Динамічна система - біологія

Як жарко занадто жарко для життя глибоко під дном океану?

Антибіотики від бактерій

Міграція клітин: нещодавно виявлена функція відомого білка

Молекулярний компас для вирівнювання клітин

Від чого листя старіє восени

Демократичність грифа-цесарки

Середовище Екембо: Люди також жили на відкритих ландшафтах

| Генетика | Сільське, лісове та тваринництво

Сорт пшениці був створений шляхом схрещування дикорослих трав

Як жарко занадто жарко для життя глибоко під дном океану?

Динамічна система

Під (детермінованим) динамічна система можна зрозуміти математичну модель процесу, який залежить від часу однорідні по відношенню до часу, так що його хід з самого початкуСтатус, але не з самого початкучас залежить. Термін динамічна система в сучасному вигляді сходить до математика Джорджа Девіда Біркгофа.

Динамічні системи знаходять різноманітне застосування в повсякденних процесах і дають змогу зрозуміти багато областей не тільки математики (наприклад, теорію чисел, стохастику), але і фізику (наприклад, рух маятника, кліматичні моделі) або теоретичну біологію (наприклад . Моделі здобичі хижаків).

Можна розрізнити більш стриманий і більш безперервний Розвиток часу. У дискретній у часі динамічній системі стани змінюються при рівновіддалених стрибках часу, тобто H. у послідовних, завжди однаково великих часових інтервалах, тоді як зміни стану неперервної у часі динамічної системи відбуваються нескінченно малими часовими кроками. Найважливішим засобом опису динамічних систем безперервного часу є автономні звичайні диференціальні рівняння.

Змішана система неперервних і дискретних підсистем з суцільно-стриманиййого також називають динамічним гібридний призначений. Приклади такої гібридної динаміки можна знайти в технології процесів (наприклад, системи шаблонів дозування).

Визначення

A динамічна система є потрійним $ (T, X, f), $, що складається з набору $ T = \ N_0, \ Z, \ R ^ + _ 0 $ або $ \ R, $ dem Період, непустий набір $ X $, Державний простір, і операція $ f \ colon \, T \ раз X \ до X $ від $ T $ до $ X, $ так, що для всіх умови $ x \ в X $ і все Бали в часі $ t_1, t_2 \ у T $ застосовується таке:

$ f (0, x) = x $ (Властивість ідентичності) і
$ f (t_2, f (t_1, x)) = f (t_2 + t_1, x) $ (Власність напівгрупи).

Якщо $ T = \ N_0 $ або $ T = \ Z $, тоді $ (T, X, f) називається $ дискретний за часом або короткий стримано, а з $ T = \ R ^ + _ 0 $ або $ T = \ R $ один викликає $ (T, X, f) $ безперервний у часі або безперервно. $ (T, X, f) $ також називають дискретною або неперервною динамічною системою для реального часу або як зворотний позначає, чи застосовується $ T = \ Z $ або $ T = \ R $.

Для кожного $ x \ в X $ карта називається $ \ beta_x \ colon \, T \ to X, \, t \ mapsto \ beta_x (t): = f (t, x), $ die Рухайся $ x = \ beta_x (0) $ і набір $ O (x): = \ $ стає поїзд або (повний) орбіта називається $ x $. позитивна половина орбіти або Орбіта вперед $ x $ - це $ O ^ + (x): = \ $, а якщо $ (T, X, f) $ обернене, $ O ^ - (x): = \ $ der негативна половина орбіти або Зворотна орбіта від $ x $ .

Дискретна динамічна система $ (T, X, f) $ є стабільно, якщо його простір станів $ X $ є (не порожнім) метричним простором і якщо кожне перетворення $ \ varphi_t \ colon \, X \ to X, \, x \ mapsto \ varphi_t (x), що належить точці часу $ t \ в T $: = f (t, x), $ неперервна. Неперервна динамічна система називається $ (T, X, f) $ стабільно або один Половина потоку, якщо його простір станів $ X $ є метричним простором і якщо кожне перетворення, що належить точці часу, а також кожен рух стану є безперервним. Крім того, неперервна дискретна динамічна система $ (\ Z, X, f) $ також називається а каскад і напівпотоку $ (\ R, X, f) $ один потік. Також називається простір станів неперервної динамічної системи Фазовий простір і кожного $ x_0 \ в X $ орбіти як Фазова крива або Траєкторія позначається $ x_0 $, що просто записується $ x \ colon \, t \ mapsto x (t) $ з $ x (0) = x_0 $ .

Якщо один поєднує безперервні та, при необхідності, додаткові дискретні динамічні системи, щоб сформувати систему, це називається a суцільно-стриманийце або також гібриднийце динамічна система.

Зауваження

У літературі часто не робиться різниці між динамічними системами та безперервними динамічними системами чи потоками, і потік часто розуміють як диференційований потік (див. Нижче). Існують також більш загальні визначення неперервних динамічних систем, в яких z. Б. за фазовий простір приймається топологічний багатоманітність, (можливо, компактний) простір Хаусдорфа або навіть просто топологічний простір.
Замість лівої операції $ f $, як у визначенні вище, динамічні системи часто визначаються з правою операцією $ f_r \ colon \, X \ times T \ to X $ на $ X $, порядок аргументів потім змінюється відповідно.
У визначенні необхідна властивість ідентичності операції $ f $, оскільки кожен стан $ x $ не повинен змінюватися, поки не проходить час (тобто для $ t = 0 $). Ця властивість означає, що перетворення, що належить $ 0 $, є ідентичним відображенням до $ X $: $ \ varphi_0 = \ operatorname_X. $
Властивість напівгрупи робить динамічну систему однорідною щодо часу: Ви спочатку отримуєте $ t_1 $ одиниць часу із стану $ x $ до стану $ f (t_1, x) $, а потім через $ t_2 $ одиниць часу до стану $ f (t_2 + t_1, x) $, d. H. до того самого стану, до якого можна потрапити безпосередньо зі стану $ x $ в $ t_2 + t_1 $ одиниць часу. Перетворення $ \ varphi_t \ colon \, X \ в X, \, x \ mapsto \ varphi_t (x): = f (t, x), $, що належать у всі часи $ t $, утворюють комутативну напівгрупу зі складом $ \ circ $ як посилання і з нейтральним елементом $ \ varphi_0 $, також цифра $ T \ to X ^ X \ !, \, t \ mapsto \ varphi_t, $ є гомоморфізмом напівгрупи: $ \ varphi_ = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ для всіх $ t_1, t_2 \ in T. $ Ця напівгрупа перетворення є навіть групою в обертається динамічних системах, оскільки для всіх $ t \ in T $ $ \ varphi_ $ є зворотним елементом до $ \ varphi_t. $
Потім динамічна система $ (T, X, f) $ з $ T = \ N_0 $ або з $ T = \ R ^ + _ 0 $ може бути перетворена в обертову динамічну систему $ (T ', X, f') $ продовжити з $ (T '\ cap \ R ^ + _ 0, X, f' | _) = (T, X, f) $, якщо перетворення $ \ varphi_1 $, що належить $ 1 $, є оберненою функцією $ (\ varphi_1) ^ $ володіє. Тоді є $ \ varphi_: = (\ varphi_1) ^ $ і рекурсивно $ \ varphi_: = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ для всіх $ n \ в \ N. $ Якщо $ (T, X, f) $ неперервний, то за $ \ varphi_: = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ для всіх $ t = n + s \ in \ R ^ + _ 0 $ з $ n \ in \ N_0 $ і $ s \ in [\, 0,1) $ також чітко враховують усі перетворення, що належать до негативних часів. З $ T ': = T \ cup \ $ є рівно одна операція $ f' \ двокрапка \, T '\ раз X \ до X, \, (t, x) \ mapsto f' (t, x): = \ varphi_t (x), $ оголошено з $ T '$ до $ X $ таким чином, що $ (T', X, f ') $ є зворотним продовженням $ (T, X, f) $.
Через властивість напівгрупи кожна дискретна динамічна система $ (\ N_0, X, f) $ або $ (\ Z, X, f) $ може бути використана як ітераційне додаток перетворення $ \ varphi: = \ varphi_1 $, що належить $ 1 $ з Вважайте моменти часу індексами ітерацій: $ \ varphi_ = \ varphi \ circ \ varphi_t $ для всіх $ t \ in \ N_0 $, а для $ (\ Z, X, f) $ також існує $ \ varphi_ = \ varphi ^ \ circ \ varphi_t $ для всіх $ -t \ in \ N_0. $ Тому $ (T, X, f) $ вже однозначно визначається $ \ varphi $ і може бути простіше записаний $ (X, \ varphi) $.
Якщо обмежити час до $ T \ cap \ Z $ у безперервній динамічній системі $ (T, X, f), $, то з $ (T \ cap \ Z, X, f | _) $ завжди завжди виходить дискретна динамічна система. З одного боку, ця дискретизація широко використовується в цифрових технологіях, напр. Б. при зворотному аналізі. З іншого боку, існують природні та технічні системи, які характеризуються неперервними змінами стану і можуть бути безпосередньо змодельовані дискретними динамічними системами.
У теорії динамічних систем особливо цікавить поведінка траєкторій для $ t \ to \ pm \ infty. Тут велике значення мають кількості вапна та їх стабільність. Фіксовані точки - це саме ті точки $ x $ фазового простору, для яких існує точка, траєкторія якої від $ t \ до + \ infty $ прагне до x, і обмежують набори таких точок. Крім фіксованих точок, найважливішими граничними наборами є періодичні орбіти. Однак, особливо в нелінійних системах, також зустрічаються складні неперіодичні набори границь. У теорії нелінійних систем фіксовані точки, періодичні орбіти та загальні неперіодичні граничні набори називаються загальним терміном аттрактор (або. Відлякувач, якщо відразливий, див. також дивний атрактор) підведений. Вони детально розглядаються в теорії хаосу.

Важливі особливі випадки

Символічний динамізм в дискретній динамічній системі є $ (T, X, f) $ з $ X = A ^ T $ для алфавіту $ A $ ($ X $ - нескінченна послідовність символів з $ A $) і $ \ varphi_1 $ - це так звана карта зсуву, яка зміщує символи в кожній послідовності на одне місце.
Диференційований (Наполовину) потоки - це (наполовину) потоки $ (T, X, f) $, для яких кожне перетворення, що належить точці часу, диференційоване. Зокрема, кожне з цих перетворень диференційованого потоку є дифеоморфізмом.
В хаотичнийна ілюстраціях, таких як B. Картування Бернуллі, логістичне відображення або Генонове відображення, дискретизації відіграють важливу роль для того, щоб мати можливість досліджувати повторювані карти.

Приклади

Фізичним прикладом є подвійний маятник, хімічним - Брюсселятор.

Диференційований потік від фізики

Нехай $ M $ є компактним диференційованим різноманіттям, наприклад, невиродженою поверхнею енергії в $ \ mathbb ^ n $ і $ v \ colon \, M \ до TM $ плавним векторним полем над $ M $. Тоді, згідно з теоремою Пікарда-Ліндельофа, існує однопараметрична група дифеоморфізмів $ \ varphi_t \ colon M \ to M $ з

$ \ varphi_0 = \ ім'я_оператора_M, $
$ \ varphi_ \ circ \ varphi_ = \ varphi_ $ для всіх $ t_1, t_2 \ in \ R, $
$ \ frac \ varphi_t = v \ circ \ varphi_t. $

Траєкторія нерухомої точки $ x $ від $ M $ - це крива розв'язку диференціального рівняння від 3. до початкового значення $ x $. Ця параметрична група $ 1 $, що відповідає гладкому векторному полю $ v $, називається потоком на $ M $ .