Полюси та нулі
1. Вступ
Цей документ показує, як рекурсивний цифровий фільтр може бути розроблений шляхом розміщення його нулів та полюсів. Цей метод дуже ефективний для проектування фільтрів з дуже низькими частотами відсікання (незначна частка частоти дискретизації). Зокрема, ми побачимо, як отримати низькочастотний або смуговий фільтр з дуже широким інтегруючим доменом, що простягається від дуже низької частоти до частоти Найквіста.
2. Принцип
Ми розглядаємо лінійний цифровий фільтр, який визначається наступним відношенням рецидиву:
Коефіцієнти M + 1 an і N + 1 bn є дійсними.
Для вивчення АЧХ фільтра ми вводимо комплексну змінну Z, яка визначається:
де f - частота, Te період відбору проб. Для спрощення позначень ми також використовуємо зменшену пульсацію Ω. Коли частота коливається від 0 до частоти Найквіста (половина частоти дискретизації), імпульс Ω змінюється від 0 до π. Отже, число Z рухається по одиниці півкола.
Частотна характеристика фільтра отримується за допомогою передавальної функції в Z:
Ми можемо записати передавальну функцію як відношення двох багаточленів:
Нулі - це N коренів чисельника; ми позначимо їх ци. Полюси - це коріння знаменника; ми позначимо їх пі. Щоб фільтр був стабільним, необхідно і достатньо, щоб усі полюси знаходилися всередині (суворо) одиничного кола. Коефіцієнти фільтра є дійсними, кожен нереальний полюс (або нуль) пов'язаний з його спряженим комплексом.
Ось, наприклад, двоквадратична передавальна функція (M = N = 2), записана з полюсами та нулями:
Метод розміщення полюсів ([1], [2]) полягає у визначенні фільтра безпосереднім розміщенням полюсів та нулів.
Припустимо, що ми хочемо скасувати H для певної ненульової пульсації Ωa. Потрібно визначити нуль модуля 1 і аргументу Ωa, а також його спряженого:
Якщо імпульс дорівнює нулю, достатньо лише одного дійсного нуля. Якщо ми хочемо отримати низький, але ненульовий коефіцієнт підсилення для цієї пульсації, досить дати цьому нулю модуль, відмінний від 1 (менше або більше 1).
Щоб визначити резонанс, тобто максимум коефіцієнта підсилення, необхідно діяти на полюсах. Нехай ми хочемо отримати резонанс для імпульсу Ωb. Якщо ця пульсація не дорівнює нулю, необхідно визначити два спряжені полюси:
Якщо Ωb = 0, достатньо лише одного дійсного полюса. Модуль r1 повинен бути строго менше 1, щоб фільтр був стабільним. Чим ближче цей модуль до 1, тим сильніший резонанс (вищий максимум). У деяких випадках ми можемо вибрати модуль, рівний 1, що дає нестабільність для пульсації Ωb (коефіцієнт підсилення прагне до нескінченності для цієї пульсації).
Полюси та нулі графічно представлені в комплексній площині. Полюси представлені хрестиками, нулі - колами.
Коли визначені полюси та нулі, константа b0 повинна бути визначена відповідно до бажаного коефіцієнта посилення, наприклад, максимального коефіцієнта посилення для фільтра низьких частот.
Метод розміщення полюсів і нулів є якісним методом. Ми повинні побудувати частотну характеристику, щоб отримати кількісну поведінку фільтра.
3. Фільтри першого порядку
3.а. Інтегратор
Ідеальний інтегратор визначається з полюсом при нульовій частоті p1 = 1 і нулі при частоті Найквіста q1 = -1:
Повна сторінка
Друге написання дозволяє отримати відношення рецидиву, знаючи, що чисельник z -1 відповідає затримці на одну одиницю для вхідних даних, знаменник - затримці в одній одиниці для вихідних даних:
АЧХ:
Посилення нескінченне при нульовому імпульсі, що означає, що фільтр нестійкий, якщо вхідний сигнал має нульову частоту у своєму спектрі. Нестабільність походить від наявності полюса на одиничному колі. Ось графік посилення та фазового зсуву:
Для цього фільтра немає максимального коефіцієнта посилення для встановлення константи b0. Ми встановимо цю константу відповідно до мети.
Припустимо, що прагнемо здійснити справжнє інтегрування, яке відповідає наступному відношенню в безперервному часі:
У цьому випадку відношення рецидиву є
що відповідає трапецієподібному методу для чисельного обчислення інтеграла. Його передавальна функція:
Фільтр інтегратора відіграє важливу роль у розробці фільтрів, оскільки він служить еталоном у білінійному методі перетворення, що пояснюється у фільтрах нескінченної імпульсної відповіді.
3.b. Фільтр низьких частот
Починаючи з попереднього інтегруючого фільтра, ми можемо перемістити полюс по реальній осі, щоб надати йому модуль r менше 1, що має ефект стабілізації фільтра.
Повна сторінка
Це фільтр низьких частот, коефіцієнт посилення в смузі пропускання (z = 1):
Наприклад, ми можемо вибрати b0 так, щоб G = 1 .
Відношення рецидиву:
Ось приклад:
Отриманий фільтр схожий на фільтр першого порядку, обчислений шляхом білінійного перетворення аналогової передавальної функції. Метод розміщення полюсів і нулів дозволяє легко отримати фільтр низьких частот з дуже низькою частотою відсікання, наприклад:
Таким чином ми отримуємо стабільний інтегратор, коефіцієнт підсилення якого при нульовій частоті є скінченним. Для цього використання може бути корисним регулювання константи b0 для отримання справжнього інтегрування вхідного сигналу. Тоді ми повинні мати в діапазоні частот інтеграції:
Якщо r дуже близько до 1 і якщо z відрізняється від 1 (ненульова частота), частка практично дорівнює 1. Це демонструє інтегруючу поведінку і вказує на вибір константи:
Нарешті ми отримуємо наступне відношення рекуррентності для використання цього фільтра як інтегратора:
Постійна r менше 1, але близька до 1, особливо, оскільки нам потрібна низька частота відсікання. Для r = 1 ми знаходимо ідеальний інтегратор, нестійкий на нульовій частоті.
Для використання в якості фільтра низьких частот з коефіцієнтом посилення одиниці в смузі пропускання відношення рецидиву є:
Ми можемо прагнути отримати цей фільтр низьких частот безпосередньо з диференціального рівняння системи безперервного часу. Для аналогового граничного імпульсу ωc та коефіцієнта посилення в смузі пропускання g це рівняння має вигляд:
Метод інтеграції Ейлера написаний:
Це відношення відрізняється від відношення, оскільки метод Ейлера є одноетапним методом. Відповідна функція передачі має недолік наявності нуля. Подивимося його частотну характеристику:
Ця характеристика сильно відрізняється від частотної характеристики аналогового фільтра. Зокрема, інтегруюча поведінка взагалі не виявляється в смузі ослаблення. Рішення полягає у застосуванні двоступеневого числового методу типу Адамса-Моултона ([3]), як це робиться для інтегратора (трапецієподібний метод):
яка має вигляд, якщо встановити r = 1-ωcTe та g = 1. Співвідношення, що реалізує справжнє інтегрування в ослаблюючій смузі, отримується шляхом постановки:
3.в. Фільтр високих частот
Отримується фільтр високих частот з полюсом p1 = -r для частоти Найквіста і нулем q1 = 1 для нульової частоти.
Повна сторінка
Відношення рецидиву:
Коефіцієнт підсилення в смузі пропускання (z = -1):
що є тим самим відношенням, що і для фільтра низьких частот. Ось приклад:
Щоб отримати фільтр, що блокує компонент постійного струму, частоту відсікання слід знизити. Це робиться шляхом розміщення полюса при p1 = r, причому r дуже близько до 1:
Повна сторінка
Приріст пропускної здатності становить:
Відношення рецидиву:
Ось приклад. Якщо r дуже близьке до 1, ми маємо практично b0 = 1 .
3.г. Смуговий фільтр
Смуговий фільтр можна отримати, об'єднавши послідовно фільтр низьких частот і фільтр високих частот:
Повна сторінка Рисунок Повна сторінка
Застосуванням цього типу фільтрів є інтегратор з нульовим коефіцієнтом посилення на нульовій частоті, отриманий з r1 і r2 дуже близькими до 1 .
Давайте подивимося імпульсну характеристику цього фільтра:
Для досягнення стійкого стану потрібно близько 600 проб. Для отримання більш швидкої реакції необхідно збільшити частоту смуги пропускання, зменшуючи r1 і r2 .
Щоб отримати справжнє інтегрування в смузі ослаблення, необхідно вибрати константу b0, щоб наступна рівність була більш-менш перевірена в смузі ослаблення:
Коли r1 і r2 дуже близькі до 1 і коли z відрізняється від 1 (ненульова частота), ця рівність приблизно підтверджується, якщо:
Ось відношення рецидиву цього інтегратора:
Якщо вхідний сигнал має нульову частотну складову (компонент постійного струму), інтегрування здійснюється без вихідного зміщення. Недоліком є повільність перехідної реакції. На практиці необхідно регулювати частоту смуги пропускання трохи нижче найнижчої частоти сигналу.
4. Фільтри другого порядку
4.а. Смуговий фільтр
Попередній смуговий фільтр визначався двома реальними полюсами. Щоб отримати резонатор, визначимо два складних полюса, сполучені з резонансною пульсацією, з двома нулями q1 = 1 і q2 = -1, які дозволяють скасувати коефіцієнт посилення на нульовій частоті та на частоті Найквіста:
Повна сторінка
Ось приклад з резонансною частотою, яка дорівнює 1/5 частки частоти Найквіста:
Звичайно, потрібно буде вибрати адекватну постійну b0, щоб отримати коефіцієнт посилення одиниці в смузі пропускання.
Давайте подивимося імпульсну характеристику цього фільтра:
Він коливається на резонансній частоті, що дорівнює одній десятій частоти дискретизації. Він прагне до нуля, оскільки цей фільтр стабільний (його полюси мають модуль строго менше 1).