Справжня природа математики
Кампус № 123
Суха дисципліна для одних, захоплююча для інших, математика - найкраща мова для опису законів природи. приклад з роботою Swissmap Pole, режисером якої є Станіслав Смірнов, володар медалі полів 2010 року, професор секції математики
Кампус: Національний дослідницький центр SwissMAP (Швейцарський інститут перспективних досліджень у математиці та фізиці) (PRN) фокусується на математичній фізиці. Що охоплює це поняття?
Чому в цій місцевості потрібно створити поляка?
Бюджет SwissMAP на чотири роки становить 11,2 мільйона франків. Для чого це буде використано?
SwissMAP відрізняється від усіх інших PRN тим, що він спрямований виключно на фундаментальну науку і не має експериментальної складової. Тому гроші, які ми отримуємо від Національного фонду наукових досліджень, не призначені для створення лабораторій або придбання дорогого вимірювального обладнання. Перш за все, це допоможе активізувати взаємодію між дослідниками, запросити найкращих математиків та фізиків протягом року, створити освітні програми для студентів коледжів, зокрема забезпечити правонаступництво, організувати майстер-класи тощо.
З чого складається «майстер-клас» з математики?
Це однорічна навчальна програма рівня університетського магістра, яка проходить у Женеві. Він орієнтований на іноземних та швейцарських студентів та пропонує курси, які проводять спеціалісти з усього світу. Тема змінюється щороку. Майстер-клас, який зараз триває, присвячений статистичній механіці. Наступного року вона зосередиться на темі геометрії, топології та фізики. Ці курси (вартістю 60 кредитів) відкриті для найперспективніших студентів, які досягли рівня університетського магістра (або навіть університетського бакалаврату для найбільш обдарованих). Цього року їх є десяток з Чилі, Бразилії, США, Канади, Великобританії, Франції, Італії, Фінляндії та Росії. Ці майстер-класи також корисні для женевських студентів, оскільки курси відкриті для всіх. Вони дозволяють, серед іншого, покращити видимість швейцарської математики на міжнародному рівні та збільшити можливості контактів.
Чи відіграють людські контакти важливу роль у практиці математики?
За останні 30 років або близько того математика стала командною дисципліною. Якщо раніше вони спеціалізувались на різних галузях, то сьогодні ми живемо в зворотному русі, в епоху синтезу, яка вимагає постійних обмінів. Ми помічаємо це в науковій літературі. Статті все більше підписуються двома, а то й трьома авторами. Співпрацювати веселіше. Крім того, дисципліна також стала більш складною. Дуже вигідно використовувати знання з багатьох країн. Найцікавіші результати останніх десятиліть були отримані завдяки поєднанню різних предметів.
Тому математика отримала велику користь від вибуху телекомунікацій ...
Це правда. Електронна пошта вже давно є важливою частиною обміну думками. Однак останні передаються ефективніше за допомогою відеоконференції, коли ми говоримо віч-на-віч. Але ніщо не може перевершити реальної зустрічі в плоті, коли справа доходить до міркувань або розуміння демонстрації. Незважаючи на вибух засобів спілкування, що характеризує наш час, ми не скоротили наші подорожі. Навпаки. Математики ще ніколи не подорожували так, як сьогодні.
Чи часто математичні задачі, які хвилюють вас, знаходять їх рішення в куті дошки під час неформальних дискусій?
Наш матеріал справді дуже базовий, його можна звести до паперу, дошки та чогось, на чому можна писати. Раптом колега може розплющити очі, запропонувавши підхід, про який ви не задумувались, і дошки може бути достатньо, щоб викинути або грубо перевірити ідею. Але рішення також падають на нас, довго думаючи про проблему, а потім на мить залишивши її осторонь. У зв'язку з цим відома історія французького математика Анрі Пуанкаре (1854-1912). Поки він деякий час складав графіки диференціальних рівнянь, він вирішив відійти від справи, здійснивши геологічну пошукову кампанію. У момент від'їзду, коли він сідає в транспортний засіб, а його розум перебуває в іншому місці, він раптом і з великою ясністю бачить, що його система рівнянь ідентична іншій, яка використовується в зовсім іншій галузі математики, неевклідовій геометрія. Це раптове бачення дозволить йому зробити важливий прорив у своїй галузі досліджень.
Чи існують різні школи думки в математиці?
Ми не можемо узагальнювати, особливо в епоху глобалізації та Інтернету, які сприяють стандартизації ідей. Тим не менш, ми можемо виділити кілька архетипів математиків. З французької сторони таємне товариство Ніколя Бурбакі, яке вперше зібралося в Оверні в кінці 30-х років, досягло багатьох важливих результатів, особливо в алгебрі. Його спосіб роботи та мислення, заснований на абстрагуванні та узагальненні, вплинув на багатьох французьких математиків, які слідували за ними. У Росії, звідки я родом, підхід, можливо, більш прагматичний. Ми починаємо з прикладів, а потім узагальнюємо. Ми намагаємося запозичити інтуїцію з інших областей, особливо з фізики.
Що щодо Швейцарії?
Швейцарія знаходиться в центрі Європи, і тому вона знала багато обмінів та наукових впливів, будь то з Франції, Німеччини та навіть Росії, з якими обміни застаріли. Дійсно, першими трьома математиками в Росії були швейцарці. Наприкінці XVII - на початку XVIII століття цар Петро Великий, прагнучи модернізувати свою країну та зменшити науковий розрив, який відокремлював її від решти Європи, намагався залучити до свого суду вчених. Так, за рекомендацією великого німецького математика Готфріда Вільгельма Лейбніца (1646-1716), він запросив братів Базелів Ніколя та Даніеля Бернуллі приїхати викладати в його нову Академію наук у Санкт-Петербурзі. Ніколас захворів у 1727 році, лише через вісім місяців після прибуття до Санкт-Петербурга. Потім його замінив інший швейцарець Леонард Ейлер. Цей пробуде понад тридцять років у всій Росії (до того ж там похований). У моїй країні він вважається російським математиком швейцарського походження. Він створив російську математичну школу. Той, за яким я пішов через три століття.
Від Ленінграда до Женеви
Народився в 1970 році в Ленінграді (нині Санкт-Петербург), на Станіслава Смирнова вплинув його дідусь, математик за освітою, який зробив кар'єру інженера та професора механіки. Він першим дав Станіславу смак науки. Юнак навіть почувався настільки комфортно в цій галузі, що виграв золоту медаль із досконалими балами на Міжнародній математичній олімпіаді в 1986 та 1987 роках.
Станіслав Смирнов починає навчання в Санкт-Петербурзькому державному університеті, коли залізна завіса розтріскується в Європі. Для студентів це напружений час, особливо у 1991 та 1992 роках, коли Радянський Союз розпадається та створюється нова Росія.
"Це був час надії та ентузіазму", - згадує Станіслав Смирнов. Ми брали участь у заходах, демонстраціях. Ми думали, що світ та Росія змінюються на краще ".
Реальність виявляється жорсткішою, ніж очікувалося. За одну ніч система освіти, вільна за комуністичного режиму, стає відповідальністю учнів. На факультетах панує хаос.
У 1992 році Станіслав Смирнов, який тоді закінчував університетський бакалаврат, прийняв запрошення Каліфорнійського технологічного інституту для виконання дипломної роботи. Після кількох років, проведених на заході США, молодий математик продовжив свою академічну подорож через Єльський університет, Інститут математики Макса Планка в Бонні, Інститут перспективних досліджень в Принстоні, Королівський технологічний інститут у Стокгольмі, нарешті, у 2003 р. в Женевському університеті, де здобув професорське звання.
"Я вже знав університет", - пояснює він. Там моя дипломна робота робила моя дружина. Вона досі працює в тому ж розділі, що і я, викладачем ".
Протягом багатьох років дослідник збирав такі відзнаки, як Премія Салема та Премія за дослідження глини у 2001 році, Премія Ролло Девідсона у 2002 році або Премія Європейського математичного товариства у 2004 році. Пік досяг у 2010 році з найвищою медаллю Fields. відзнака в математиці, еквівалент Нобелівської премії з точки зору престижності (однак сума винагороди набагато скромніша).
Однак персегринації Станіслава Смирнова ніколи не відрізали його від батьківщини. Математик зберігає часткову посаду в університеті Санкт-Петербурга, де він керує лабораторією та допомагає модернізувати освітню систему.
«Сьогодні в російській науці є розрив між поколіннями, - пояснює Станіслав Смирнов. Є дуже яскраві молоді студенти та старі дослідники, які все ще дуже активні та мають дуже високий рівень. Але перші прагнуть піти, а другі досягли пенсійного віку. У країні дуже бракує дослідників у віці від 30 до 60 років. Вони існують, але їх набагато менше, ніж раніше. Я намагаюся допомогти вирішити цю проблему. Я вважаю, що для Європи та світу добре, що російська наука може повністю відновитись і повернути собі чільне місце ".
Станіслав Смирнов у демонстрації
Як це часто буває в математиці, робота, яка в 2010 році отримала Польову медаль (найвища відзнака в цій дисципліні) професора математичного відділу Станіслава Смирнова, базується на досить простих твердженнях. Початкова ідея "просочування", названа даною теорією, полягає у визначенні ймовірності знайти в ідеалізованому матеріалі, що має певну пористість, безперервний шлях, щоб вода могла перетнути його через.
Трохи подібно до гри у лабіринт для дітей, мова йде про пошук шляху, що з’єднує точку А з точкою Б. З тією різницею, що у «дорослій» версії цього захоплення все досить швидко ускладнюється. Лабіринти випадкові, і недостатньо знайти маршрут. Також потрібно знати, як розрахувати їх вірогідність існування та багато іншого.
Один із способів візуалізувати проблему просочування - взяти аркуш сітки та забарвити краї у синій колір, якщо через нього може текти вода, або в жовтий, якщо він не може. Кожного разу колір визначається випадково. Якщо це 50-50, то ви можете вибрати синій або жовтий колір кожного краю, зігравши жеребкування монети. Щоб віддати перевагу одному кольорові іншому, просто прокапайте шматок піпеткою так, щоб він падав більше з одного боку, ніж з іншого. Врешті-решт, як тільки аркуш заповнений, ми можемо перевірити, чи вдається текти воді, граючи в лабіринт, точніше шукаючи шлях суміжних блакитних країв, що з’єднують верхній край із нижнім.
Якщо частина, яка використовується для визначення кольору кожного квадрата, є сильно упередженою на користь синього, майже впевнено, що вода може циркулювати. З іншого боку, навпаки, майже напевно, що рідина не проходить. Примітним у цих моделях просочування є те, що між цими двома крайностями ймовірність течії води не змінюється регулярно. Насправді це проходить через поріг. Іншими словами, вода майже напевно буде заблокована до тих пір, поки відсоток блакитних квадратів залишатиметься нижче певного значення. Близько цієї межі ймовірність того, що вода може текти, зростає дуже швидко. Значення цього порогу називається критичною точкою.
Якщо ці моделі представляють такий інтерес для фізиків, то це тому, що в природі існує багато явищ з такими критичними точками, також відомими як фазові переходи. Наприклад, гаряча вода на рівні моря починає кипіти при 100 ° C, але не раніше. Магнетизм з’являється в деяких матеріалах, як тільки ми опускаємося нижче певної температури (називається Кюрі). Лісова пожежа поширюється масово, якщо відстань між кожним деревом менше певної величини. Це також стосується поширення хвороби за ступенем зараженості. Глиняний грунт затримує воду, пухкий грунт пропускає її ...
Проблема, звичайно, полягає в тому, що природа, загалом, не схожа на мережу дуже правильних маленьких квадратиків діаметром 0,5 см. По-перше, поведінка системи в нашому масштабі визначається статистичною поведінкою її компонентів у мікроскопічному масштабі, навіть атомному масштабі в деяких випадках. Тому необхідно максимально вдосконалити сітку моделі, сподіваючись, що отримані результати прагнуть до єдиного граничного значення (так званого "обмеження масштабу") і не розходяться під час мініатюризації. Крім того, мережа може складатися з квадратів, а також із трикутників, діамантів, шестикутників.
У 1992 році Джону Карді, фізику з Оксфордського університету у Сполученому Королівстві, на основі ряду гіпотез та аргументів, вдалося встановити точну формулу, яка давала ймовірність течії води в пористому матеріалі, у випадку межа шкали і поблизу критичної точки. З фізичної точки зору це подвиг. Проблема в тому, що це фізична інтуїція. І це має бути перетворено на сувору математичну демонстрацію.
Тут заходить Станіслав Смірнов. Після встановлення міцної математичної основи для теорії перколяції він показав у 2001 р., Що ця критична ймовірність або критична точка існує у двовимірній трикутній решітці та знаходиться в межах масштабу, і що її значення таке ж, як і значення, отримане методом Карді формула. Її доказ ґрунтується на підході, незалежному від підходу, який застосовували до того часу фізики.
Вони полегшено зітхають від роботи Станіслава Смирнова. Тим паче, що математик, продовжуючи свій імпульс, використовує подібні методи, щоб продемонструвати обгрунтованість іншої моделі, моделі Ізінга, яка описує такі явища, як магнетизм, рух газів, поводження із «образом чи екологією».