Лабрі - керівництво GAEL новинами Лабрі
Ми представляємо нове сімейство частково впорядкованих наборів, яке я пропоную назвати "maule". Будь-яка частина квадратної решітки генерує маулу динамічним процесом стрибка частинок.
Три добре відомі решітки - це манули: діаграми Феррера Y (?) Включені в діаграму? задані (частина решітки Янга), певні плитки на трикутній решітці (або площинні перегородки) і дуже класична решітка Тамарі, що визначається поняттям «обертання» на бінарних деревах. Це призводить до нового визначення решітки Тамарі.
Як не дивно, але концепція альтернативної дошки відіграє центральну роль у цій роботі. Такі таблиці були введені в зовсім іншому контексті: дуже класична модель PASEP (частково асиметричний процес виключення) у фізиці динамічних систем. Ці масиви та їх аватари були предметом великої роботи в рамках Комбінаторної групи LaBRI.
П.-С.: "Maule" - це слово мапуче (вимовляється як "ma-ou-lé"), що позначає регіон Maule в Чилі, а також річку, яка перетинає його, (пор. Https://fr.wikipedia.org/wiki/Регіон_ду_Мауле), де проводилась ця робота, завдяки запрошенню Люка Лапойнта з Університету Тальки.
"Інваріантний метод" був винайдений Тутте для підрахунку правильно кольорових карток. Спочатку ми покажемо, що його можна переробити для рівномірного вирішення всіх алгебраїчних моделей кроків у квадранті (включаючи складну модель Гесселя).
Потім ми адаптуємо поняття інваріантів до більш аналітичного контексту, щоб продемонструвати, що деякі моделі в квадранті, хоча і не є різницево скінченними, є диференціально алгебраїчними (тобто задовольняють поліном ED).
Спільна робота з Олів'є Бернарді та Кіліаном Рашелем.
Визначимо перестановку над підмножинами n-елементів, яка включає слова Дейка та циклічну лему. У циклах цієї перестановки існувала закономірність. Ми доводимо цю закономірність у певних випадках, однак у загальному випадку вона залишається гіпотезою. Буде викликано зв’язок зі складками смуги поштових марок та меандрами. Надія доповідача полягає в тому, що нові ідеї випливають із обміну з аудиторією.
Ця презентація є результатом спільної роботи з Нікколо Кастронуово (Болонья).
Ми розглянемо множину T_n ^ m шляхів площини, що випливає з (0,0), утворених північними та східними сходинками, що закінчуються (mn, n), і залишаються над лінією рівняння x = my. Франсуа Бержерон описав на цих шляхах порядок, який узагальнює порядок Тамарі (отриманий для m = 1). Ми побачимо, що цей порядок дає структуру решітки для будь-якого m.
Франсуа здогадався про приємну формулу - яка виглядає як ряд карт, тобто біноміальний коефіцієнт, поділений на два лінійні доданки в n - для кількості інтервалів у гратці T_n ^ m. Саме цю формулу ми демонструємо. Він відомий кілька років для m = 1, спочатку рекурсивно доведений Чапотоном, потім Бернарді та Бонішоном за допомогою бієкції з триангуляціями. Загалом, бієктивний підхід ще потрібно винайти, і ми продовжуємо рекурсивно.
За словами Франсуа Б., ці самі цифри дають розмір певному простору багаточленів --- але це вже зовсім інша історія, безумовно, набагато складніша.
Спільна робота з Еріком Фузі (LIX) та Луї-Франсуа Превілем Рател (LACIM).
Дуал площинного графіка G отримується шляхом розміщення вершини на кожну грань G і додаванням для будь-якого ребра e грані ребра, яке з'єднує центри падаючих граней з e. Це класичне поняття легко поширюється на клітинні вбудовування на будь-яких поверхнях. Він також узагальнений для гіперкарт, які є вбудованими гіперграфами на орієнтовані поверхні.
Крім того, робота Бруно Курселя показала, що ширина дерева може бути використана як міра "складності" графіків. Оскільки здається цікавим, що "складність" вбудовування та його подвійного дуже різняться, можна очікувати, що ширина дерева вкладання та його подвійного є близькою.
У цій розмові я покажу, як визначити двоїстість для гіперграфів, занурених у будь-які поверхні, і як я використав це розширення для отримання зв'язку між шириною дерева вкладеного та його подвійним.
Розглянемо шляху Дайка висоти, обмежені k. Серія, що їх підраховує
paths має вигляд F_/F_k, де F_k - це поліноми
Фібоначчі. Ми побачимо, що ці багаточлени розкладаються на два доданки, які
дотримуйтесь тієї ж лінійної рецидиву, що і F_k. Ми дамо a
комбінаторне пояснення цього факту.
Ці результати зберігаються в більш загальних рамках, вивчених Бандер'є і
Флайолет (2001), потім Буске-Мелу (2008), де можуть йти стежки
сходинки, що належать до фіксованого симетричного набору S (наприклад, -2, -1, + 1, + 2).
Ми знову дамо комбінаторну інтерпретацію задіяних поліномів
та їх фактори.