Що відрізняє звукові хвилі від чисел - Deus ex Machina
Математику та музику часто кладуть в одне ліжко - хоча перекриття обмежене. Робочий шлюб, або просто чутки?
Я насправді вовк в овечій шкурі і не зовсім вірю собі, коли - як це було деякий час тому - їду на білому коні для отримання наукової освіти. Після того, як я скористався можливістю подати в цьому салоні безліч нарцисичних гризків для інженерів та математиків, настав час знову взяти до уваги читачів гуманітарних наук.
Часом ходять чутки, що математика та музика - це о! так тісно пов'язані. Я визнаю: не для мене. Звичайно, музика - це звукові хвилі, звукові хвилі - це фізика і якось математика, але я не бачу прямого зв'язку. Подібно до чуток, що музиканти часто математики, і навпаки. В античності був Піфагор, через 600 років Птолемей, який одночасно займався математикою та теорією музики важливим чином, але після цього нічого не відбувається. Лейбніц, всі ми, універсальний геній, не мали нічого спільного з музикою. У свою чергу, Гете займався музикою, але не математикою. Нещодавно швейцарський математик Леонхард Ейлер зробив кілька значних внесків у теорію музики, але я не знайшов більше (хоча я завжди вдячний за подальшу інформацію!). Від Ейнштейна ми знаємо, що він любив музику загалом і свою скрипку зокрема, але ця любов не спонукала його до великих наукових відкриттів, що мають музичну значущість.
Тим не менш, повинна бути причина, чому теорія музики була включена до математичного квадривіуму семи вільних мистецтв у середні віки - навіть якщо сьогодні музикознавці воліли б віднести себе до трьох інших наук.
То в чому причина слуху про те, що музика та математика пов’язані між собою? Анекдоти повідомляють, що золотий перетин (математичне співвідношення відстані "a: b", а також "a + b: a") використовувалося у виробництві приладів - ніхто не може з упевненістю сказати, чи Страдіварій будував це свідомо, чи це не випадковість.
Мабуть, найбільш очевидним прикладом насправді є питання налаштування, співвідношення струн і звукових хвиль - і саме ця тема зайняла багатьох згаданих вище теоретиків. Суть налаштування полягає в тому, що нашарування 12 п’яти, наприклад, теоретично відповідає приблизно 7 октавам - але не зовсім, тобто в кінці виходить той самий тон, але з дещо іншою висотою. Ця різниця також відома як піфагорейська кома і турбує музикантів ще з Середньовіччя: з введенням клавішних інструментів потрібно було прийняти рішення. Крок і інтервали можуть бути виражені як співвідношення висоти тону - що, мабуть, робить їх цікавими в першу чергу для математиків. Октава відповідає співвідношенню поділу 1: 2, п'ята - співвідношенню 3: 2. Це означає, що якщо натиснути на скрипкову струну в точці на дошці, де залишилася вібраційна струна вдвічі довша від тієї, яка була відключена, то вихідний тон струни звучить рівно на один [Редагувати: п’ятий] вище. Тоді це був би чистий інтервал. Але якщо ви накладаєте багато чистих октав і довершених п’ятих одна на одну, заключні ноти, на жаль, розвалюються.
Більшість інструментів можна гнучко регулювати по висоті, і, отже, кожна нота та кожен інтервал інтонуються так акуратно, як цього вимагає відповідна клавіша. З клавіатурними інструментами, навпаки, вам потрібно взяти на себе ключ. Навіть якби Бах нібито зміг перенастроїти свій клавесин за 15 хвилин, це далеко поза можливостями сучасних фортепіанних тюнерів, і хто хотів би це собі постійно дозволяти?
Навіть за часів Баха інструменти були налаштовані таким чином, що невідповідність якимось чином розподілилася між рештою інтервалів. До періоду пізнього бароко переважала настройка середнього тону, в якій третини (і інтервали п'ятих та октав, які в будь-якому випадку сприймалися як особливо чисті) налаштовувались суто - але лише в перших клавішах кола п'ятих, тобто з теоретично можливих 12 клавіш (і їх відповідні неповнолітні партнери), лише перші 8 звучали чисто, з тенденцією до зменшення.
Досить брудним рішенням є рівна настройка, в якій лише октави звучать чисто, тоді як усі інші інтервали отримують частину піфагорійської коми - тобто звук нечистого. Дивно, але цей варіант переважає, мабуть, ще й тому, що невчене вухо навряд чи це помічає.
З іншого боку, набагато більш відомим є "Гармонійний настрій", якому Бах, можливо, також присвятив свою велику роботу "Добре загартований клавір". Андреас Веркмайстер (на честь якого названі деякі з незліченних варіацій цього методу налаштування) був одним із перших, хто не систематично розподіляв набридливу кому, а скоріше за почуттями. Залежно від того, наскільки важливим був інтервал і ключ, а також наскільки чутливим або тупим є людське вухо до домішок, інтервали налаштовувались чистими чи нечистими. Через частоту використання та важливість інтервалів до мажор, клавіші були особливо чистими, а клавіші з багатьма випадковими явищами досить нечистими - що призвело до ключової характеристики, яка і сьогодні є важливою складовою музикознавства.
Зокрема, це означає, що на сучасному фортепіано прелюдію та фугу фа-мажор з першого тому можна так само легко грати до мажор - це не впливає на звук. На фортепіано, налаштованому на такий же рівень, різниця була б дуже чутною. Бах майже напевно склав цю роботу, щоб відсвяткувати нове досягнення вдалого налаштування, яке дозволило грати на всіх клавішах на клавішному інструменті - хоча і у вдалому варіанті, а не в рівномірному варіанті, як ми використовуємо його сьогодні. Загалом, Бах, мабуть, мав багато спільного з цифрами: його роботи кишать символікою цифр, але навіть там можна лише здогадуватися, скільки з них призначено. Коли хор про десять заповідей покладений на музику, а труба починається десять разів, я люблю вважати намір. Якщо, навпаки, два числа складають загалом 129 барів, і це (3 × 43 = 129) трактується як посилання на потрійне віросповідання, у мене швидко закінчується терпіння - це здогадки, без можливості доказів чи аргументів. Не кажучи вже про окультну сторону, з масонським мисленням і вищим значенням квадратів і трикутників.
Ще однією часто цитованою областю, де музика та математика вступають у шлюб - в деяких очах нечестивих - є сучасна музика. Дванадцятитонна музика або, зокрема, серіальна музика настільки суворо структуровані, що відчуваєш нагадування про математику, і частина краси таких творів може бути розкрита лише шляхом інтенсивного вивчення нот. Наприклад, у дванадцятитоновій музиці утворюються серії тонів, яким дозволяється змінюватись лише обмежено і за суворими правилами, що стає надзвичайно складним у поліфонічній обстановці - настільки, що колись професор думав, що комп’ютерний алгоритм може скласти дванадцятитональну музику простіше, ніж людський геній. Також доречно, що Булез, наприклад, також працював з таблицями чисел, щоб зробити візерунки чіткими. Тим не менше - навіть якщо деякі зі мною не погодяться - це не математика. Цифри та математика - це насправді дві абсолютно різні речі. І дванадцятитонна або серіальна музика - це все ще музика. Потрібно прагнути зрозуміти це, зламати звички вуха і серйозно з цим боротися, але це все одно мистецтво - те, що однозначно кидає виклик раціональності.
Мистецтво - це коли інтервалів та звукових хвиль (тобто математики та акустики) стає більше. 2 + 2 = 5, який торкається людей і змушує забути все інше. Музика, просто.