Диференціальні рівняння
Диференціальне рівняння описує зміну змінної стану, наприклад, як функцію часу. Зміна змінної стану описується виведенням. Існує кілька форм диференціальних рівнянь. Деякі з них слід коротко описати. Наведений нижче DGL є прикладом явного DGL 1-го порядку. Явне означає, що похідна може бути ізольованою та стояти окремо на одній стороні рівняння. Термін 1-й порядок означає, що в рівняння входить лише перша похідна.
Наступне рівняння - DGL 2-го порядку.
Наступне диференціальне рівняння є явним, лінійним рівнянням першого порядку. Лінійний означає, що змінна стану X (t) є лінійною.
Наступне рівняння вже не є лінійним.
Рішення диференціальних рівнянь здійснюється шляхом інтегрування, якщо це можливо. Процеси розв’язання часто вимагають великих перетворень початкових рівнянь. У більшості програм моделювання DGL вирішуються за допомогою чисельних методів апроксимації (Ейлер-Коші або Рунге-Кутта). Ці приблизні рішення іноді призводять до великих неточностей або навіть до зовсім неправильних результатів.
Можна говорити про зростання, якщо для всіх. Однією з найпростіших форм зростання є експоненціальне зростання. Тут передбачається, що зміна пропорційна наявній масі (або числу). Наприклад, якщо поглянути на популяцію бактерій, то при першому підході можна припустити, що два процеси визначають ріст: бактерії розмножуються і вони гинуть. Збільшення залежить від того, скільки бактерій було раніше, як і зменшення. Тепер ми можемо ввести смертність та народжуваність (коефіцієнт поділу тощо) та поєднати два процеси в темпі зростання r.
Для розв’язання цього рівняння слід зазначити, що виведення натурального логарифму (ln (x)) задано формулою, і також слід застосовувати правило ланцюга. Спочатку підводимо X (t) до лівої частини рівняння.
У лівій частині рівняння знаходиться похідна від ln (X (t).
(Кожен, хто має проблеми з розумінням, може перерахувати його шляхом диференціації.)
Тепер ми можемо інтегрувати обидві сторони через t, ми вибираємо від 0 до s як діапазон інтегрування.
Делогарифмізувати будь-яка сторона рівняння веде до
За допомогою цього було визначено рішення рівняння експоненціального зростання. Вираз X (0) є початковим значенням змінної стану. Якщо поглянути на приріст населення, це початковий розмір населення. Якщо r більше нуля, то популяція зростає в геометричній прогресії. Якщо, з іншого боку, r менше нуля, то існує експоненціальний розпад; населення вимирає.
На відміну від експоненціального зростання, логістичне зростання враховує той факт, що жодне зростання не можна продовжувати нескінченно довго. Швидше, в якийсь момент буде досягнуто обмеження потужності K, яке неможливо перевищити. Якщо розглянути зростання бактерій у поживному розчині, то поживних речовин вистачає лише на певну кількість бактерій. Якщо цей поріг досягнуто, чисельність населення далі не збільшується. Тому в природі часто можна спостерігати S-подібний хід кривої росту. Диференціальним рівнянням, яке відображає таку криву, є рівняння логістичного зростання:
Параметр росту r і обмеження ємності K можна об'єднати, щоб сформувати новий параметр. Ця форма рівняння також зустрічається часто.
Якщо ви подивитесь на рівняння логістичного зростання, помітно наступне: Поки X (t) все ще малий, ви можете нехтувати товаром, оскільки він лише менший (оскільки:!). Тому рівняння спочатку поводиться як рівняння для експоненціального зростання і лише згодом вирівнюється. Рівняння логістичного зростання вирішуване. В принципі, ви продовжуєте, як і раніше. Віднесіть усі доданки з X (t) до лівої частини рівняння.
Ви не можете інтегрувати зараз, оскільки X (t) зустрічається у добутку в знаменнику. Що ви хочете досягти, це те, що продукт розчиняється і замінюється виразом типу. Для цього використовується добре відоме розкладання часткової фракції. Ми робимо це наступним чином:
Існують константи A і B, так що:
Тепер ми приведемо дроби з правого боку рівняння до спільного знаменника.
повинні бути однаковими. Знаменники однакові, тому вам доведеться відрегулювати чисельник. Зараз проводиться порівняння коефіцієнтів. Це означає не що інше, як порівняння ступенів X (t) по обидві сторони рівняння та коригування параметрів A і B так, щоб умови для будь-яка потенція підходити.
Спочатку ви починаєте з констант:
Ліворуч АК, праворуч 1. Треба рівності: АК = 1 і таким чином. Це означає, що параметр А вже встановлений.
Тоді переходимо до X (t).
У лівій частині рівняння X (t) передує змінна - A + B. На правій стороні немає виразу з X (t); таким чином, значення дорівнює 0. Це призводить до: - A + B = 0 і A = B. Цим ви визначили два вирази для A та B і можете вставити їх у рівняння (*). Результат - вираз:
Тепер ви можете інтегрувати:
Це рівняння можна додатково трансформувати, щоб полегшити оцінку. Вираз, який виключено спочатку, з’являється в чисельнику та знаменнику. (Примітку також можна записати як:)
Досі дратує те, що дріб також зустрічається і в чисельнику, і в знаменнику.
Зі збільшенням s воно наближається до нуля. Система прагне до обмеження потужності К. .
Наразі розглянуто лише одну ізольовану кількість. Насправді процеси не можуть проходити ізольовано, а під впливом інших змінних. Існує багато визначень цього терміна система. По суті, система містить елементи та їх поведінку разом із взаємодією між собою. Розрізняють наступне:
Типи систем
- ізольовані
Кажуть, що система є ізольованою, коли вона не має вхідних та вихідних даних. Це означає, що він не обмінюється енергією чи речовиною з навколишнім середовищем. Ізольовані системи використовуються як ідеалізації в економіці, фізиці та хімії (термодинаміка). - завершено
Система обмінюється лише енергією, а не речовиною, з навколишнім середовищем. - відчинено
Система обмінюється речовиною (та енергією) з навколишнім середовищем. Живих істот можна розглядати як відкриті системи. У контексті відкритих систем все ще існують відмінності - адаптивний
Система не руйнується в процесі обміну речовиною (та енергією). - нерухомі
Властивості і, таким чином, стану системи не залежать від часу. На відміну від цього, є також властивість: - динамічний.
Розміри системи з часом змінюються.
Взаємодія, позитивні та негативні відгуки
Якщо дві (або більше) величини впливають одна на одну, то відбувається взаємодія. Ефект відносин може бути корисним чи шкідливим для окремих сторін і, отже, позитивним чи негативним.
Далі ми розглянемо по одній популяції гірських зайців та рисей. Ми також приймаємо такі вимоги:
- Запаси їжі гірських зайців необмежені.
- Тому, якби гірських зайців рись не з’їла, вони зросли б із швидкістю b. Зростання пропорційний щільності (або кількості) зайців. До системи застосовується наступне:
Гірські зайці без рисі:
Модель походить від Лотки (1910; 1925) і була використана для опису зв'язку між зайцями та рисями в районі Канади. (Хутряна компанія дуже зацікавилася цією темою та надала дані). Ці рівняння явно не вирішувані. Їх можна представити за допомогою числового наближення (Рунге-Кутта або подібне). Або взагалі можна дослідити, як поводиться система залежно від параметрів b, m, r та вихідних значень для сукупностей. У наступному розділі пояснюється основна процедура.
Точки рівноваги системи - це нулі диференціальних рівнянь, за допомогою яких була описана система. Це робить їх місцями, де більше немає видимих змін. Усі зміни продовжують діяти, але вони скасовують один одного. Якби хтось дивився лише на одну популяцію, динамічна рівновага була б такою, коли народження та смерть повністю врівноважують одне одного. Хоча особи все ще вмирають і народжуються, на рівні загальної чисельності населення не помітні зміни. Рівноваги цього типу також називають динамічними рівновагами. На першому прикладі розглянемо логістичне зростання
так само точки рівноваги: і. Або по-іншому: якщо населення немає, то однозначно воно також не може зростати. Те саме стосується обмеження ємності.
Наведене нижче повинно застосовуватися до системи хижака-здобичі з розділу вище:
і це одночасно.
Почнемо з першого рівняння для рисі.
Отже, або F (t) = 0, або (- m + rH (t)) = 0. Другий термін є синонімом слова. Тепер ми також повинні зазначити, що друге рівняння для популяції кроликів також повинно бути нульовим.
Беремо точки рівноваги першого рівняння по одному і вставляємо їх у друге. Перший пункт призводить до вимоги:
Другий момент веде до:
Розслідування глобальної стабільності часто є громіздким. Місцевий житель може бути легше вивчений. Для цього потрібно ввести невеликий відступ.
Почнемо з одновимірного випадку DGL.
Точки балансу - це всі точки з. Ми шукаємо нулі f. Тепер ми хочемо знати, коли він локально стабільний, тобто за яких обставин X (t) повертається після невеликого відхилення. Для цього здійснюється розширення ряду Тейлора навколо точки рівноваги. Ряд Тейлора є певною мірою також чисельним наближенням. Передбачається, що систему (а точніше DGL) поблизу точки рівноваги можна описати похідними від f до X.
Зараз нехтуємо усіма членами вищого порядку і робимо лінійне наближення. В принципі, ми не заявляємо ні про що, крім того, що нахил f у точці рівноваги та величина відхилення можуть бути апроксимовані (якби хтось наніс f (x) проти X, тоді в певному сенсі можна було б провести пряму лінію з нахилом через точку рівноваги). Це працює лише до тих пір, поки ви поруч, інакше квадратичні та кубічні доданки набирають вагу, і ви більше не можете ними нехтувати. Тому на цьому можна лише дослідити місцеву стабільність. Отже, ми розглядаємо:
і хочемо знати, чи повернемось до точки рівноваги. Спочатку встановимо, оскільки це робить рівняння більш чіткими. Маємо Z '(t) = X' (t) і, отже,
Таким чином, ми маємо лінійне рівняння 1-го порядку і можемо інтегрувати (див. Розділ про експоненціальне зростання).
Якщо тоді спостерігається експоненціальне зростання, система не повертається і точка рівноваги нестабільна. Якщо спостерігається експоненціальний розпад, система повертається до точки рівноваги після початкового збурення. Справа стабільна. Застосовується, спочатку більше нічого сказати не можна.
Процедуру також називають дослідженням лінійної стійкості.
Щось подібне до одновимірного випадку може бути здійснено і у випадку більш вимірного. Якщо у вас є дві зв’язані змінні стану (наприклад, рись () та зайці ()), спочатку потрібно визначити нулі та. Це означає, що ви шукаєте всіх із і. Ви також можете поєднати два рівняння і записати їх як векторне рівняння.
Після визначення нулів розширення ряду Тейлора можна здійснити знову. Тож ми знову визначаємо першу похідну від f відносно X. Існує різниця порівняно з одновимірним випадком: Функція f складається з двох функцій, і ці функції, в свою чергу, залежать від двох величин. Для того, щоб визначити загальну похідну (позначену Df (X)), функції повинні бути виведені одна за одною та розміщені в наступному порядку.
Тому вираз Df (X) також називають похідною матрицею f (X). Рівняння можна формально переписати, як зазначено вище:
Це рівняння можна знову інтегрувати, але це вимагає більш широкого введення. Точніше: Рішення подібне до одновимірного:
Вираз, який стає громіздким, викликає проблеми. Зараз система зазвичай трансформується, щоб полегшити обчислення. Це робиться з використанням власних значень та власних векторів матриці. Однак вступ до цієї теми на даний момент буде занадто трудомістким, тому тут наводяться лише результати. Наступне:
Якщо: і застосовується, то точка рівноваги стабільна і система рухається до неї. Це можна зробити одноманітно або за допомогою вібрацій.
Застосовується:
і тоді точка рівноваги стабільна і система обертається навколо неї. Амплітуда кола або коливання залежить від початкових умов для X (t).
Для ілюстрації процедури в якості прикладу показано систему хижака-жертви.
Перш за все, один походить від F (t). H (t) трактується як константа.
Тоді виводиться H (t) (у цьому випадку F (t) трактується як константа).
Нарешті, все ще виконуються для.
Це дає нам системну матрицю:
Дві точки рівноваги вставляються одна за одною у вираз.
1) .
Це означає, що і. Оскільки m і b більші за нуль, нульова точка не є стабільною.
2)
Ну є і. З m, b; SPMgt; 0 він вважає, що друга точка рівноваги стабільна. Однак система не досягає його, а обводить по орбітах, радіус яких залежить від початкових умов.
і: точка рівноваги асимптотично стійка.
і: точка рівноваги обведена.
: Точка рівноваги нестабільна