій на душу населення. Попередні дослідження показують, що в середньому європейці споживають \ (2700 \) калорій на день зі стандартним відхиленням \ (800 \). У цьому дослідженні ми маємо вибірку \ (500 \) європейців.

  1. Визначте випадкові величини, що вивчаються у твердженні. Вони називаються \ (X_i \) та \ (\ overline_n \) .
  2. Використовуйте TCL для розподілу v.a. \ (\ overline_n \) .
  3. Обчисліть ймовірність того, що середньодобові споживані європейцями калорії, звані \ (\ overline_n \), у вибірці перевищують \ (2750 \) .

Вправа 2.5 Для того, щоб оцінити відповідне сподівання, ми відбираємо 2 популяції. Ми використовуємо вибірку розміру \ (n_ \) для сукупності 1, яка має стандартне відхилення, рівне \ (\ sigma_ \). Для сукупності 2, стандартним відхиленням якої є \ (\ sigma_ = 2 \ sigma_ \), беремо вибірку розміру \ (n_ = 2 n_ \) .

Для якої з 2 вибірок оцінка популяції є найточнішою?

Додатково

Вправа 2.7 (Центральна гранична теорема) Ремі та його 9 друзів хотіли б пограти в боулінг. Вони вирішують зібрати свої кишенькові гроші і сподіваються отримати загальну необхідну суму. Можна припустити, що кишенькові гроші кожного - це випадкова величина \ (X_i \), яка дотримується параметра експоненціального закону \ (\ лямбда = 0,06 \). Отже, його щільність дорівнює \ [f (x) = 0,06 e ^ \ разів 1 _ ^ +> (x) \]

Більше того, ми визнаємо, що \ (X_i \) є незалежними.

  1. Доведіть, що експоненціальний закон \ (\ mathcal (\ lambda) \) є винятковим випадком гамма-закону, вказавши параметри останнього. (нагадування про визначення закону гамма подано нижче).
  2. Нехай \ (S _ = \ sum_ ^ X_\) Що таке закон \ (S_ \) ?
  3. Знаючи, що гра в боулінг коштує \ (15 євро \), яка ймовірність того, що Ремі та його друзі можуть зіграти в гру? (Індикація: Застосувати TCL для \ (S_ = \ sum_ ^ n X_i = n \ times \ overline_n \))
  4. Як ви вибираєте \ (z> 0 \), щоб імовірність того, що загальна сума грошей у групі перевищувала \ (z \), дорівнювала \ (5 \% \) ?

Закон гамми \ (\ Гамма (а, \ лямбда) \)

Ми говоримо, що випадкова величина \ (X \) слідує гамма-закону параметрів \ (a> 0 \) та \ (\ lambda> 0 \), \ (X \ thicksim \ Gamma (a, \ lambda) \), якщо \ (X \) має щільність: \ [\ forall \, x \ in \ mathbb, \ quad f_ (x) = \ frac x ^ e ^ \ times __> (x) \]