Розряд конденсатора через резистор - Landesbildungsserver Баден-Вюртемберг

Якщо студенти ще не знали експоненціальну функцію на уроці математики, їм доведеться обрати підхід до теми за допомогою моделювання з обчисленням ітерацій.

Однак, якщо експоненціальна функція доступна, ви також можете пройти шлях, показаний на цій сторінці, і вирішити диференціальне рівняння першого порядку.

1.) Принципова схема.

Процес зарядки
Якщо перемикач знаходиться в положенні 1, конденсатор заряджається від джерела через резистор.
Поточний напрямок червоний звертається. Це проти годинникової стрілки.

Процес розвантаження
Якщо перемикач встановлений у положення 2, джерело «відключено». Раніше заряджений конденсатор тепер розряджається через той самий резистор.
Поточний напрямок зелений звертається. Це за годинниковою стрілкою.

2.) Теорія розряду конденсатора та диференціальне рівняння.

2.1.) Напруга на конденсаторі.

Наступне стосується залежності між зарядом Q на конденсаторі та напругою Uc:

Під час розряду напруга Uc на конденсаторі є єдиним джерелом в ланцюзі.
Чим більше розряджається конденсатор, тим меншою стає ця напруга.

2.2.) Наскільки великий струм розряду?

До струму розряду відноситься таке:
Знак мінус враховує, що поточний потік при розряді має абсолютно протилежний напрямок, як при зарядці (див. Вище).

2.3.) Сила струму пов’язана зі зміною заряду.

Сила струму розраховується за рівнянням з 2.2. визначається поточною величиною заряду на пластинах конденсатора Q (t).
Тепер заряд тече від конденсатора, тобто кількість заряду Q (t) на конденсаторі стає все меншою і меншою. Тому сила струму I (t) зменшується все більше і більше.
На початку процесу розряду з конденсатора щосекунди стікає велика кількість заряду, а пізніше менше заряду.
Застосовується наступне:

Ця миттєва сила струму є аналогом Поточна швидкість в механіці.
Ви можете дізнатись більше про це на сторінці Зарядка конденсатора.

2.4.) Диференціальне рівняння розряду.

Якщо ми тепер рівняємо (2) і (3), то приходимо до Диференціальне рівняння (DGL) 1-го порядку розряд конденсатора.

Форму ДГЛ 1-го порядку ми знаємо з математики. DGL функції росту має, наприклад, форму

DGL вище виглядає схожим, зліва є похідна, праворуч - сама функція.

3.) Розв’язання диференціального рівняння.

3.1.) Перша орієнтація.

Щоб полегшити пошук правильної функції, спочатку слід розглянути значення окремих змінних на самому початку та в самому кінці процесу розряду.

конденсатор повністю заряджений.

конденсатор розряджається.

3.2.) Правильна функція розв’язання.

Функцією розв'язку диференціального рівняння є Експоненціальна функція.
Тут нам не потрібно знати про них дуже багато, але це важливо:

Якщо ви отримаєте експоненційну функцію, вона відтворюється до префактора. Постійний коефіцієнт показника ступеня постає перед функцією. (Нагадування: f 'буде похідною відповідно до координати положення. Фізики використовують точку f для позначення похідної відповідно до часу)
Для t = 0 s експоненціальна функція має значення 1. (Це як 10 0 = 1).
При t = ∞ експоненціальна функція стає 0. (Це також як 10-велике число = 0).

Яка правильна функція рішення?
Трохи задумавшись, легко придумати правильну ідею:

Якщо ви хочете, ви можете поєднати C * Uq, щоб сформувати початковий заряд Qo.
Для t = 0 s експоненціальна функція має значення 1, тому отримуємо початковий заряд Q (t = 0 s) = C * Uq = Qo.
При t = ∞ експоненціальна функція стає 0, тому заряд на конденсаторі тоді також дорівнює 0.

3.3.) Який правильний показник степеня?

Але яке значення коефіцієнта а у показнику?

Для цього ми повинні врахувати, що показник показника повинен бути в цілому безрозмірним.
Оскільки час t має розмірність "s", a має мати розмірність "1/s" і якось містити опір R і ємність C.
Щодо одиниць, спробуємо спочатку добуток R і C.
(Необхідні рівняння для перетворень перераховані вище):

Майже правильно! Коефіцієнт а повинен бути саме його взаємним!
Отже, функція рішення тепер така:

3.4.) Зразок розчину.

Спочатку виводимо функцію:

. і вставте його в диференціальне рівняння:

Очевидно, наш підхід вирішує диференціальне рівняння. Ми знайшли правильні функції рішення.
Отже вони:

4.) Період напіввиведення.

Спочатку процес розвантаження швидкий. Однак потрібно нескінченна кількість часу, поки конденсатор не розрядиться на 100%. Тому немає сенсу вказувати час розряду.

Натомість використовуйте Період напіввиведення го, тобто час, коли конденсатор заряджається лише наполовину, тобто час, який проходить до Uc = Uq/2. Застосовується наступне:

Примітка:
Це точно той самий час, коли конденсатор заряджається лише наполовину в процесі зарядки.
Таким чином, періоди напіввиведення в процесі зарядки та розрядки однакові.

5. Підсумок.

Ось криві та функції для Процес розвантаження узагальнено:

---