Розрахувати граничне значення (вапно) - Бджоли-дослідники

Отримайте необмежений доступ до наших навчальних матеріалів для навчання Wiwi.

Наша мета - оптимально підготувати вас до іспитів. Відкрийте для себе StudybeesPlus зараз:

Усі основні предмети на ступінь вашого бізнесу
Необмежений доступ з вивчення сценаріїв, письмових іспитів, онлайн-курсів
Аварійні курси на сайті для Спеціальна ціна

Отримайте необмежений доступ до наших навчальних матеріалів для навчання Wiwi.

Наша мета - оптимально підготувати вас до іспитів. Відкрийте для себе StudybeesPlus зараз:

A обмеження вказує, як функції поводяться при наближенні до певного значення `x`. Це обмеження також називається лайми.

Розслідування лайми цікавий функціями зі стрибками або розривами у визначенні. Він також використовується для вивчення поведінки функції на нескінченності.

Розрахунок граничного значення формально виражається таким чином:

`\ lim_ (x праворуч a) f (x) = A`,

говорили: " лайми для `x` проти` a` з `f (x)` дорівнює `A`."

Граничне значення при стрибках функції та пробілах у визначенні

Функціональні стрибки і Прогалини у визначенні можна підійти зліва або справа, завдяки чому Граничні значення кожен різний. Функціональний стрибок відбувається тоді, коли у функціональному правилі є відмінності між регістром. Це вказується набором позначень, які можуть виглядати так, наприклад: \ beginf (x) = \ left (\ begin \ dots \ for \ x \ leq \ \ dots \\\ dots \ for \ x> \ \ dots \\ \ end \ right) \ end На наступному малюнку показано позначення символу лайми в Функціональні стрибки уточнено:

У точці `a` значенням функції є` A` (це вказується заповненим періодом). Однак, якщо підійти до цієї функції стрибка зліва, граничним значенням буде `B`.

Отже, якщо ви хочете обчислити граничне значення функції при переході функції зліва, ви пишете:

`\ lim_ (x праворуч a ^ -) f (x) = B`

Якщо ви підходите до функції переходу праворуч, ви використовуєте такі позначення:

`\ lim_ (x праворуч a ^ +) f (x) = A`

Також можна підійти до прогалин у визначенні зліва та справа. Орфографія залишається незмінною, і в принципі ви продовжуєте те ж саме, що і при переходах до функції:

Наближення зліва: `\ lim_ (x rightarrow a ^ -) f (x)`

Наближення праворуч: `\ lim_ (x rightarrow a ^ +) f (x)`

Якщо Граничні значення в Функціональні стрибки або Прогалини у визначенні якщо вказано, доцільно вставити мінімальне менше та мінімально більше значення у рівняння функції, щоб визначити відповідне граничне значення. Наприклад, якщо мова йде про позицію `a = 5`, її можна використовувати обмеження виходить зліва `4,999999999` і для обмеження Якщо ви їдете праворуч, вставте `5.000000001`. Більш точний метод обчислення цього Граничні значення буде працювати через відповідну послідовність, яка сходиться до нуля, наприклад послідовність `\ frac (1) (n)`. Потім це буде вставлено у функцію разом з `a` і дозволено бігти до нуля (тут, запускаючи` n rightarrowinfty`):

`\ lim_ (x rightarrow a ^ -) f (x) = \ lim_ (n rightarrowinfty) f (a- \ frac (1) (n))` або.
`\ lim_ (x rightarrow a ^ +) f (x) = \ lim_ (n rightarrowinfty) f (a + \ frac (1) (n))`

Таким чином ви в кінцевому підсумку отримуєте того, кого шукаєте обмеження функція в точці `a`, що йде зліва чи справа.

Обмеження на нескінченності

Поведінка на нескінченності стосується розвитку графіка лівого та правого краю. Отже, значення функції `f (x) = x ^ 3` для` x правої стріли + infty` переходить до `+ infty`, а для` x rightarrow -infty` до `-infty`. Графік також може сходитися до числа на нескінченності. Наприклад, графік починається з `f (x) = \ frac (1) (x)` для `x rightarrow + infty` проти` 0` (виходить зверху) і для` x rightarrow -infty` проти` 0` ( що йде знизу).

Щоб чітко визначити межу на нескінченності, корисно використовувати графіку як орієнтир. Наприклад, наступний графік прагне до `x rightarrow - \ infty` до` B`, а для `x \ rightarrow \ infty` наближається до` A`:

Позначення для розглянутих граничних значень подібне до позначень для переходів функції та прогалин у визначенні. обмеження Графік при позитивній нескінченності представляється наступним чином:

Якщо розглянути графік у від’ємному нескінченному вигляді, він пише:

Процедура обчислень Граничні значення для `x \ rightarrow \ pm \ infty` існують різні правила залежно від типу функції. Далі проводиться розрізнення між функціями, які складаються лише з поліномів, Поліноми і змішувати терміни з `e ^ (g (x))` та функціями, які є дробово раціональними.

Межі функцій, які складаються лише з поліномів

Далі пояснюється, як обчислюється граничне значення функції, коли функція складається лише з поліномів. Поліном - це функція, в якій додаються або віднімаються лише члени форми `a_ix ^ i`, такі як наступна функція:

Якщо у функції лише поліноми, перше, що потрібно зробити, це визначити `x` з найвищим показником. Якщо дозволити `x` суперечити` + \ infty` або` - \ infty`, тоді інші компоненти функції ніколи не можуть стати настільки великими, як цей термін. Тому достатньо врахувати лише той термін, в якому "x" з найвищим показником. Замість напр.

`\ lim_ (x правий + infty) f (x) = \ lim_ (x правий + infty) 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7`

так що один лише дивиться

Функція `f (x) = 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7` працює в додатному нескінченному діапазоні в позитивну нескінченність.
Це саме те, як функцію можна розглядати в негативній області:

`\ lim_ (x rightarrow-infty) f (x) = \ lim_ (x rightarrow-infty) 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7 = \ lim_ (x rightarrow-infty) 4x ^ 3 = -infty`

У негативному нескінченному значенні функція переходить у негативне нескінченність.

Межі функцій, що поєднують багаточлени та `e ^ (g (x))`

Якщо функція на додаток до поліномів також має функцію `e`, який додається або віднімається (наприклад, `f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3))`, найкраще розділити функцію на дві частини: Поліноми формують першу частину, функція `e` формує другу частину. Тепер ви можете розглянути обидві частини окремо, а потім скласти результати. Так як функція `e` Розвивається швидше, ніж будь-який поліном, це важливіше. Це показано нижче. Наприклад, якщо ви враховуєте межу згаданої функції щодо `\ infty`:

`\ lim_ (x правий + infty) f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3)`

Перша частина функції (`3x ^ 2-x ^ 3`) є багаточленом, де` -x ^ 3` - доданок із найбільшою ступенем. Тому ми порівнюємо розвиток `-x ^ 3` з розвитком` e ^ (x-3) `. Якщо замінити на "x" меншу цифру, наприклад "2", термін "-x ^ 3" має більшу вагу, ніж "e ^ (x-3)", оскільки `(-2) ^ 3 = -8` та `e ^ (2-3) \ приблизно 0,37`. Однак, оскільки ми шукаємо межу для `x \ rightarrow \ infty`, нам потрібно розглянути більші значення` x`. Наприклад, для `x = 20`,` -x ^ 3` буде `(-20) ^ 3 = -8000`, а` e ^ (x-3) `буде` e ^ (20-3) = 241554952, 75`. Наприклад, якщо подивитися на `x = 200`, термін` -x ^ 3` дорівнює` -8000000`, тоді як термін `e ^ (x-3)` явно переважає, оскільки `e ^ (200 -3) \ приблизно 3,6 * 10 ^ 85`. Оскільки функція `e` перетворюється на додатне нескінченне набагато швидше, ніж поліном, в негативне нескінченність, у цьому випадку вона задає всю межу функції:

`\ lim_ (x правий + infty) f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3) = + \ infty`

Таким чином, загалом можна стверджувати наступне: Якщо існує функція, в якій присутні як поліноми, так і доданки у вигляді `e ^ (g (x))` і пов'язані знаком `+` або `--`, граничне значення визначається наступним чином:

Якщо поліноми та функція `e` з'єднані продуктом (наприклад, `f (x) = (x ^ 4-x ^ 3) \ cdot (-e ^ (2x))`, процедура змінюється. Явне розділення тоді вже неможливе. Проте, враховуючи обмеження функцію `e` та багаточлен окремо один від одного, а потім помножте їх. Граничне значення функції, у якій множиться багаточлени та доданок у вигляді `e ^ (g (x))`, може бути визначено за допомогою наступної таблиці:

Цю процедуру також слід проілюструвати на прикладі. Граничне значення слід визначати щодо `+ \ infty` наступної функції:

Функція складається з полінома (`x ^ 4-x ^ 3)` та терміна `e ^ (g (x))`, а саме `e ^ (2x)`. Ці дві частини множать разом. Отже, ми знаємо, як визначити граничне значення окремо, а потім визначити граничне значення функції за допомогою таблиці вище.

Перша частина: `x ^ 4-x ^ 3 rightarrow` для лайми лише найвищий показник, що відповідає:

`\ lim_ (x rightarrow + infty) (x ^ 4-x ^ 3) = \ lim_ (x rightarrow + infty) x ^ 4 = infty ^ 4 = + infty`.

Друга частина: `-e ^ (2x)`

Оскільки результат `- \ cdot + = -`, коли дві частини складаються разом, вся функція для` x rightarrowinfty` переходить у негативну нескінченність:

`\ lim_ (x rightarrow + infty) f (x) = \ lim_ (x rightarrow + infty) (x ^ 4-x ^ 3) \ cdot (-e ^ (2x)) = - infty`

Межі дробових раціональних функцій

За допомогою описаної вище процедури ви можете Граничні значення загалом добре розрахований. Однак воно ускладнюється, коли функція присутня у вигляді дробу. У випадку дробів корисно розділити окремі доданки у частці на "x" з найвищим показником (це відповідає продовженню дробу на обернену частку "x" з найвищим показником). Потім їх можна переглянути та скласти окремо. Це слід проілюструвати на прикладі наступної функції:

`\ lim_ (x правий + infty) f (x) = \ lim_ (x rightarrow + infty) \ frac (x ^ 3 + x) (x ^ 4-5) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | * frac (1) (x ^ 4) `

Якщо ви зустрічаєте невизначені вирази `\ frac (0) (0)` або `\ frac (\ pminfty) (\ pminfty)` при обчисленні граничного значення дробових раціональних функцій, вам слід поглянути на Правило L’Hospital де чисельник і знаменник дробу виводяться окремо один від одного. Цей новий вираз тоді стає обмеження освічений. Про те, як саме це працює, ви можете прочитати в главі Правило L'Hospital.

Studybees Plus - Навчальна платформа для Вашого навчання. Адаптовано до вашої лекції.

Компактний Вивчення сценаріїв, адаптована до вашої лекції
Онлайн-курси краху від найкращих репетиторів
Інтерактивні завдання для вашого оптимального успіху в навчанні

Отримайте необмежений доступ до наших навчальних матеріалів для навчання Wiwi.

Наша мета - оптимально підготувати вас до іспитів. Відкрийте для себе StudybeesPlus зараз: