Олімпіада - 8 клас

1. - 34-а олімпіада - завдання та рішення 1.-34. Олімпіада - 1

клас

Вправа 010834: У кого є кільце? Рут, Фріц, Евальд, Бріджит та Еріка грають у пішак. Рут виходить із кімнати; тим часом один з інших дітей ховає разом із ним кільце. Рут повертається, щоб з’ясувати, у кого є перстень. Зараз кожна дитина робить три твердження. З цих тверджень два істинні, а одне хибне. На основі цих тверджень Рут повинна з’ясувати, хто має перстень, не здогадуючись. Евальд: 1. У мене немає кільця. 2. У Фріца є кільце. 3. Я грав у цю гру багато разів. Фріц: 1. У мене немає кільця. 2. Евальд помиляється, коли вважає, що я маю каблучку. 3. У Еріки є каблучка. Тепер Рут перебиває і каже: я повинен подумати, можливо, я дізнаюся, у кого є перстень. А через кілька хвилин Рут каже, у кого є перстень. Як вона могла сказати? Вправа 010835: Точки P і Q задані на відстані 5 см. Побудуйте дві паралелі, одна з яких проходить через P, друга через Q і які знаходяться на відстані a = 3 см. Обґрунтуйте конструкцію! Скільки різних варіантів існує на рівні? 1.-34. Олімпіада - 5-а

Вправа 020814: Додайте відсутні цифри до наступної задачі на ділення! Як визначали цифри? (Причина!):? = 8 Вправа 020815: Доведіть таку теорему: 0 Якщо центр окружності трикутника лежить на одній із його сторін, то трикутник прямокутний! Вправа 020816: Дано прямокутник ABCD, сторони якого всі розділені у співвідношенні 1: 2, як на малюнку. Ми називаємо підпункти P, Q, R, S і з'єднуємо їх безперервно. D S R C а) Виконайте цю конструкцію для прямокутника зі сторонами AB = 10 см і BC = 7 см! Q b) Яким квадратом є квадрат P QRS? (Доказ!) A P B c) Як співвідноситься площа квадрата P QRS з площею прямокутника ABCD? Чи застосовується результат також до інших прямокутників, розділених таким чином? (Причина!) 1.-34. Олімпіада - 7

2. Олімпіада з математики 2-го рівня (Крейзолімпіада) Вправи Вправа 020821: Доведено наступне речення: Якщо дріб a b a + b не можна скоротити, то a b не завжди можна скоротити. Вправа 020822: Згідно з планами на XXII. З’їзд партії КПРС, видобуток вугілля в 1980 р., Як стверджується, на 687 млн ​​т вище, ніж у 1960 р. Видобуток вугілля в 1980 р. Становить 234% порівняно з 1960 р. Розрахуй заплановане видобуток вугілля на 1960 р.! Округли до повного мільйона т! Вправа 020823: Обчислити: m 2 n 2 mn + m2 + 2mn + n 2. m + n Вправа 020824: Які x задовольняють наступне рівняння: (x 2 1) (x: 3 3 1) (3x = 2 4 1) (x: 6 2 2)? 3 Вправа 020825: Дротяні мотузки часто складаються з ниток, які в свою чергу складаються з окремих сталевих проводів. Пасма обмотані навколо змащеного жиром коноплі, що змащує мотузку зсередини. На малюнку показано поперечний переріз такої дротяної мотузки, яка складається з 42 проводів і конопельної серцевини (сірого кольору). Кожна дріт має діаметр 1 мм. Який діаметр кола навколо перерізу мотузки? Причина! 1.-34. Олімпіада - 8

Вправа 020835: Доведіть таку теорему: Якщо провести два діаметри через одну точку перетину двох кіл, інші їх кінцеві точки лежать прямолінійно з другою точкою перетину кіл. Вправа 020836: а) Є три прямі g 1, g 2 і g 3, жодна з яких не є перпендикулярною до будь-якої іншої. Вони перетинаються в точці S. На g 1 є ще одна точка A. Знайдіть трикутник ABC, у якому висоти лежать на прямих. б) Дослідіть усі випадки, коли 2 прямі перпендикулярні одна до одної, а точка А лежить на одній з цих прямих або на третій! 1.-34. Олімпіада - 11

а) Побудуйте трапецію! б) Обґрунтуйте конструкцію! 1.-34. Олімпіада - 15

f) прямокутник (не квадрат) g) п’ятикутник h) восьмикутник? Які можливі шаблони не включені до списку? Зробіть ескіз до кожної вирізаної фігури, з якої ви можете побачити, як повинен бути зроблений плоский виріз, якщо ви хочете отримати розрізану фігуру! 1.-34. Олімпіада - 17-а

4-а олімпіада з математики 2-й рівень (кругова Олімпіада) Вправи Вправа 040821: Будь-яка трапеція ABCD повинна бути перетворена у прямокутник рівної площі (конструкція!). Вправа 040822: Використовуйте будь-яке трицифрове число, щоб сформувати число із зворотною послідовністю цифр, і доведіть, що різниця між двома числами ділиться на 99! Вправа 040823: Дано два сусідні кути α і β з вершиною A і точкою D на спільному катеті (див. Рис.). Α β α D a) Побудуйте трикутник ABC з цього малюнка таким чином, що AD буде бісектрисою! б) За якої умови трикутник ABC стає рівностороннім? Вправа 040824: Пітер у літньому таборі. Він хоче купити Браузе для своєї групи по 21 ффеніг за пляшку і бере із собою порожні пляшки. За викуплений депозит (30 пфенігів за кожну порожню пляшку) він хотів би придбати якомога більше пляшок газованої води. На кожну пляшку потрібно внести ще 30 депозитів. Виявляється, він отримав на 6 пляшок менше, ніж поступився. Він також отримує гроші назад. Скільки порожніх пляшок забрав із собою Петро? (Є не лише одне рішення.) 1.-34. Олімпіада - 18

4-а олімпіада з математики 3-й рівень (районна олімпіада) Вправи Вправа 040831: Якщо поміняти місцями цифри двозначного числа n, ви отримаєте число, яке дорівнює 8 3 числу n. в розмірі більше n. Завдання 040832: Побудуйте прямокутний трикутник, якщо задано радіус r вписаного кола та довжину a катета, та опишіть конструкцію! За яких умов можна проводити будівництво? Вправа 040833: З 31 учня 4 класу 21 може плавати, 24 кататися на велосипеді та 19 кататися на ковзанах. Для змагань вимагаються студенти, які вміють: а) плавати та кататися на велосипеді, б) плавати та кататися на ковзанах, в) їздити на велосипеді та ковзанах, г) плавати та кататися на велосипедах та ковзанах. Скільки учнів у класі доступно для принаймні а), б), в) та г), скільки максимум? Вправа 040834: Дано три відрізки довжинами p 1, p 2 і r з p 1 c (2) a + b = c + d (3) a + d