Обчисли нулі

Як ти можеш Обчисли нулі? Саме це ми розглянемо у наступних кількох розділах. Пропонується такий вміст:

  • Спочатку є Пояснення, що таке нулі і які можливості є для обчислення нулів.
  • Це буде Приклади попередньо розрахований, щоб показати різні методи, такі як формула ABC, формула PQ та поділ на поліном.
  • завдання і Вправи дозволяють потренуватися в обчисленні нулів.
  • A Відео Також пропонується розрахувати для обнулення.
  • A Область запитань та відповідей відповідає на типові запитання щодо пошуку нулів.

По-перше, я дуже коротко поясню, що таке нулі. Тоді мова йде про те, які типи функцій чи рівнянь існують, і який метод можна використовувати для обчислення нулів у них. Ви також серед іншого дізнаєтесь формулу PQ, формулу опівночі та поліноміальний поділ. Якщо у вас є проблеми із вмістом, можливо, вам не вистачає деяких важливих попередніх знань: у цьому випадку, будь ласка, розгляньте теми вирішення рівнянь та функцій малювання.

Пояснення: Обчисли нулі

Перш ніж ми розглянемо обчислювальні нулі, спершу слід відповісти на таке запитання: Що таке нулі? Ну, математичний опис такий: Число x0 називається нулем f, якщо f (x0) = 0. Звучить складно, чи не так? Тож давайте підемо більш чітким шляхом. Ви можете побудувати функції або рівняння у системі координат. На наступному графіку це було намальовано синім кольором. Якщо слідувати його курсу, ви зможете побачити, що є точка, де вона проходить через вісь х. Тут ми маємо нуль (намальований червоним). І - подивіться ще раз на графіку - саме тут y = 0.

обчислити нулі

Рис. 1: Лінійне рівняння (функція)

Функція або рівняння, звичайно, може мати більше одного нуля. Це видно на наступному графіку, де ми бачимо квадратне рівняння/функцію, що має два нулі (обведені червоним).

Рисунок 2: Квадратичне рівняння/функція

Обнулення: приклади та формули

Як можна обчислити нулі? Для цього розглянемо тут численні приклади та відповідні формули. План виглядає так:

Як обчислити нулі:

  1. З’ясуйте, який тип рівняння чи функції ми маємо.
  2. Знайдіть відповідну формулу або метод рішення.
  3. Використовуйте цю формулу або метод для обчислення нулів.

Це не допомагає: тепер ми повинні розглянути, які типи рівнянь чи функцій існують. Тоді ми зможемо вирішити, який метод рішення ми можемо використовувати.

Нульова точка для лінійної функції:

Почніть з лінійних рівнянь або лінійних функцій. Вони мають вигляд:

Приклади лінійних рівнянь:

Приклад лінійного рівняння 1:

Де нуль рівняння y = x - 2? Рішення: Ми знаємо, що нам потрібно встановити y = 0, щоб знайти нуль.

Отже, маємо нуль при x = 2. І ця точка характеризується тим, що тут y = 0. Отже, точка нуля - P (2; 0).

Приклад лінійного рівняння 2:

Де нуль у рівнянні y = 4x - 4? Рішення: Тут також встановлюємо y = 0, а потім обчислюємо x.

Нульова точка знаходиться при x = 1. Ми знаємо, що y = 0 і тут. Тому точка нуля дорівнює P (1; 0).

Нулі квадратного рівняння/функції:

Ми дійшли до обчислення нулів для квадратних функцій або квадратних рівнянь. Квадратні рівняння мають вигляд:

Приклади квадратних рівнянь:

:

Тепер ми знаємо, що таке квадратні рівняння. Тільки як це вирішити? Для цього існують два загальноприйняті методи. З одного боку, є формула PQ. З іншого боку, існує формула ABC, яку іноді ще називають формулою опівночі. За допомогою формули PQ або формули ABC можна вирішити квадратичні функції (відносно легко). Щоб ви побачили, як це працює, я виконаю вправу 3x 2 + 9x + 5 = - 1 з обома варіантами.

Приклад 1 квадратного рівняння (з формулою PQ):

Перш ніж ми зможемо використовувати формулу PQ, ви, звичайно, спочатку повинні знати, як насправді виглядає формула PQ. Для того, щоб мати можливість використовувати це, спочатку слід переконатись, що перед x 2 стоїть 1, і рівняння приведено у форму з = 0. Тоді ви можете прочитати p і q і просто вставити їх. Спочатку рівняння розв’язку, а потім приклад.

Ми хотіли розв’язати приклад 3x 2 + 9x + 5 = - 1, щоб обчислити нулі:

  • Ми знаємо, що нам потрібно рівняння у вигляді = 0, тому спочатку видаляємо -1 з правої сторони.
  • Нам також потрібно 1 перед x 2, тобто 1x 2, а не 3x 2, як тут. Отже, ділимо на 3.
  • Тоді ми можемо просто прочитати p і q і вставити їх у формулу розв’язання з останньої графіки.
  • Обчислюємо числа перед коренем і нижче кореня.
  • Перед коренем є плюс (+) і мінус (-). Обчислюємо x1 з плюсом і x2 з мінусом.
  • Це дає нам два рішення. Це два нулі.

Вам потрібні додаткові приклади та пояснення формули PQ? Тоді погляньте на нашу статтю PQ формула.

Приклад квадратного рівняння 2 (з формулою ABC):

Рівняння - яке ми щойно вирішили за допомогою формули PQ - тепер слід вирішувати за формулою опівночі. Спочатку перетворюємо рівняння таким чином, що маємо = 0. Зчитуємо a, b і c і вставляємо їх у рівняння розв’язку формули ABC (формула опівночі).

Як бачите: формула PQ і формула ABC дають однакові результати.

Кубічні функції/функція 3-го ступеня, 4-го ступеня або вище:

Лінійні функції мали x, при квадратних функціях найбільша потужність була досягнута при x 2. І що мені робити зараз, коли у мене х 3, х 4 або навіть вище? Тоді нам потрібно поліноміальне ділення. Оскільки за допомогою поліноміального поділу ми можемо вирішити функції 3-го ступеня, функції 4-го ступеня або навіть вище.

Поліноміальне ділення складається з двох слів: багаточлена та ділення. Ви вже знаєте підрозділи з початкової школи, наприклад 6, розділене на 2 - це поділ. Або дріб з чисельником і знаменником представляє ділення. Чи все ще нам бракує багаточлена: Поліном - це сума кратних степенів з показниками натуральної кількості змінної, яка в більшості випадків позначається x.

Приклади багаточленів:

  • 2x 2 + 5x + 8
  • 9x 3 + x 2 + 5x -3
  • 18x 5 + 30x 4 + 3x

Поліноміальним поділом ми ділимо два поліноми один на одного. Процедура обчислення нулів виглядає так:

  • Нам потрібна функція або рівняння, нулі яких ми хочемо обчислити.
  • Нам уже потрібен перший нуль цієї функції
  • Поділ на багаточлени можна здійснити з цим першим нулем.

Приклад 1 Поліноміальне ділення:

Давайте розглянемо приклад поліноміального ділення. Нехай x 3 - 6x 2 - x + 6 = 0. Де нулі? Розв’язання: Відгадуючи, ми отримуємо перший нуль при x = 1. Тому ми ділимо x 3 - 6x 2 - x + 6 на x - 1. Якби мені було вставити x = 1 при x - 1, я отримав би 0 (нуль) . Тож ми маємо вирішити таку проблему:

Перш за все ми записуємо це завдання:

Тепер ми повинні почати обчислювати. Це працює таким чином, що спочатку ми повинні виконати поділ. Спочатку обчислюємо х 3: х. Значення x скорочується, тобто x 3: x = x 2 .

Далі нам доведеться множити. Обчислюємо x 2 · (x - 1) = x 3 - x 2. Результат записуємо під х 3 - 6х 2 .

Тепер віднімемо наступне і отримаємо -5x 2 .

Тепер ми витягуємо -x вниз зверху:

Тепер гра починається спочатку. Іншими словами, тепер нам доведеться знову ділити: -5x 2: x = -5x

Тепер ми знову множимося в інший бік: (-5x) · (x-1) = -5x 2 + 5x

І знову віднімаємо (див. Червоне поле на наступному малюнку):

Ми тягнемо вниз + 6:

А тепер знову ділимо: (-6x): x = -6

І в останній раз ми множимо: (-6) · (x-1) = -6x + 6

Тепер, якщо відняти, ми побачимо, що результат дорівнює 0. А зверху (лічильник) більше нема чого тягнути вниз.

Ми закінчили з цим: Поліноміальне ділення призводить до (x 3 -6x 2 - x + 6): (x-1) = x 2 -5x -6. Але зараз ми хочемо мати нулі (або ви вже забули про це після такого довгого обчислення?). У нас ще залишилось x 2 -5x -6. Ми встановлюємо це нуль (= 0). І тоді ми можемо застосувати до нього формулу PQ. Якщо ви цього ще не знаєте: Формула PQ пояснюється вище.

Якщо ми використовуємо формулу PQ, то отримуємо нулі при x1 = 6 та при x2 = -1. До цього ми робили поліноміальне ділення. Цим самим на самому початку ми сказали, що при x = 1 все ще існує нуль. Отже, ми маємо третій нуль при x3 = 1.

Нульові завдання/вправи

Обчислити нулі відео

Відео формули PQ

У наступному відео ви можете побачити, як працює формула PQ. Спочатку коротко пояснюється, що таке квадратне рівняння/функція і яка формула розв’язку потім використовується. Обчислюються відповідні приклади.

Обчислення нулів: запитання та відповіді

У цьому розділі ми розглянемо типові питання про обчислення нулів. З відповідними відповідями.

З: Чи слід використовувати формулу PQ або формулу ABC для квадратних функцій?

В: Обидва вони працюють. Я сам вважаю формулу PQ простішою, але це питання смаку. Якщо перед x 2 стоїть 1, то формула PQ, як правило, є більш простим варіантом. Якщо вам потрібна додаткова інформація про обидва типи, ви також можете ознайомитись із формулою статті PQ або формулою ABC (стаття буде написана найближчим часом, а потім також посилання тут).

Питання: Як знайти нулі для функцій синуса та косинуса?

В: Пошук нулів у функціях із синусом або косинусом - це окрема тема. Ми маємо справу з цим у статті Обнулення синуса/косинуса.

З: Як я можу добре практикувати цю тему?