Форум з фізики
Діяльність:
Ранг: Атом
188 опублікованих повідомлень
W - кінетична енергія обертання, J - момент інерції, n - число обертів в хвилину .
Моє запитання полягає в наступному, чи можна визначити момент інерції будь-якого обертового об’єкта, що має складну форму, маючи в якості вихідних параметрів кількість обертань в хвилину і масу об’єкта? Дякую
Діяльність:
Звання: Електрон
Опубліковано 133 повідомлення
Тверде тіло не повинно знаходитися в обертанні, щоб обчислити його момент інерції.
Ви повинні знати вісь, навколо якої вона обертається.
Ідентична проблема: немає необхідності в тому, щоб тверде тіло рухалося для обчислення його маси.
Тим не менш, ми обчислюємо момент інерції твердого тіла за допомогою інтегрального обчислення.
Принцип завжди однаковий:
Момент інерції точкового твердого тіла масою m дорівнює m r ^ 2, m - маса точки і r її відстань від осі.
Для твердої речовини беремо об’єм, досить малий (об’єму dx dy dz), щоб відстань елементів цього об’єму становила r (щоб відстань не змінювалась) (якщо об’єм був більшим, через розміри гучність, r буде змінюватися)
Тоді інтегральний розрахунок дає змогу підсумувати всі ці елементи.
Необхідно, щоб поверхня твердої речовини дозволяла проводити такий розрахунок, якщо поверхня не має інтегруючого виразу, не можна обчислити момент інерції цим методом.
Тому необхідно розрахувати момент інерції:
1 - щільність тіла, що становить цей об'єкт
2 - форма об'єкта (циліндра, куля, тор тощо)
___________________________
Добавка до відповіді: Існує також формула, яка дає інерцію твердого тіла відповідно до осі обертання -> ми отримуємо щось, що називається еліпсоїдом інерції, це поверхня, яку ми називаємо квадрикою і яку також можна представлений добутком двох матриць і який повинен мати з тензорами (тензор інерції).
Це формули, які знає вся механіка.
Коли ми проектуємо, наприклад, елемент робота, щоб розрахувати, як він буде поводитися динамічно, ми повинні обчислити тензор інерції цих елементів.
Якщо ви хочете, я можу навести вам простий приклад цього типу розрахунку. (з першого абзацу)
Сподіваюся, я був зрозумілим.
Діяльність:
Ранг: Атом
188 опублікованих повідомлень
Діяльність:
Звання: Електрон
Опубліковано 133 повідомлення
Це не складно, як ви побачите.
Візьмемо брусок довжиною 2 r, а вісь обертання перпендикулярна бруску та посередині бруса.
Брус однорідний, тобто має постійну щільність. Ми могли б отримати задоволення, уявивши щось, що має змінну щільність (залежно від відстані від осі обертання), але ми починаємо давати в божевільних будинках.
Ви збираєтеся розглянути дуже малий елемент масою м бруса.
Цей елемент має довжину dl, тобто це дуже маленький прямокутник, один кінець якого знаходиться на відстані l (від 0 до R) від осі, а другий кінець - al + dl осі.
Інерція I точки маси m, розташованої на відстані l від осі обертання, дорівнює I = m r ^ 2
dl настільки малий, що всі шматки бруска, що складають цей елемент, знаходяться на відстані l. Ми вибрали dl настільки малу, що відстань елементів знаходиться на відстані l.
це фокус інтегрального обчислення: зменшення кількості, яка змінюється на суму невеликих пакетів, настільки малих, що розмір не може змінюватися в кожному пакеті.
Отже, кожен малий елемент має момент інерції m l ^ 2 dl.
Теоремою (яку не важко довести) ми показуємо, що сума всіх цих малих елементів є
сума м л ^ 2 дл (сума - це відома стійка для пальто, яка є стилізацією букви S).
це інтеграл l ^ 2 dl
сума m l ^ 2 dl = m l ^ 3/3
сума x ^ 3 dx = x ^ 3/3, або якщо ви віддаєте перевагу похідному від x ^ 2, це x ^ 3/3
Тепер ми повинні (і після закінчення) обчислити те, що ми називаємо певним інтегралом, тобто сумою між -r і + r m l ^ 2 dl
оскільки l знаходиться між двома кінцями стовпчика, тобто -r та + r.
Це обчислюється, приймаючи значення m l ^ 3/3 для l = r мінус значення m l ^ 3/3 для l = -r
значення m l ^ 3/3 для l = r -> m r ^ 3/3
значення m l ^ 3/3 для l = -r -> - m r ^ 3/3
(значення m l ^ 3/3 для l = r) - (значення m l ^ 3/3 для l = r) =
m r ^ 3/3 - (- m r ^ 3/3) = 2 m r ^ 3/3 або 2/3 m r ^ 3, якщо вам більше подобається.
Можливо, я допустив помилку в цих розрахунках, хоча вони елементарні, тому що давно я не робив цього, але принцип хороший, я впевнений.
Я відповів вам і детально відповів, тому що вивчення математики - це те, як це робиться, ви дійсно можете зрозуміти, що таке інтеграл, насправді зрозумівши обчислення моменту інерції. Вивчення математики - це не абстракції, що падають з неба, це базікання формулами.
Я візьму відомий випадок: Коші створив теорію криволінійних інтегралів, вирішивши задачу роботи сили, що змінюється по контуру кривої, і розпочав з тривіального обчислення вздовж квадрата.
Ви також можете серед натовпу зрозуміти, що таке квадрика і тензор (одна з найпоширеніших порад у фізиці), уявивши, що вісь, навколо якої обертається тверде тіло, змінюється сама. У кожному положенні осі відповідає момент інерції.
Вже проковтнув поняття інтеграції, і ти, на мій погляд, не втратив би свого часу.
Коли ви розумієте, що можете вирішити всі проблеми, коли величина, яку потрібно обчислити, варіюється: робота пружини або розрахунок ваги, проблема, яку поставив Ньютон: який притягання чинить на точкову масу m1 (ваша вага) однорідну сферу (земля)).
Ми розрізаємо кулю на дуже маленький куб (dx dy dz), довжини dx dy і dz настільки малі, що всі масові частини цього маленького куба знаходяться на відстані d m1.
там ми повинні обчислити інтеграл 1/d ^ 2