Розрахунок гравітації, формули, приклади сили тяжіння, гравітаційного прискорення, гравітаційного прискорення,
Причини та поява явища, яке ми називаємо гравітацією чи гравітацією, на цьому етапі далі обговорюватися не будуть. Це просто питання обчислення сили тяжіння, яка діє на масивне тіло, яке знаходиться на поверхні сферичного небесного тіла або над ним. Наступні міркування не стосуються тіл, які розташовані глибоко під поверхнею (наприклад, у дуже глибокому валу), оскільки сили тяжіння породи над і під нею тоді діють у протилежних напрямках. (Однак для земних валів на реалістичних глибинах, як прикладне наближення, може бути використано прискорення, спричинене силою тяжіння на поверхні).
2. Основи
Два тіла з масами m_1 та m_2 притягують одне одного силою F_G завдяки гравітації, за умови, що між ними не діють додаткові сили (наприклад, електростатичні сили). Це можна розрахувати з мас m_1 та m_2, відстані x між їх центрами ваги та універсальної гравітаційної сталої G:
F_G = m_1 * m_2 * G/x ^ 2 (1)
G = 6,670 * 10 ^ -11 Н * м ^ 2/кг ^ 2 (або м ^ 3/кг/с ^ 2)
Для тіла K, яке знаходиться на поверхні небесного тіла HK, x дорівнює радіусу r_HK небесного тіла:
F_G = m_K * m_HK * G/r_HK ^ 2 (1a)
Якщо тіло (наприклад, галька) позбавлене опори (воно опускається), тоді воно прискорюється силою тяжіння з прискоренням ("прискоренням гравітації") a_G:
a_G = m_K * m_HK * G/r_HK ^ 2/m_K
a_G = m_HK * G/r_HK ^ 2 (2),
де r_HK слід замінити на x = r_HK + h_K, якщо тіло знаходиться на висоті h_K над поверхнею небесного тіла.
Відповідно до рівняння (2), a_G не залежить від маси тіла m_K. Тому всі тіла падають з однаковою швидкістю (прискореними), за умови, що вони не будуть загальмовані в різному ступені різним опором повітря.
3. Приклади: земля і місяць
3.1 Гравітаційне прискорення (гравітаційне прискорення) на поверхні
Для землі це застосовується:
m_Er = (5,997 + - 0,004) * 10 ^ 24 кг
r_Er = (6,3713 + - 0,0004) * 10 ^ 6 м
(Середнє значення)
Від цього може бути збільшено гравітаційне прискорення на їх поверхні ("гравітаційне прискорення")
a_G, Er = g = m_Er * G/r_Er ^ 2 = 9,82 м/с ^ 2
Насправді виміряне гравітаційне прискорення різне через обертання Землі. Завдяки відцентровій силі земля дещо сплюснута на полюсах, так що r_Er тут дещо менший і дещо більший на екваторі. Крім того, починаючи з полюсів, відцентрова сила, що збільшується до екватора, протидіє гравітаційному тягу.
a_G, Er, полюс = (9,851 + - 0,010) м/с ^ 2
a_G, Er, середній = (9,807 + - 0,009) м/с ^ 2
a_G, Er, екватор = (9.750 + - 0.010) м/с ^ 2
Для місяця застосовуються такі значення:
m_Mo = (7,354 + - 0,066) * 10 ^ 22 кг
r_Mo = (1,738 + - 0,001) * 10 ^ 6 м
a_G, Mo, середній = (1,620 + - 0,015) м/с ^ 2
(Середнє значення)
3.2 Гравітаційне прискорення на великій висоті та супутниках: Розрахунок орбітальної швидкості на орбіті
Супутники та космічні станції, як правило, обертаються навколо Землі на висоті "лише" декількох 100 км. Наскільки велике гравітаційне прискорення a_G, наприклад, h_K = 250 км висоти?
Відстань від центру землі на 250 км або на 250 000 м більше, ніж на земній поверхні:
x = r_Er + h_K = 6 371 300 м + 250 000 м = 6 621 300 м
a_G = m_Er * G/x ^ 2 = 9,10 м/с ^ 2
На висоті 250 км прискорення під дією сили тяжіння все ще становить майже 93% від прискорення завдяки силі тяжіння на земній поверхні. Отже, це ні в якому разі не те, що гравітація "там" більше не існує. Насправді думка про те, що тіло в якийсь момент покине земне гравітаційне поле або переміститься із земного гравітаційного поля, є помилковою, оскільки гравітаційне поле стає слабшим із збільшенням відстані, але в принципі поширюється на нескінченно далеко.
Тоді чому супутник просто не падає?
Супутники знаходяться на орбіті, де відцентрова сила та сила тяжіння знаходяться в рівновазі, так що супутник ні викидається в космос, ні падає. У найпростішому випадку орбіта супутника кругла, і відцентрову силу F_Z можна розрахувати з радіуса орбіти r_Ba, маси супутника m_Sat і швидкості супутника v_Sat:
F_Z = m_Sat * v_Sat ^ 2/r_Ba (4),
тоді як гравітаційна сила F_G, що діє на супутник, випливає з (1) та (1а):
F_G = m_Sat * m_Er * G/r_Ba ^ 2
Від F_Z = F_G
(Баланс сил!) Випливає:
m_Sat * v_Sat ^ 2/r_Ba = m_Sat * m_Er * G/r_Ba ^ 2
Скорочуючи його, ви отримуєте:
v_Sat ^ 2 = m_Er * G/r_Ba
v_Sat = корінь (m_Er * G/rBa)
r_Ba = r_Er + h_Ba
тобто для v_Sat на висоті 250 км випливає:
v_Sat = корінь (m_Er * G/(6 371 300 + 250 000) м)
v_Sat = 7761 м/с = 7,761 км/с
3.3 Енергія, необхідна для виведення супутника на орбіту
Супутник на приблизно круговій орбіті на висоті 250 км рухається приблизно на 8 км далі за одну секунду, зі значною швидкістю. Для переміщення супутника на таку кругову орбіту його потрібно перемістити на 250 км вгору проти сили тяжіння і одночасно розігнати до своєї орбітальної швидкості. Для супутника вагою 1 т це означає, що до нього має подаватися наступна кількість енергії:
Збільшення на 250 км:
приблизно 2,4 * 10 ^ 9 Дж = 650 кВт-год
Розгін до 7,76 км/с:
приблизно 3,0 * 10 ^ 10 Дж = 8370 кВт-год
Загалом:
приблизно 3,2 * 10 ^ 10 Дж = 9020 кВт-год
Для порівняння: 9000 кВт-год - це кількість електричної енергії, яку дві сім’ї з чотирьох людей споживають в середньому за один рік, або кількість енергії, що виділяється при спалюванні близько 1 т бензину, дизельного палива або мазуту.
Насправді потрібно використовувати набагато більше енергії. Ви не можете просто обладнати супутник електродвигуном та силовим кабелем, а потім відправити його по дорозі, вам доведеться «вистрілити» його ракетою. Це означає: Ракету та паливо також слід піднімати та прискорювати, поки ракетний компонент (ступінь ракети) або паливний компонент, про який йде мова, не скидаються або не витрачаються. Як результат, енерговитрати надзвичайно множаться, і саме тому для запуску супутника потрібно замість 1 т палива кілька 100 т пального та кисню (1 т стосується гасу, а не водню) (плюс майже 2 т кисню для згоряння) буде.
3.4 Еліптичні орбіти та швидкість втечі
Більшість супутникових орбіт не є точно круговими, але супутники розганяються до дещо більшої швидкості, ніж це було б потрібно для кругової орбіти. В результаті вони віддаляються від землі (переважає відцентрова сила), завдяки чому енергія для збільшення висоти відбувається за рахунок їх кінетичної енергії, завдяки чому вони стають трохи повільнішими, а відцентрова сила зменшується. В результаті в якийсь момент гравітація повертає собі перевагу, і супутник знову втрачає висоту, прискорюючись до початкової швидкості, і гра починається спочатку. Таким чином створюється еліптична орбіта. Швидкість виходу - це гранична швидкість, з якої Землі (або іншому небесному тілу) вже не вдається уповільнити супутник до такої міри, що сила тяжіння знову перевищує відцентрову силу. Тоді супутник, про який йде мова, буде вже не супутником, а справжнім космічним кораблем, який залишає свою планету, наприклад, щоб прямувати до іншого небесного тіла.
Для розрахунку швидкості втечі ми виходимо з наступного підходу: Кінетична енергія E_kin, RF космічного корабля RF, задана масою m_RF і швидкістю виходу v_RF, fl, повинна дорівнювати різниці між потенційними енергіями Dif_E_pot, RF космічного корабля між нескінченною відстанню та його поточним місцем розташування:
1/2 * m_RF * v_RF ^ 2 = інтеграл [r.unendl.] (M_RF * m_HK * G/r_HK ^ 2 * dr_HK)
Після розв’язання інтеграла випливає:
1/2 * m_RF * v_RF ^ 2 = m_RF * m_HK * G/r_HK
v_RF = корінь (2 * m_HK) * G/r_HK
Не має значення, рухається чи космічний корабель перпендикулярно від небесного тіла зі швидкістю виходу або по спіральній траєкторії. Якщо космічний корабель продовжує літати без рушія, його швидкість зменшується зі збільшенням відстані від небесного тіла до такої міри, що його швидкість завжди однакова з швидкістю втечі, що діє на поточній відстані.
Для землі швидкість виходу на поверхню (чисто теоретично, оскільки там тіло сповільнюється тертям повітря) становить 11189 м/с, при висоті 300 км 10934 м/с. На практиці, однак, космічний зонд буде прискорений до трохи більшої швидкості, щоб він досить швидко відійшов від землі до своєї цілі.
3.5 Місячні супутники та посадка на Місяць
Через значно нижчу гравітацію Місяця місячні супутники проходять зі значно меншими орбітальними швидкостями, ніж супутники Землі. Наприклад, кораблі-матірці "Аполлон" кружляли Місяць на висоті близько 15 км. Припускаючи кругову орбіту, це призводить до швидкості 1673 м/с. Для досягнення такої орбіти потрібно набагато менше енергії, ніж навколо Землі, тому можна було повернутися на материнський корабель із відносно невеликим модулем скидання. Але навіть тут майже половина злітної ваги припадала на паливо.
Якщо вам хочеться, ви можете самостійно розрахувати відповідні дані для Марса з m_Ma = (6,418 + - 0,024) * 10 ^ 23 кг і r_Ma = (3,38 + - 0,02) * 10 ^ 6 м.
3.6 Нейтральна точка між Землею і Місяцем
"Нейтральною точкою" між Землею і Місяцем є точка на прямій лінії від Землі до Місяця, в якій сила тяжіння Місяця і Землі просто врівноважують одна одну, так що тіло, яке не було б там ні з одного боку, ні буде притягнуто до іншого небесного тіла. Розрахунок, де знаходиться ця точка, відбувається за допомогою o.A. Рівняння (майже) вітерець.
Оскільки Місяць також є свого роду супутником (хоча і досить великим), він теж рухається по орбіті навколо Землі, а саме по злегка еліптичній. Оскільки місячна орбіта не є точною круговою орбітою, відстань Місяця від Землі коливається в межах певного діапазону, приблизно між 363 000 і 406 000 км. Для подальшого розрахунку ми обираємо середню відстань 384 403 км.
А тепер розрахунок: У "нейтральній точці" між Землею і Місяцем прискорення внаслідок сили тяжіння обох небесних тіл однакове:
За рівнянням (2), якщо x_Er, NP і x_Mo, NP - це відстані від Землі або Місяця до "нейтральної точки":
m_Er * G/x_Er, NP ^ 2 = m_Mo * G/x_Mo, NP ^ 2
Скорочення та перетворення рівняння дає:
x_Er, NP ^ 2/x_Mo, NP ^ 2 = m_Er/m_Mo
x_Er, NP/x_Mo, NP = корінь (m_Er/m_Mo)
Зі значеннями m_Er та m_Mo ви отримуєте:
x_Er, NP/x_Mo, NP = 9,017
"Нейтральна точка" знаходиться в 9 разів далі від Землі, ніж від Місяця.
Щоб виразити все це в км, ми приймаємо середню відстань Місяць-Земля в 384 403 км:
x_Er, NP = 384403 км * 9,017/(9,017 + 1) = 346028 км
x_Mo, NP = 384 403 км * 1000/(9017 + 1) = 38 375 км
x_Er, NP + x_Mo, NP = 384 403 км
4. Розрахунок гравітаційного прискорення від поверхневої гравітації
Маса небесного тіла HK невідома. але його гравітаційне прискорення на поверхні a_G, HK, Оберфль, тоді гравітаційне прискорення a_G (h) на висоті h можна обчислити наступним чином:
a_G (h) = a_G, HK, Oberfl * r_HK ^ 2/(r_HK + h) ^ 2)
5. Джерела (цифри та дані)
Weast: Handbook of Chemistry and Physics, 64th Ed., CRC Press, 1983-84