Приклади правил продукту

Приклади включають лише раціональні та тригонометричні функції, оскільки правило продукту зазвичай розглядається до введення подальших класів функцій. У повсякденному шкільному житті - особливо на базових курсах - правило найчастіше вимагається у зв'язку з експоненціальною функцією, яка зазвичай вводиться відразу після правил виведення.

cdot право

Незважаючи на те, що ви можете отримати кожну суму для сум, це не так просто з продуктом:

Правило продукту

$ f (x) = u (x) \ разів v (x) $ $ \ Вправо $ $ f '(x) = u' (x) \ times v (x) + u (x) \ times v '(x ) $

Коли потрібно правило про товар?

Якщо сказати вільно: вона вам завжди потрібна, якщо у вас є функція у формі "Термін із $ x $, помножений на Term з $ x $" (якщо змінну називають $ x $). Не має значення, який фактор називається $ u (x) $ або $ v (x) $. Якщо правило продукту прямо не вимагається, попереднє переформування часто легше, особливо за допомогою раціональних функцій.

Приклади

  1. $ f (x) = (5x ^ 2-3) \ cdot (8x ^ 3 + 2x) $
    Для початку випишемо фактори та виведемо їх окремо:
    $ \ beginu (x) & = 5x ^ 2-3 & u '(x) & = 10x \\ v (x) & = 8x ^ 3 + 2x & v' (x) & = 24x ^ 2 + 2 \ end $
    У правило продукту вставляється таке:
    $ f '(x) = 10x \ cdot (8x ^ 3 + 2x) + (5x ^ 2-3) \ cdot (24x ^ 2 + 2) $
    Якщо завдання вимагає спрощення терміну згодом, дужки повинні бути розбиті:
    $ \ beginf '(x) & = 80x ^ 4 + 20x ^ 2 + 120x ^ 4 + 10x ^ 2-72x ^ 2-6 \\ & = 200x ^ 4-42x ^ 2-6 \ end $
    У цьому завданні правомірно запитати, чи має сенс застосування правила про товар. Насправді було б простіше спочатку розбити дужку, а потім вивести. Якщо ваш вибір за вами, зробіть це. Звичайно, якщо вас попросять скористатися Правилом продукту, ви повинні дотримуватися його.
  2. $ f (x) = x ^ 5 \ cdot \ frac $
    Це один з (безглуздих) прикладів, який, на жаль, все ще можна знайти у великій кількості у шкільних підручниках, хоча за попереднього спрощення можна було б отримати набагато легше згідно із законами влади. Для того, щоб мати можливість вивести за правилом продукту, ми спочатку пишемо
    $ f (x) = x ^ 5 \ cdot x ^ $
    а потім виведіть:
    $ \ beginf '(x) & = 5x ^ 4 \ cdot x ^ + x ^ 5 \ cdot (-2x ^) \\ & = 5x ^ 2-2x ^ 2 \\ & = 3x ^ 2 \ end $
    Якщо спочатку спростити, не потрібно ні правило товару, ні подальший звіт:
    $ f (x) = x ^ 3 \; \ Rightarrow \; f '(x) = 3x ^ 2 $
  3. $ f (x) = x ^ 2 \ cdot \ sin (x) $
    У цьому випадку важливим є правило про товар. Фактори настільки прості, що ви можете відразу записати результат:
    $ f '(x) = 2x \ cdot \ sin (x) + x ^ 2 \ cdot \ cos (x) $
    Підсумувати тут неможливо.
  4. $ f (x) = \ cos ^ 2 (x) $
    Це короткий запис для $ f (x) = (\ cos (x)) ^ 2 $. Цю функцію можна отримати згідно з ланцюговим правилом, але правило добутку також можливо, записавши квадрат як добуток двох рівних множників:
    $ f (x) = (\ cos (x)) ^ 2 = \ cos (x) \ cdot \ cos (x) $
    Тепер правило товару знову використовується:
    $ \ beginf '(x) & = - \ sin (x) \ cdot \ cos (x) + \ cos (x) \ cdot (- \ sin (x)) \\ & = - 2 \ sin (x) \ cos (x) \ end $
  5. $ f (x) = 3 \ cdot (x ^ 4-4x) $
    Це насправді стосується не правила продукту, а правила фактора, оскільки перший фактор не залежить від змінної $ x $. Якщо ви все ще застосовуєте правило добутку, пам’ятайте, що похідна від числа дорівнює нулю, і в цьому випадку не повинна пропускатися, оскільки це множник, а не доданок:
    $ \ beginf '(x) & = \ underbrace \ cdot (x ^ 4-4x)> _ + 3 \ cdot (4x ^ 3-4) \\ & = 3 \ cdot (4x ^ 3-4) \\ & = 12x ^ 3-12 \ кінець $
  6. $ f (x) = - 2 \ cdot x \ cdot \ cos (x) + \ frac 25x ^ 5 $
    Не плутайте: мова йде не про три фактори, а лише про два, оскільки перший фактор - це число. Перший доданок виводиться за правилом добутку ($ u (x) = - 2x $; $ v (x) = \ cos (x) $), другий "нормальний", тобто просто за правилом потужності:
    $ \ beginf '(x) & = - 2 \ cdot \ cos (x) -2x \ cdot (- \ sin (x)) + 2x ^ 4 \\ & = - 2 \ cos (x) + 2x \ sin ( х) + 2х ^ 4 \ кінець $

Іноді Правило продукту розширюється, включаючи три фактори.

Правило продукту для трьох факторів

$ f (x) = u (x) \ cdot v (x) \ cdot w (x) \; $ $ \ Rightarrow \; $ $ f '(x) = u' (x) \ cdot v (x) \ cdot w (x) + u (x) \ cdot v '(x) \ cdot w (x) + u (x) \ cdot v (x) \ cdot w' (x) $

Отже, кожен з трьох факторів є похідним і помноженим на два інших вихідних фактори; ці терміни потім додаються.

Виведення

Спочатку ми ставимо дужки так, щоб у нас були лише два фактори, навіть якщо другий фактор знову є продуктом:
$ f (x) = u (x) \ cdot \ ліворуч [v (x) \ cdot w (x) \ право] $

Ми можемо отримати цей продукт відповідно до правила за двома факторами:
$ f '(x) = u' (x) \ cdot \ зліва [v (x) \ cdot w (x) \ право] + u (x) \ cdot \ ліво [v (x) \ cdot w (x) \ право] '$

Термін $ \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] '$ також походить відповідно до правила продукту для двох факторів:
$ \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] '= v' (x) \ cdot w (x) + v (x) \ cdot w '(x) $

Розгортання:
$ f '(x) = u' (x) \ cdot \ зліва [v (x) \ cdot w (x) \ право] + u (x) \ cdot \ ліво [v '(x) \ cdot w (x ) + v (x) \ cdot w '(x) \ право] $

Тепер ми відкриваємо задню дужку і залишаємо зайву дужку в першому доданку, і результат є:
$ f '(x) = u' (x) \ разів v (x) \ разів w (x) + u (x) \ разів v '(x) \ разів w (x) + u (x) \ разів v (x) \ cdot w '(x) $

приклад

$ f (x) = x ^ 2 \ cdot \ sin (x) \ cdot \ cos (x) $

Є три фактори, які неможливо спростити або узагальнити заздалегідь [1]. Тому правило застосовується до трьох факторів:
$ f '(x) = 2x \ cdot \ sin (x) \ cdot \ cos (x) + x ^ 2 \ cdot \ cos (x) \ cdot \ cos (x) + x ^ 2 \ cdot \ sin (x ) \ cdot (- \ sin (x)) $
Результат можна написати лише коротше:
$ f '(x) = 2x \ sin (x) \ cos (x) + x ^ 2 \ cos ^ 2 (x) -x ^ 2 \ sin ^ 2 (x) $

У повсякденному шкільному житті правила продукту майже завжди достатньо для двох факторів. Виведення з трьома факторами більше використовуються для "технічних вправ".

[1] Той, хто знає теореми додавання тригонометричних функцій, визнає можливість спрощення. Однак цим дуже рідко займаються в школі.