Стаття 03 - том 23 - Nr. 4 - 2013
Визначення та теореми
Національний інститут досліджень та розробок в галузі інформатики, ICI, Бухарест
Короткий зміст: У цій статті ми розглядаємо факти, що призвели до кризи математики, а потім до пошуку їх основ, що забезпечує основи науки. Підкреслюється, що визначення не є унікальним, і що воно є руховим нервом математики, воно здійснюється через пропозиційну функцію, яка залишає інтелектуальному творінню всю свободу руху.
Ключові слова:визначення, пропозиційна функція, метаматематика, демонстрація.
Вступ"Майже немає двох математиків, чиї ідеї на засадах своєї науки повністю узгоджуються", - описує Аренд Гейтінг. (Mathematische Grundlagenforschungen. Інтуїціонізм, Beweistheorie, Springer, Berlin, 1934) розбіжності між положеннями у філософії математики. І це твердження правильне. Парадоксально, але дослідження логічних основ математики, замість того, щоб закласти основу, послабило їх і перетворило їхні істини на довільні домовленості. З іншого боку, математика існує у всьому своєму блиску, розвивалась і продовжує зростати поза тим, що про неї говорять, не звертаючи уваги на те, що Гільберт називає "метаматематикою".
Всі зусилля з обґрунтування або логікою, або філософією природи та основ математики стикалися з нездоланними труднощами та створювали важкі, навіть нерозв'язні проблеми. Прикладами можуть слугувати логіко-математичні парадокси, проблема невизначеності (Unentscheidbarkeit), відкрита Куртом Геделем, проблема несуперечності теорії тощо. Ці факти привели математику до кризового стану, що було відкрито визнано фахівцями.
Скажу прямо, скажемо, що насправді це не криза математики, а криза метаматематики. Парадоксальні проблеми виникають не з розвитку сукупності математичних істин, а лише з того, що ми говоримо про ці істини.
Деякі автори вважають, що вони можуть знайти інші "кризи" в історії математики. Наприклад, А. Фраенкель та Дж. Бар-Гіллель наполягають на ідеї, що ХХ століття - не перший період, коли математика зазнала "кризи основ". Для них три великі кризи потрясли математику протягом історії.
Спроб подолання цієї останньої кризи багато. Ми звернемо увагу лише на той факт, що три згадані кризи мають різну природу: хоча перші дві мають у своєму центрі дивовижні математичні відкриття, які вразили дух сучасників своїм незвичним характером, остання криза має особливий характер, оскільки складається з -спроба реконструювати математику новою мовою, забезпечити її основи. Іншими словами, попередні кризи були подолані шляхом закріплення нових і "химерних" результатів у математиці; нова криза виникла внаслідок метаматематичного дослідження надзвичайних результатів, отриманих у наш вік, шляхом спроби закріпити математику ззовні шляхом штучної реконструкції їхньої мови (яка не та, в якій були отримані результати). Отже, видно, що остання криза була спричинена метаматематичними міркуваннями, і тому ці науки не повинні боятися цих більш-менш філософських та занадто конкретних мовних спекуляцій.
Після того, що, здавалося, стало справжньою математичною катастрофою, спричиненою появою цієї кризи, провідні мислителі стали детальніше розглядати те, що сталося. Таким чином, було піднято кілька голосів, які стверджували, що математика взагалі не потребує "фундаменту". З цієї точки зору зібрався особливо авторитетний голос Гіларі Патнам ("Математика без основ", "The Journal of Philosophy", LXIV, 1967).
висновки: Давайте підсумуємо отримані вище результати, які ми, звичайно, могли б лише намалювати у вузькому просторі цієї статті.
Ми віримо, що нам вдалося дати відповідь на вищезазначене на дві проблеми, які Мостовський вважає фундаментальними проблемами математики. Наша відповідь показує, що логічна проблема - і завдяки цій математиці - математичного об'єкта не є філософською проблемою. Звичайно, ми не заперечуємо правомірність підняття таких філософських питань. Але ставити проблеми об'єктних і математичних міркувань, з філософської точки зору, означає створити додаткову проблему та теорії як відповіді на цю проблему, які є лише "епітетами", інтелектуальним епіфеноменом, більш-менш, від явища прямий і власне математичний інтелектуал. І це, нам здається, було достатньо пояснено нашим суто логічним аналізом. Математичний акт має два аспекти: творчий аспект, через який вводиться новий "об'єкт", визначення функції; демонстративний аспект, який встановлює еквівалентність таких функцій у тілі теорії. Таким чином, два види мистецтва знаходяться разом: ars inveniendi та ars demonstrandi, як дві сторони одного і того ж процесу, що є логіко-математичним процесом.
Ми намагалися залишатися в ексклюзивній сфері логіки. Але природа об'єкта, а також математичні міркування, як пояснювалося вище, могли пролити нове світло на причини, які змусили Платона та Арістотеля вважати математичні об'єкти особливою ситуацією. Дійсно, для Платона математичний об'єкт і особливо геометричні фігури утворюють проміжну область між ідеями та розумними речами. (Див., Наприклад, Politeia, VII, 529.) Подібним чином Арістотель кидає виклик математичним сутностям за їх "автономію"; вони мали б бути лише абстракцією, не маючи автономного існування (De anima, I, 1 і III, 7; Metaphysica, K, 4, 1 061 b та E, 1, 1 026 a тощо). Личинковий світ змінних, створений «вільно» математиком, не міг бути ототожнений ні зі світом трансцендентних ідей Платона, ні зі світом іманентних сутностей Арістотеля.
БІБЛІОГРАФІЯ
Ця робота ліцензована відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International.