Математичний парія входить до лав «За науку»
Математики встановили дивовижні зв’язки, що називаються місячними, між групою атипових симетрій та іншими математичними об’єктами, які називаються модульними фігурами.
- Google +
- Друкувати
Модульні функції визначаються природним чином на «півплощині Пуанкаре», геометрія якої є неевклідовою (гіперболічною). Вони мають особливі симетрії, як наведена вище.
У США самогон відноситься до контрабандного алкоголю, зазвичай виготовленого з кукурудзи. Безперечно, тому, що людина повинна втратити голову, математики використали цей термін для позначення колекції загадкових і трохи "божевільних" математичних результатів, які встановлюють дивовижні зв'язки між об'єктами апріорі без посилань, що належать до дуже віддалених областей, скінченних групи та модульні форми. З часу відкриття першого самогону в 1979 р. Було виявлено близько 20 таких зв’язків. Кен Оно з Університету Еморі в Атланті та його колеги щойно відкрили нову, тим більш вражаючу, що вона включає одну з найбільш маловідомих груп симетрій: групу О '. Нан, що належить до т.зв. групи "парія".
У математиці симетрія - це перетворення, яке залишає об’єкт незмінним. Найпростіші приклади - це ті, які можна зустріти в геометрії в школі: обертання та осьові симетрії. Наприклад, для рівностороннього трикутника існує шість симетрій: три обертання (120, 240 та 360 градусів) та три осьові симетрії з трьома перпендикулярними бісектрисами як їхньою віссю. У випадку з колом усі обертання, що мають для центру обертання кола, і всі осьові симетрії, вісь яких проходить через центр кола, залишають коло незмінним. Ми говоримо про дискретні симетрії трикутника та про неперервні симетрії кола. У 1872 р. Німецький математик Фелікс Кляйн започаткував дослідницький проект - програму Ерлангена, що складалася з формалізації геометрії з теорії груп, концепції, запровадженої кількома десятиліттями раніше французом Еварісте Галуа.
Щаслива родина та ізгої
Існує велика різноманітність груп симетрій. Математики гадали, чи можна організувати їх у сім'ї. Примітно, що в 1892 році Отто Гелдер припустив, що можна класифікувати скінченні прості групи, які є елементарними складовими, що дозволяють будувати більш загальні скінченні групи. У 1972 році Даніель Горенштейн з Гарварду запропонував гіпотезуальну програму, призначену для завершення класифікації "простих кінцевих груп". Доказ цієї класифікації був остаточно завершений у 2002 році і налічує понад 10 000 сторінок, що охоплюють майже 500 статей! Результатом класифікації є те, що існує невелика кількість нескінченних сімейств простих скінченних груп, які можна будувати систематично, а також 26 інших груп, які не відносяться до цих сімей: групи називаються спорадичними.
"Група монстрів" є найбільшою із спорадичних груп. Про його існування здогадались у 1973 р., Незалежно від Роберта Грісса з Мічиганського університету та Бернда Фішера з Університету Гете у Франкфурті. Він не був повністю побудований до 1982 року Робертом Гріссом. Треба сказати, що цей є гігантським: він має понад 10 53 елементів, або приблизно кількість атомів на планеті Юпітер! Самі спорадичні групи діляться на два класи. Двадцять із них, усі пов’язані з групою монстрів, становлять «щасливу сім’ю». Шість останніх називаються групами ізгоїв і, схоже, вони не стосуються інших.
Жахливе божевілля
Спорадичні групи - це те, що нас тут цікавить. Одне з найбільш вражаючих відкриттів - це «жахливий самогон», який встановлює зв'язок між групою монстрів та іншим математичним об'єктом, модульною формою. У 1978 році Джон Маккей з університету Конкордія в Монреалі спостерігав дивовижний збіг обставин. Його зацікавила функція J, класична модульна форма, що датується 19 століттям. Модульні форми є важливими об’єктами теорії чисел. Вони лежать в основі, зокрема, доказу теореми Ферма Ендрю Уайлсом у 1995 р. Ці об’єкти є класом функцій, які представляють особливі симетрії.
У теорії струн математична узгодженість вимагає, щоб було більше просторових розмірів, ніж три з відомих нам: 25 розмірів для так званих моделей бозонових струн, 9 вимірів для так званих суперсиметричних струн. Де ці зайві розміри, яких ми не бачимо? Вони б намотувались на собі в крихітних масштабах, так що вони залишаться непомітними для нас. Однак, щоб описати теорію струн, ми повинні вибрати геометрію цієї обмотки; говориться про "компактифікацію" додаткових розмірів. Теорія струн, що з'являється в жахливому самогоні, є теорією бозонових струн, у якій ущільнено 24 з 25 розмірів простору. Однак бозонічна теорія струн, на відміну від суперсиметричної теорії струн, вченими не вважається реалістичною. Вони побачили в цьому результаті щось дивовижне, але не обов'язково корисне для вивчення теорії струн.
Однак у 2010 році троє спеціалістів для струн, Хіросі Угурі, Тору Егучі та Юдзі Тачікава, які працювали над версією суперсиметричної теорії струн з деякими розмірами, ущільненими у геометричну форму, що називається поверхнею К3, виявили новий самогон. Якщо вони писали функцію, що підраховує кількість фізичних станів, що з'являються в цій теорії, коефіцієнтами були розміри просторів, для яких можна було б реалізувати як групу симетрій іншу спорадичну групу (група Матьє 24). Потім хвиля ентузіазму прокотилася по рядах математиків та фізиків.
Лавина самогону
За цим результатом Міранда Ченг та два його колеги припустили існування 23 місячних місяців, які вони називають "місячними місяцями". Дійсно, ці зв’язки пов’язують певні спорадичні групи з функціями, пов’язаними з модульними формами, які називаються їх „тінями” (umbra латиною), і з поверхнями K3. У 2015 році Кен Оно та два його колеги продемонстрували існування амбральних самогонів.
Усі ці місячні місяці пов’язані зі спорадичними групами щасливої родини. Чи існують також самогони для груп ізгоїв? Кен Оно та його колеги щойно відповіли ствердно. Вони показали, що групи ізгоїв О’Нан та Янко пов’язані з іншим типом модульної форми, ніж попередні самогонні апарати (модульні форми “3/2 ваги”). Троє математиків виявили цей самогон так само, як Джон Маккей, помітивши числові відповідності, отримані з цих різних об'єктів.
Задіяні тут модульні форми також пов'язані з іншим типом центрального об'єкта в теорії чисел - еліптичними кривими. Таким чином, група О’Нан містила б багато інформації про еліптичні криві, навіть якщо на даний момент характер основних симетрій ще потрібно з’ясувати. Однією з особливостей еліптичних кривих є подання точок, координати яких є раціональними числами. Одна проблема полягає в тому, що за певної кривої вона містить такі точки і де вони розміщені. Такого роду допити знаходяться серед найскладніших проблем теорії чисел, таких як доказ останньої теореми Ферма, доведений Ендрю Уайлсом, або здогадка Бірча-Свіннертона-Дайєра, одна з семи "проблем тисячоліття", демонстрація яких буде винагороджена призом у мільйон доларів. Откриття Кена Оно та його колег може, отже, стати потужним інструментом для кращого вивчення цих відомих еліптичних кривих.