Вступ до м; напівкласичні методи в квантовому хаосі
де Т - період класичного руху. Узагальнення цього правила на багатовимірні сепарабельні системи, запропоновані Зоммерфельдом, Вільсоном, Шварцшильдом та Епштейном [37, §3.1,], накладаючи умову (1) для кожного ступеня свободи, залишалося занадто обмежувальним і, крім того, запровадило привілейовану систему координат у фазі простору. [31] [[56, для сучасного висвітлення цієї роботи,] див.] Показав, що ми могли б подолати цю останню складність і узагальнити попередні правила, встановивши умови квантування, що містять інтегральні інваріанти:
де D - число ступенів свободи. Ці умови застосовуються не тільки до відокремлюваних систем, але фактично, як тільки еволюція у фазовому просторі залишається обмеженою та інтегрованою. У цьому випадку, в силу теореми Ліувілля [5, §49,], фазовий простір складається з торів, позначених D константами руху. Для кожного значення C ми можемо вибрати будь-яке сімейство петель D, простежених на кожному торі, пов’язаному з C, та гомотопно відмінним. Тоді кількісно спостережувані значення С такі, що всі умови (2) виконуються, і тому їх вибирають лише дискретні значення. Великою заслугою цієї постановки було те, що вона не тільки розширила клас кількісно вимірюваних систем, але й була додатково пояснена геометричною мовою, тобто незалежно від системи координат, обраної у фазовому просторі. Однак, як зазначав сам Ейнштейн, така формулювання втратила сенс кількісно визначати неінтегруючі системи, зокрема ергодичні системи, які, крім того, відігравали вирішальну роль в основах мікроканонічної статистичної фізики.
Доповнюючим підходом, обумовленим [39], [44], [20] та [76], було безпосереднє конструювання наближених рішень рівняння Шредінгера з використанням ейкональних методів, розроблених, крім квантового контексту, Дебаєм, зокрема [37, §5.3,]. Основна ідея теорії (J) WKB полягає в отриманні класичної механіки як наближення квантової механіки, коли довжина хвилі Де Бройля мала в порівнянні з класичними масштабами так само, як ми знаходимо геометричну оптику з хвильової оптики при довжині хвилі світла крихітний. Написавши у формі рішення рівняння Шредінгера
коли. Сума відноситься до всіх класичних траєкторій, що з'єднують q 'з q за час t, і представляє класичну дію, розглянуту як функцію її кінців. є цілим числом, яке залежить лише від кількості та розміру каустики класичного гамільтонового потоку, з яким стикається .
Таким чином, ми потрапляємо в суть сучасної проблематики напівкласичних теорій. Межа величин, побудованих з квантових станів, є сингулярною, коли і ця особливість призводить до термінів, що коливаються з частотою, пропорційною, як це видно в (3) та (4). Тоді нас змушують задуматися про можливість узагальнення виразів, подібних до Ван Влека, який за фіксованих, але малих порівняно з класичними діями дозволяє обчислити у чудовому наближенні квантову кількість, починаючи із та класичних інгредієнтів. Залишається вражаючим те, що піонерські роботи Джеффріса, Крамерса, Бриллюена, Венцеля та Ван Влека знадобилися сорока років, щоб бути значно збагаченими як кращим розумінням квантової та класичної динаміки, так і розширенням областей їх дослідження.
Робота Маслова [48] надала напівкласичному наближенню більш суворі математичні основи, зокрема завдяки кращому контролю помилок, викликаних замінниками виду (3). Точніше, Маслов показав, що амплітуди швидко коливальних доданків можна записати як асимптотичне розширення в степенях, домінантний термін яких веде до напівкласичної інтерпретації WKB, про яку згадувалося вище. Крім того, формулювання Фейнмана про квантову механіку [32], безпосередньо натхненне принципом Гюйгенса-Френеля [5, §46,] обговорення цього принципу в контексті класичної механіки можна знайти в наступному із зауваження Дірака, дозволяє нам краще зрозуміти з фізичної точки зору, чому класична динаміка хоча б частково структурує квантову динаміку. Дійсно, часто можна записати квантову величину як результат втручання між шляхами простору фаз, що належать до набору, але не обмеженим для перевірки принципу найменшої дії. наприклад,
де - Фейнман>, визначений на множині. F і W є двома функціоналами шляхів [p (t), q (t)] і F, які плавно залежать від. Основний внесок в інтеграл (5) надходить від краю, але також від шляхів, де фаза W нерухома, тобто, таким чином, обирається класичне рішення, яке робить W екстремальним. Отже, явне здійснення наближення стаціонарної фази призводить до розвитку типу
де представляє внески граничних доданків. а амплітуди A є функціями принаймні неперервних в околиці 0. Зберігаючи лише члени домінуючого порядку в, ми знаходимо розширення (4), оскільки в цьому випадку крайові члени відсутні і де H - класичний асоційований гамільтоніан з квантовою динамікою, визначеною U. Асимптотичні розширення Маслова отримуються шляхом формального висунення наближення стаціонарної фази до всіх порядків у .
Другою квантовою величиною, яку було напівкласично розраховано, є функція N (E), яка підраховує кількість рівнів енергії менше, ніж E для пов'язаної системи. Отримана щільність енергетичних рівнів, яка виражається як функція спектра гребінцем Дірака:
Більш загально, визначення спектра диференціального оператора є центральною проблемою у багатьох галузях фізики [7]. Див. Введення і його асимптотична поведінка для великих хвильових векторів вже забезпечує велику кількість цінних ознак. У випадку N (E) і одного можна показати, що граничні доданки не тільки присутні, але й, крім того, вони домінують над коливальними вкладами на півкласичній межі. У вищому порядку отримується діленням об'єму у фазовому просторі енергетичного шару E на мінімальний об'єм заповнення окремого стану, дозволений нерівностями Гейзенберга. Якщо D - число ступенів свободи, а H - класичний гамільтоніан, то 2
Перший результат такого роду був отриманий Вейлем для лапласівського спектру в компактній області. Пов'язана з цим класична динаміка тоді відповідає вільній частинці, яка дзеркально відбивається на стінках домену, іншими словами, динаміці всередині більярдного столу. Проблема Вейля була широко вивчена і розширена [7]. Зокрема, ми прагнули отримати та інтерпретувати наступні порядки напівкласичного асимптотичного розвитку, котрий у випадку двовимірного більярду суттєво залежить від його форми (довжина периметра, стать тощо). Узагальнення цих результатів все ще породжує багато відкритих питань [30] Див., Наприклад.
Ця інформація може бути виражена у вигляді багатьох властивостей, які апріорі дуже глибоко вкорінені на квантовому рівні. Це особливо стосується тунельного ефекту, який за визначенням залишається недоступним для суто класичного підходу. Щоб знайти ефекти, які, хоча і експоненціально малі, часто відіграють визначальну роль, можна зрозуміти, чому звичайні формули Гуцвіллера недостатні: вони не містять термінів, які явно зменшуються з. З іншого боку, включення складних траєкторій дає можливість правильно описати ефект тунелю і часто залишається єдиним способом його ефективного розрахунку. Якщо формулювання WKB вже дало можливість напівкласично знайти ефект тунелю для певного ступеня свободи [45, §50,], його узагальнення на більші розміри залишається делікатним, особливо за наявності хаосу [17, 69, 25, 26 і їх посилання.,] Для нещодавніх робіт у цій галузі можна проконсультуватися.
Інші квантові ефекти без класичного аналога є предметом багатьох напівкласичних досліджень. Хвильові явища, пов’язані з дифракцією [55, 59] Ми можемо, наприклад, проконсультуватися, потрапити в цю категорію, а також фазовий зсув хвильових функцій під час адіабатичного варіювання класичних параметрів, що управляють системою, наприклад, що складається із зовнішніх електронів молекула в наближенні Борна-Оппенгеймера. Цей фазовий зсув, вперше досліджений кількісно та систематизований Беррі, класично зрозумілий лише у випадку інтегрованих систем. Мало робіт [61, 38] досі стосуються вивчення фази Беррі для загально хаотичних систем. Однак у багатьох випадках напівкласичне наближення представляється єдино можливим способом явного обчислення цих фаз.
Нещодавно відкрилася ще одна область схильності до напівкласичних підходів. Дійсно, розвиток атомної фізики при дуже низькій температурі дає можливість працювати з когерентними системами, досить великими (порядку атомів, щоб закріпити ідеї), динаміка яких достатньо контролюється. Тоді атоми холоду забезпечують особливо придатний засіб для кращого розуміння та перевірки напівкласичних ідей [62 та його посилання].
Можна бачити, що ще багато чого потрібно зробити щодо застосування напівкласичних методів у квантовому хаосі. Дослідження зв'язків, що пов'язують їх з іншими не менш плідними підходами, такими як теорія випадкових матриць, заслуговує на подальше поглиблення [16], зокрема після нещодавньої роботи [2 та її посилань].
Перехід до ряду ступенів свободи, більший, ніж зазвичай розглядається, також представляє особливий інтерес, оскільки про квантовий аналог редукції Пуанкаре відомо мало [14, 60]. Крім того, було б цікаво, крім усього іншого, вивчити квантові наслідки дифузії [4], якщо вони існують. Також незрозуміло, наскільки відбитки, залишені класичним хаосом у квантовій теорії поля, можуть бути актуальними.