Обчислити кути Обчислити кути
У цій статті ми розглянемо обчислення кутів. Також наводяться відповідні формули та приклади. Ця стаття є частиною нашого математичного середнього рівня.
У математиці існує безліч формул для обчислення кутів. Далі наведено лише перелік тем, пов’язаних з обчисленням кутів, з якими ми детальніше розберемося нижче, а також наведемо відповідні формули та приклади. До тем:
- Тригонометричні функції sin, cos і tan
- Закон синусів і закон косинусів
- Сума кутів трикутника і квадрата
- Обчисліть кут різання
1. Тригонометричні функції sin, cos і tan
Кутові функції можна використовувати для обчислення кутів. Функції синуса, косинуса та дотичної для обчислення кута можуть використовуватися лише на прямокутному трикутнику. На наступному графіку показано такий трикутник. Тоді ми переходимо до обчислення кутів:
Це був прямокутний трикутник. На цьому етапі вам потрібно запам’ятати кілька термінів. Вони з’являються знову і знову в розрахунку. Є кілька властивостей, на які слід звернути увагу:
- Праворуч, внизу трикутника, намальовано прямий кут
- Позначаємо кут внизу ліворуч як α (розмовно: альфа)
- Сторону "а" називають протилежним катетом, оскільки вона лежить навпроти кута α
- Сторону "b" називають сусідньою, оскільки вона лежить під кутом α
- Сторона "с" називається гіпотенузою
Терміни суміжні, протилежні та гіпотенузи вже повинні бути вам знайомі з теореми Піфагора. Перший спосіб обчислення кута - це синус. Застосовується наступне математичне співвідношення:
- Для альфа (α) використовується кут у градусах, наприклад 20 градусів або 40 градусів.
- Довжини для протилежного катету та гіпотенузи повинні використовуватися в одних і тих же одиницях, наприклад, вставити все в метри.
- Вам потрібно встановити для вашого калькулятора DEG (градусів), інакше ви отримаєте неправильний результат.
- Якщо ви хочете розрахувати кут, вам доведеться працювати з arcsin (див. Приклади)
Приклад 1 (синус):
Протилежний катетус має довжину 3 см (а = 3 см), а гіпотенуза має довжину 5 см (с = 5 см). Наскільки великий кут α (альфа)?
Прокручування таблиці праворуч
Пояснення для розрахунку: Покладіть числа в рівняння синусоїди. Потім ділення обчислюється з правого боку. Ви отримуєте sinα = 0,6 градуса. Тепер настає цікава частина: щоб позбутися гріха, вам потрібно використовувати арксин. Тож вам доведеться зайти в калькулятор arcsin 0,6 введіть. Це призводить до кута 36,78 градусів (якщо для калькулятора встановлено градус).
Косинус/косинус:
Після синуса ми приходимо до косинуса/косинуса. Формула виглядає так:
Приклад 2 (косинус):
Сусідній катетус має довжину 3 см (b = 3 см), а гіпотенуза має довжину 5 см (c = 5 см). Наскільки великий кут α (альфа)?
Прокручування таблиці праворуч
Примітка щодо обчислення за косинусом: Покладіть числа в рівняння косинуса. Потім обчислюється ділення праворуч. Ви отримуєте cosα = 0,6 градуса. Тепер настає цікава частина: щоб позбутися cos, вам потрібно використовувати arccos. Тож вам доведеться зайти в калькулятор arccos 0,6 введіть. Це призводить до кута 53,13 градуса (якщо ви встановили калькулятор на градус).
Після синуса та косинуса функція дотичної тепер увімкнена. Тут теж насамперед формула:
Приклад 3 (тангенс):
Сусідній катет має довжину 3 см (b = 3 см), а протилежний катет має довжину 3 см (a = 3 см). Наскільки великий кут α (альфа)?
Прокручування таблиці праворуч
Підключіть числа до рівняння дотичної. Потім обчислюється ділення праворуч. Ви отримуєте tanα = 1. Тепер настає цікава частина: щоб позбутися засмаги, вам потрібно використовувати арктан. Тож вам доведеться зайти в калькулятор арктан 1,0 введіть. Це призводить до кута 45 градусів (якщо для калькулятора встановлено градус).
2. Закон синуса і закон косинуса
У тригонометрії закон синусів встановлює залежність між кутами загального трикутника та протилежними сторонами. Формули швидкості синуса посилаються на таку графіку:
Формули закону синуса:
У кожному трикутнику довжини двох сторін поводяться як значення синуса протилежних кутів:
Закон синусів часто формулюється як рівняння відношення:
Довжини a = 5 см, b = 4 см і кут α = 70 градусів відомі. Кут β слід обчислити.
Рішення: Ми беремо інформацію з тексту та вставляємо її у формулу (пояснення нижче).
Ми перетворюємо формулу в sin (β), а потім вставляємо значення. Через arcsin ми отримуємо кут згодом.
У тригонометрії закон косинусів виражає залежність між трьома сторонами та кутом у трикутнику. Формули закону косинусів посилаються на таку графіку:
Формули закону косинусів:
У тригонометрії закон косинусів пов'язує три сторони трикутника з косинусом одного з трьох кутів трикутника. Формула цього виглядає так:
Дано A = 11, b = 10 та c = 13. Кут α слід обчислити. Далі ви можете побачити рішення цього завдання, пояснення подані нижче:
Спочатку ми переставляємо формулу так, щоб cos (α) знаходився з одного боку рівняння, а вся інша інформація - з іншого. Потім ми вставляємо значення і обчислюємо інформацію. Останнє, що потрібно зробити, це використовувати дуги, щоб отримати кут.
3. Сума кутів трикутника і квадрата
Почнемо з трикутника. Це має три сторони та три кути. На наступному графіку показано, як виглядає трикутник:
Для кутів цікаво наступне: Сума всіх кутів у трикутнику дорівнює 180 градусам. Це означає:
Приклад: Ви знаєте, що альфа-кут становить 60 градусів, а бета-кут - 90 градусів. Тоді кут гамми повинен бути 30 градусів, оскільки 60 градусів + 90 градусів + 30 градусів = 180 градусів.
Почнемо з визначення квадрата: Плоска фігура, укладена чотирма лініями, називається квадратом. Чотири лінії називаються сторонами квадрата. Якщо дві сторони знаходяться поруч, вони мають спільну кутову точку. Цим кутовим точкам зазвичай присвоюються великі літери A, B, C і D. Крім того, кути втягуються в квадрат у математично позитивному сенсі. Це α (вимовляється: альфа), β (вимовляється бета), γ (вимовляється: гамма) та δ (вимовляється: дельта). Лінії, що утворюють квадрат, також позначені буквами a, b, c і d.
На наступному графіку показано квадрат:
Властивості квадрата:
- сфера застосування: Сума всіх довжин ліній називається колом квадрата.
- сфера застосування = a + b + c + d
- Сума кута: Якщо додати суму всіх внутрішніх кутів - див. Графіку вище - ви отримаєте 360 градусів, як коло
- Сума кута = 360 ° = α + β + γ + δ
- інформація: Чотирикутник має чотири кути, чотири внутрішні кути та чотири обмежувальні сегменти.
4. Обчисліть кут різання
Векторне обчислення - це також обчислення за кутами. Далі ми розглянемо, як обчислити кут перетину між двома прямими та кут перетину між прямою та площиною.
Кут різання дві прямі лінії:
Для більшості це може здатися цілком логічним, але для повноти потрібно вказати умову для обчислення кута перетину двох прямих: дві прямі повинні взагалі перетинатися. Якщо ми маємо дві прямі лінії в просторі, які ніде не перетинаються, безглуздо обчислювати для них кут перетину. Якщо у завданні прямо не зазначено, що дві прямі лінії перетинаються, ви можете перевірити це самостійно (див. Нашу статтю Перетин двох прямих ліній).
Якщо зараз переконано, що є точка перетину, тепер можна починати обчислення кута перетину. Спочатку невеликий графік, а потім формула для обчислення кута:
Формула для розрахунку кута різання:
Кут перетину φ прямих ліній g1 та g2 з відповідними векторами напрямку обчислюється наступним чином:
Важливо: Перш ніж використовувати arccos, слід встановити калькулятор на DEG або DEGREE.
Далі слід обчислити кут перетину двох прямих. Примітка: У нашій статті Перетин двох ліній вже було показано, що дві прямі взагалі перетинаються.
Кут різання: прямий до площини
У цьому розділі ви повинні навчитися обчислювати кут перетину прямої та площини. Спочатку ми надамо вам загальну формулу та приклад для кращого розуміння.
Формула: Кут перетину прямо до площини
Примітка: Розрахунок може бути здійснений особливо легко, якщо площину подано у координатній формі. При необхідності ви також можете перетворити рівень. Див. Перетворення параметричного рівняння на координатне рівняння.
Дано площину Е і пряму g. Необхідно обчислити кут перетину між площиною та прямою.
Рішення: Беремо вектор нормалі з площини, а потім вставляємо всю необхідну інформацію в рівняння для обчислення кута.