Обчисли нулі
У цьому розділі ми розглянемо обчислювальні нулі.
При дослідженні функції (обговорення кривої) часто цікавить перетин графіку функції з віссю х. Застосовується наступне:
y-координата перетину з віссю х нуль.
Наведено графік функції.
Координати точки перетину з віссю х можна легко прочитати: \ (\ text (3 | 0>) \).
Оскільки координата y точки перетину з віссю x завжди дорівнює нулю, зазвичай запитують лише координату x. Ця координата x має спеціальну назву:
Викликається координата x перетину графіка з віссю x Нуль.
Оскільки функція може мати кілька нулів, застосовується таке:
нульова точка - це значення \ (x \), які, вставлені у функцію, дають значення функції нульовим. [Підхід: \ (f (x) = 0 \)]
Тип функції визначає, наскільки легко/складно обчислити нулі.
Обчисліть нуль лінійних функцій
Загалом, лінійна функція має такий вигляд
метод
- Встановіть функцію \ (f (x) \) рівною нулю
- Розв’яжіть рівняння для \ (x \)
1-й крок: Встановіть функцію \ (f (x) \) рівною нулю
2-й крок: Розв’яжіть рівняння для \ (x \)
Відповідь: Корінь функції \ (f (x) = 4x + 5 \) дорівнює \ (x = -1,25 \).
1-й крок: Встановіть функцію \ (f (x) \) рівною нулю
2-й крок: Розв’яжіть рівняння для \ (x \)
Відповідь: Корінь функції \ (f (x) = 7x - 21 \) дорівнює \ (x = 3 \).
Обчисліть нулі квадратних функцій
Взагалі, квадратна функція має такий вигляд
Найпростіший спосіб вирішити квадратні рівняння - за допомогою формули опівночі (її також називають формулою a-b-c). Формула опівночі виглядає так
метод
- Покладіть рівняння у вигляді \ (f (x) = ax ^ 2 + bx + c \)
- Застосувати формулу опівночі
1-й крок: Покладіть рівняння у вигляді \ (f (x) = ax ^ 2 + bx + c \)
\ (f (x) = x \ cdot (x - 5) + 4 = x ^ 2 - 5x + 4 \)
2-й крок: Застосувати формулу опівночі
Відповідь: Нулями функції \ (f (x) = x \ cdot (x - 5) + 4 \) є \ (x_1 = 1 \) та \ (x_2 = 4 \).
1-й крок: Покладіть рівняння у вигляді \ (f (x) = ax ^ 2 + bx + c \)
\ (f (x) = 6x + 2x ^ 2 + 4 = 2x ^ 2 + 6x + 4 \)
2-й крок: Застосувати формулу опівночі
Відповідь: Нулями функції \ (f (x) = 6x + 2x ^ 2 + 4 \) є \ (x_1 = -2 \) та \ (x_2 = -1 \).
Обчислити нулі кубічних функцій
Загалом кубічна функція має такий вигляд
метод
- Відгадайте нуль
- Застосувати поліноміальне ділення
- Знайдіть нуль обчисленого доданка
1-й крок: Відгадайте нуль
Так, ви це правильно прочитали. Вам слід відгадати нуль. Звичайно, це працює, лише якщо нульову точку знайти не надто складно. У школі зазвичай достатньо, якщо ви використовуєте цілі значення від -3 до +3.
Перша здогадка: Нуль при \ (x = 0 \)?
\ (f (0) = 2 \ разів 0 ^ 3 + 4 \ разів 0 ^ 2 - 2 \ разів 0 - 4 = -4 \ neq 0 \)
Друга здогадка: нуль при \ (x = 1 \)?
\ (f (1) = 2 \ разів 1 ^ 3 + 4 \ разів 1 ^ 2 - 2 \ разів 1 - 4 = 0 \)
Відмінно! Ми знайшли нуль, здогадавшись. Тепер ми застосовуємо поліноміальне ділення, щоб якнайшвидше знайти інші два нулі.
Примітка: У статті "Розв’язування кубічних рівнянь" ми дізнаємось просту процедуру, яка допомагає нам вгадати нуль.
2-й крок: Застосувати поліноміальне ділення
Поділ поліномів відбувається таким чином, що ми ділимо свою функцію на \ ((x-1) \). Він ділиться на \ ((x-1) \), оскільки в \ (x = 1 \) є нуль. Якби нуль дорівнював \ (x = -3 \), його можна було б поділити на \ ((x + 3) \).
Примітка: У статті "Поліноміальне ділення" ви знайдете цей приклад, детально пояснений!
Кінцева ситуація (після поділу на поліном)
\ [2x ^ 3 + 4x ^ 2 - 2x - 4: (x-1) = 2x ^ 2 + 6x + 4 \]
До речі: схема Горнера - це проста альтернатива поліноміальному поділу!
3-й крок: Знайдіть нуль обчисленого доданка
Інші два нулі ми отримуємо, якщо вирішуємо квадратне рівняння, яке ми розрахували для поліноміального ділення.
Це те саме рівняння, яке обговорювалось у 2-му прикладі в розділі "Нулі квадратних функцій". Тому два нулі називаються: \ (x_2 = -2 \) та \ (x_3 = -1 \). Оскільки ми вже вгадали нуль - а саме \ (x_1 = 1 \) - ми знайшли всі три нулі цього рівняння.
Короткий зміст:
Нулі та їх обчислення
Коли Нуль один позначає координату x перетину графіку функції з віссю x. Оскільки координата y у цій точці перетину завжди дорівнює нулю, можна сказати: нулі - це ті значення x, які при запуску функції доставляють значення функції нуль.
Нуль лінійної функції отримують, встановивши функцію рівною нулю, а потім вирішивши для \ (x \) за допомогою перетворень еквівалентності.
Нулі квадратної функції зазвичай обчислюються за формулою опівночі. Крім того, формула pq або теорема Вієти підходять для обчислення нулів квадратних функцій.
Для того, щоб обчислити нуль кубічної функції, спочатку потрібно відгадати нуль. Тоді ви спрощуєте цей термін за допомогою поліноміального поділу або схеми Горнера. Таким чином, ми знову отримуємо квадратичну функцію, яку можна вирішити за допомогою вищезгаданих методів.
Найпростіше, якщо функціональний доданок можна розкласти на множники повністю.
Тоді ви можете використовувати теорему нульового добутку для обчислення нулів.
Мене звуть Андреас Шнайдер, і я з 2013 року працюю на платформі навчання математики www.mathebibel.de, яка отримала багато нагород. Щомісяця мої заяви переглядають до 1 мільйона учнів, батьків та вчителів. Я публікую новий вміст майже щодня. Підпишіться на мій бюлетень зараз і отримайте 3 з 46 електронних книг безкоштовно!
PS: Я вже бачив поточний серіал моєї серії #MathAmMontag?