Квантова механіка нагадування аналітичної механіки

Ці сторінки дуже коротко згадують класичну та аналітичну механіку, щоб мати змогу отримати уявлення про стандартну модель елементарних частинок.

нагадування

Ви можете переглядати посилання на всі статті у Вікіпедії або на інших веб-сайтах, які можуть завести вас далі.

Метою аналітичної механіки є спрощення та узагальнення механіки Ньютона, особливо в системах, де рухи піддаються обмеженням або порушенням.

  • Для ілюстрації цих проблем класичним повчальним випадком обмеження і простим у вирішенні є подвійний маятник.
  • Аналітична механіка дозволяє ігнорувати невідоме, що ускладнює проблему, використовуючи координати, не піддані обмеженню.

Теорія збурень - це область математики, що полягає у вивченні контекстів, де можна знайти приблизне рішення рівняння, починаючи з розв’язання більш простої задачі.

Наприклад, ми шукаємо приблизне рішення рівняння $ E_ \ lambda $, яке залежить від параметра $ \ lambda $, знаючи, що рішення рівняння $ E_0 $, що відповідає значенню $ \ lambda = 0 $, відомо точно.

Огляд

Аналітична механіка вивчає еволюцію ступенів свободи складної системи і більше не спирається на матеріальну точку Ньютона в тому, що називається конфігураційним простором

  • Простір конфігурації - це набір можливих позицій, яких ця система може досягти.
  • Положення та імпульс потім виражаються в цьому конфігураційному просторі і ведуть до рівнянь Лагранжа та Гамільтона.

Це варіаційний метод, який не визначає в кожен момент руху частинки, але де як умову інтеграл, що стосується цілого руху, має бути екстремальним: ми шукаємо криву мінімальної (або екстремальної) довжини, іншими словами геодезичну.

Узагальнені координати, які можуть не відповідати декартовим координатам, звідси їх назва, - відносні положення, але також кути ... - це координати, незалежні від обмежень і однозначно визначають механічний стан системи, яка підтримує обмеження.

  • Подвійний рух маятника Ці координати позначаються $ q_i $, $ \ $ з $ n \ leqslant 3N $, де N - кількість точок, що використовуються для опису системи.
  • Рух можна обчислити, використовуючи диференціальне рівняння для кожної з цих координат.

У випадку подвійного маятника для опису руху системи достатньо лише двох незалежних змінних - кутів $ \ theta_1 $ і $ \ theta_2 $: ми врахуємо лише ці дві узагальнені координати проти 6 для положення двох мас.

Формулювання Лагранжа

Тоді ми можемо використовувати механіку Лагранжа, названу на честь Джозефа-Луї Лагранжа (1736–1813).

У механіці Лагранжа, лагранжіан $ \ mathcal L [\ varphi_i] $ динамічної системи - це функція динамічних змінних, яка дозволяє стисло записати рівняння руху системи.

  • Якщо узагальненими координатами частинок є $ \ _ $, а їх швидкості $ \ _ i \> _ $ з $ \ dot_i = \ dfrac $, тоді функція записується: $ \ mathcal L (q_i, \ dot_i, t ) $
  • Джозеф-Луїс Лагранж (1736–1813) Дія на систему тоді становить між $ t_1 $ і $ t_2 $ між $ q (1) $ і $ q (2) $, що є початковим і кінцевим значеннями узагальнених координат: $ S = \ int \ limit _ ^ \; L (q_i, \ dot_i, t) dt $.

Варіаційний принцип (принцип найменшої дії) постулює екстремальний характер інтеграла, розрахованого на траєкторії.

  • Ця функція залежить лише від положення та швидкості руху (порядку 2 щодо часу)
  • Він враховує початкове та кінцеве положення кожної координати (і час), а не початкові положення та швидкості.

Візьмемо дві можливі траєкторії між $ q (1) $ і $ q (2) $, перша - $ q_i (t) $, друга - лише $ \ delta q_i (t) $, що відрізняється від попередньої. Траєкторії, що підпорядковуються однаковим початковим і кінцевим положенням: $ \ delta q (1) = \ delta q (2) = 0 $.

  • Варіація $ \ delta S $ дії: $ \ delta S = \ int \ limit _ ^ \; (L (q_i + \ delta q_i, \ dot_i + \ dot_it, t) -L (q_i, \ dot_i, t)) dt $.
  • Розробляючи (див. Демонстрацію), знаходимо: $ \ dfrac \ left (\ dfrac_i> \ right) = \ dfrac $, якщо $ (1 \ leqslant i \ leqslant n) $, тобто рівняння Ейлера-Лагранжа.

Якщо узагальнені координати відповідають декартовим координатам, то: $ \ nabla_L = d \ nablaL/dt $, залучаючи лапласівських операторів щодо положень та швидкостей частинок.

Жан Ле Рон д'Аламбер (1717-1783)

У виразі функції Лагранжа однієї вільної частинки (с. 24 аналітичної механіки) ми бачимо підхід, який буде використаний для визначення форми Лагранжіана: властивості симетрій, правила Галілеєвої теорії відносності, пошук найпростіша форма у разі неоднозначності.

Ми можемо використати принцип д'Аламбера, енциклопедиста Жана Ле Рон д'Аламбера (1717-1783), щоб отримати той самий результат, тобто всі сили обмеження системи не працюють під час віртуального переміщення.

  • $ L = TU $ з $ p_i = \ dfrac $ і $ \ mathcal F = - \ dfrac $, $ p_i $ і $ \ mathcal F $, будучи відповідно імпульсом і силовим полем в декартовому просторі і $ T $ кінетичним енергії та $ U $ потенційної енергії.
  • Отже, $ p_i = \ dfrac $ і $ \ mathcal F = \ dfrac $, оскільки $ p $ не залежить від позиції ($ U = 0 $), а $ \ mathcal F $ від швидкості ($ T = 0 $ ).

Гамільтонова формулювання

Огляд

Гамільтонова механіка, названа на честь Вільяма Роуена Гамільтона (1805-1865), еквівалентна механіці Лагранжа, але більш зручна у використанні та набагато потужніша.

  • Вільям Роуен Гамільтон (1805-1865) Рівняння Лагранжа - це диференціальні рівняння другого порядку, що стосуються положення та часу, і їх не обов’язково легко вирішити.
  • Рівняння Гамільтона перетворюють рівняння Лагранжа на два диференціальні рівняння першого порядку, з'єднуючи положення та імпульс, які набагато легше інтегруються і дозволяють змінювати змінні.
  • Крім того, вони враховують збурення, як у випадку з небесною механікою (дія інших планет), але також, і перш за все, для формулювання класичної механіки, яку можна кількісно визначити.

Узагальнений імпульс

У механіці Гамільтона ми замінюємо узагальнену швидкість на пов'язаний з ними імпульс, який називається спряженим моментом або узагальненим моментом:

Поняття спряженого моменту відповідає поняттю імпульсу частинки лише в тому випадку, якщо узагальнені координати збігаються з декартовими координатами І за відсутності електромагнітного поля.

Імпульс і імпульс не охоплюють однакових понять в аналітичній механіці: в електромагнітному полі ми повинні додати вектор потенціалу (який залежить від заряду частинки), який ми знайдемо далі в енергіях.

Симетричні хвильові функції (2 бозони)
і антисиметричний (2 ферміона)
(Малюнок: vetopsy.fr за даними TimothyRias)

У разі зарядженої частинки, що рухається в електромагнітному полі, імпульс і імпульс різняться через член в $ q \ vec A $ через векторний потенціал, де q - заряд частинки. "Кутовим" аналогом лінійного моменту є кутовий момент, який загалом плутають з кутовим моментом.

У квантовій механіці $ p $ - це імпульсний оператор, який діє на хвильову функцію $ \ psi (r, t) $ для виділення її власних значень: $ \ hat p = -i \ hbar \ nabla $.

Потім записуються рівняння Лагранжа: $ \ dot = \ dfrac $.

Диференціал Лагранжа: $ dL = \ сума \ межі_p_id \ dot q_i + \ sum \ limit_\ dot p_idq_i $.

  • Гамільтоніан $ H $ - це перетворення Лежандра - математична операція, яка схематично перетворює функцію, визначену її значенням в точці, у функцію, визначену її тангенсом - із лагранжіана пишеться: $ H = \ sum \ limit_ip_i \ dot q_i -L $.
  • Її виведення: $ dH = \ sum \ limit_\ точка q_idp_i- \ сума \ обмеження_\ dot p_idq_i $.

Рівняння Гамільтона, що відповідають рівнянням Лагранжа, визначають оператор еволюції системи: $ \ dot q_i = \ dfrac $ і $ \ dot p_i = - \ dfrac $.

Ці диференціальні рівняння є першим порядком по відношенню до лагранжіанців другого порядку.

  • Початковими умовами є положення та імпульси проти позицій та швидкостей у рівняннях Лагранжа.
  • Ці рівняння симетричні.
  • Якщо $ q_i $ циклічна, то p_i - константа руху, тобто у фазовому просторі траєкторія, що слідує, дотична до поверхонь, що рівняють гамільтоніан.

У консервативній системі (узагальнені координати, незалежні від часу t), ми можемо показати, що: $ H = E = T + V $, де $ E $ - це загальна енергія, сума кінетичної енергії $ T $ і l 'потенційна енергія $ V $.

Сімеон Денис Пуассон (1781-1840)

Пуассона, брекети Лі та комутатори

Ми можемо зробити аналогію між дужками Пуассона гамільтонової механіки та комутаторами квантової механіки (с: 48 аналітичної механіки).

Кронштейн Пуассона, математиком Сімеоном Денисом Пуассоном (1781-1840) двох спостережуваних $ A $ $ і $ B $, тобто двох функцій у фазовому просторі фізичної системи, визначається:

Це особливий випадок гачка Lie

Комутатори дають уявлення про те, як закон не є комутативним, і його визначення відрізняється:

1. групи: нехай $ g $ і $ h $ $ \ in (G, \ star) $, перемикач $ g $ і $ h $ є елементом групи, визначеним $ [g, h] = g \ star h \ star g ^ \ зірка h ^ $;

Софус Лі (1842-1899)

Перемикач дорівнює нейтральному елементу групи тоді і тільки тоді, коли $ g $ і $ h $ переставні, тобто $ g \ star h = h \ star g $.

2. кільця: нехай $ A $ і $ B $ є елементами кільця, тоді $ [A, B] = AB-BA $.

Цей перемикач, який називається гаком Лі, перетворює будь-яку асоціативну алгебру над полем в алгебру Лі і тому пов'язаний з квантовою механікою.

  • Перемикач двох операторів у просторі Гільберта дозволяє нам знати, чи можна одночасно виміряти дві спостережувані. Принцип невизначеності є певним чином теоремою про комутатори.

Якщо гамільтоніан переїжджає з оператором перетворення $ U $, то $ [HU] = 0 $ і ми знаходимо теорему Нетера та інваріантності у фізиці.

  • Анти-перемикач визначається як $ \ = AB + BA $.

Області фізики

«Ми можемо приборкати квантовий світ за допомогою нашої математики, але це не заважає йому бути дивним, навіть дивнішим за все, що може запропонувати нам наша фантазія. "