Зростання та процеси зростання

sp, версія 010, 2019-04-19

Лінійне зростання

Біля лінійне зростання швидкість змін є постійною k: f '(t) = k

зростання

Через f '(t) ≈ Отже, Δf/Δt = k випливає: Δf = k? Δt, d. H. збільшення Δf пропорційне періоду часу Δt. k також називають константою пропорційності, k чітко описує нахил прямої.

Примітка: Відмінності розуміються під Δf або Δt:

  • Δt: = t₂ - t₁
  • Δf: = f₂ - f₁: = f (t₂) - f (t₁).

DGL: f '(t) = k> Рішення: f (t) = k? t + C

приклад: Я плачу 5 євро на рахунок щомісяця: f (t) = 5? t + C з t в місяцях. Константа C визначається з умови f (0) = C (інтерпретація?).

Експоненціальне зростання

Біля експоненціальне зростання швидкість зміни пропорційна поточному запасу: f '(t) = k? f (t)

На експоненціально зростаючий розмір f (t) також змінює темп зростання (Чому?), Тому поточний запас f (t) зростає за ті самі періоди часу Δt на той самий коефіцієнт b: f2 = b? f1 > b = f2/f1, застосування: Кількісний тест!

DGL: f '(t) = k? f (t)> Рішення: f (t) = a? e kt з a = f (0) = початковий запас і k: фактор зростання.

приклад: Молоко (відповідно до регламенту якості молока) поділяється на два класи якості 1 та 2. Молоко 1 ступеня містить до 100 000 мікробів на мл. У теплому середовищі (від 20 ° C до 30 ° C) мікроби розмножуються в геометричній прогресії.

Вправи для цього прикладу

  • (1) Ми розглядаємо молоко класу якості 1: Через t = 5 год на мл припадає близько 700000 мікробів. Опишіть приклад експоненціальною функцією g (t) (з t в годинах!)
  • (2) Поясніть, що описує функція g (t) у фактичному контексті.
  • (3) Визначте швидкість зміни розчину в (1). Інтерпретація у фактичному контексті?
  • (4) Молоко стає кислим, коли воно містить приблизно 1 000 000 мікробів на мл. Підрахуйте, коли молоко закисне.
  • (5) Поясніть, як визначити час подвоєння tD. Інтерпретація у фактичному контексті?

поглиблення: Навчальний шлях до експоненціальних процесів зростання та зменшення
> Вправа 2.4 Охолодження тут корисно

Екскурс: фактор-критерій

Для рівних інтервалів часу Δt має бути частка значень функції f (t2)/f (t1) постійний бути: f (t2) = b? f (t1)

Приклад: t1 = 3, t3 = 5, f1 = 10, f3 = 4,9> 4,9/10 = 0,49 = b? b = b² - b = v 0,49 = 0,7> b = 0,7 = e k - k = ln (0,7) = -0,3567> f (t) = a? e -0,3567t з a = f (0)

Примітка: У прикладі f3 = b? б? f1 = b²? f1 (і f2 = b? f1)

Обмежений ріст

Біля обмежений ріст швидкість змін пропорційна різниці між запасами f (t) і Межа G, так до можливого залишку: f '(t) = k? (G - f (t))

обмежений ріст може за функцією f (t) = G + b? e -kt (з b 0) можна описати. З цього випливає: f (0) = G + b = Початковий баланс

DGL: f '(t) = k? (G - f (t))

приклад: Пацієнту вводять ліки крапельно. Передбачається, що пацієнт

  • 4 мг/хв препарату поглинає
  • 5% препарату, який в даний час присутній у крові, виводиться через нирки.

Вправи для цього прикладу

  • (1) Максимальна кількість препарату в крові не повинна перевищувати 80 мг, початкове значення f (0) = 0. За допомогою цієї інформації дайте функцію зростання f (t) (t за хв).
  • (2) Поясніть, що описує функція зростання у фактичному контексті.
  • (3) Поясніть, на якому етапі враховується прийом препарату 4 мг/хв.
  • (4) Визначте момент часу t, коли досягається 90% максимального значення.

Практикувати: У Cornelsen Q1 (обсяг Lk) є приклад на стор. 158/159. > Корисні завдання: с. 161/9 та с. 162/12.

Логістичне зростання

Біля логістичне зростання швидкість зміни пропорційна запасу f (t) та рештам запасу G - f (t):

f '(t) = k? f (t)? (G - f (t)) (з k> 0).

Тут G знову означає верхню межу.

Функція зростання: $$ f (t) = \ frac> $$

З функції зростання читаємо для t = 0 (інтерпретація?): $ F (0) = \ frac $

DGL: f '(t) = k? f (t)? (G - f (t))

приклад: У цьому прикладі ми розглядаємо корінне плем’я у тропічному лісі. Тут живе 5000 корінних жителів, ізольованих від зовнішнього світу. Один з тубільців захворів на дуже заразний (але нешкідливий!) Грип. Через чотири тижні вже 300 хворих.

Вправи для цього прикладу

  • (1) Обґрунтуйте припущення про логістичне зростання в цьому прикладі.
  • (2) Знайти функцію росту f (t) (t в тижнях).
  • (3) Обчисліть момент часу t, коли половина корінного населення захворіла. (> Інтерпретація у фактичному контексті?)
  • (4) Визначте середнє збільшення числа хворих людей (за тиждень) протягом перших 2 місяців.

Практикувати: У Cornelsen Q1 (обсяг Lk) є приклад на стор. 163/164. Корисно як завдання: стор. 165/ні. 14 і 15.

Примітка щодо позначень: Показник експоненціальної функції: k? G? T стає z. Б. у Корнельсена також писали так: q? t з q = k? G (де Корнельсен використовує букву k замість q!).

Отруєний ріст

Біля отруєний ріст пригнічується ріст популяції, що може призвести до вимирання популяції. Приклад можна знайти в роботі 2 курсу (> пероральні ліки).

Зовнішньо отруєний ріст: тут кількість отрути зростає пропорційно часу t (> c? T), тоді як фактор росту (k - c? t) загальний зменшується з часом. Для швидкості змін отримуємо: f '(t) = (k - c? T)? f (t)

Функція зростання: f (t) = a? e kt - 0,5? c? t 2 з a = f (0) = інвентар, що відкривається

приклад: Хоча логістичне зростання базується на припущенні, що існує верхня межа G для зростання, у випадку епідемії грипу більш вірогідно, що хвиля грипу стихає повільно. Це говорить про отруєний ріст: ми реєструємо інфекцію (= ріст) через рівень зараження k, "кількість отрути" відповідає в цьому прикладі швидкості відновлення c.

Вправи для цього прикладу

  • (1) На початку заражено 10 людей, рівень зараження становить 0,25. Функція f (t) підраховує кількість заражених людей у ​​100. Визначте функцію росту f (t) (t в днях), якщо через 5 днів є 24 заражених людей.
  • (2) Покажіть з ескізом, що функція росту з (1) адекватно описує епідемію грипу.
  • (3) Визначте максимальну кількість заражених людей.
  • (4) Визначте терміни максимального збільшення кількості заражених людей та терміни максимального зменшення.

Практикувати: У Cornelsen Q1 (Lk том) завдання с. 152/5 та с. 179/4. Подальші завдання щодо отруєного зростання: с. 183/12 та 13.

поглиблення: Отруєне зростання (стаття у Вікіпедії)

Примітка щодо функції зростання: Тип функції росту, звичайно, залежить від швидкості змін (тобто від DGL!). На додаток до згаданої вище функції зростання f (t) = a? e kt - 0,5? c? t 2 для зовнішньо отруєного росту можливі ще два класи функцій:

  • f (t) = (a + b? t)? e –ct, тобто сума показникових функцій.
  • f (t) = a? (e –pt - e –qt), тобто різниця між експоненціальними функціями (> див. роботу 2-го курсу!).

Заповніть бланк

При лінійному зростанні швидкість змін є постійною, тобто _______________________. Тому коефіцієнт від ____________________________ завжди однаковий.

За експоненціального зростання швидкість змін пропорційна запасу, тобто ____________________. Тому коефіцієнт від __________________ завжди однаковий.

Ліворуч

Йохен Пеллац: Зростання та занепад: Пропонує короткий зміст на тему процесів росту.

На веб-сайті Г.Рульфса багато (!) Матеріалів:

  • Ріст або процеси росту
  • Хороший огляд теми Процеси зростання.

> Робочий аркуш із зазначеними вище завданнями.

Джерела прикладів:

  • Експоненціальне зростання: на основі ЕдМ Гессена, базовий та вдосконалений курс (2011), стор. 112/ні. 3
  • Обмежений ріст або логістичне зростання: На основі аналізу LS Lk (2001), с. 292/no. 6 або с. 296/No 7-й
  • Отруєне зростання: на основі аналізу математики нових шляхів II (2011), с. 268/No. 13 (див. Також Нові шляхи, с. 321!)

рішення

Заповніть бланк

При лінійному зростанні швидкість змін постійна, тобто. в ті ж періоди часу Δt спостерігається однакове збільшення Δf. Тому коефіцієнт вимкнено Δf і Δt завжди однакові.

При експоненціальному зростанні темп змін пропорційний запасам, тобто. в ті самі періоди часу Δt, f (t) збільшується на той самий коефіцієнт (або на той самий відсоток). Тому коефіцієнт вимкнено (f2/f1) (або. f (t2)/f (t1) ) завжди однакові.

рішення функції росту