2.8), утворений вирізанням прямокутника ...
А. Інерційні характеристики елементарних геометричних фігур
2.1. Прямокутник сторін b і h
Цей розділ має дві осі симетрії, які, таким чином, будуть головними центральними осями y та z. Визначте на відстані y від осі z елемент площі dA, прямокутний за формою та сторонами b і dy (рис. 2.3).
Виявляється, його площа буде:
Щоб переконатись, що підхід до задачі правильний, обчисліть площу прямокутника, згідно з визначенням у співвідношенні (2.1), наступним чином:
(2.17)
Момент інерції щодо осі (z) становить:
(2.18)
Аналогічно, отримуючи:
(2.19)
(2,20)
Примітка: Полярні особливості важливі, і вони будуть розраховані лише для круглих ділянок!
2.2. Коло радіуса R і діаметра d
Коло має нескінченність осей симетрії, тому будь-який його діаметр збігається з напрямком центральної головної осі.
Елемент площі вибирається (рис. 2.3) у вигляді кільця радіусом r і товщиною (dr), а його площа становить: dA = 2 p r dr
(2,21)
Використовуючи співвідношення (2.8) та рівність Iz = Iy, можна знайти осьові моменти:
(2,22)
Промені інерції: (2.23)
Модулі опору: (2.24)
(2,25)
2.3. Кільцевий круглий переріз із зубцем = d і dext = D (рис. 2.4).
На підставі наведених результатів моменти інерції обчислюються шляхом "віднімання" внутрішнього кола від зовнішнього:
(2,26)
(2,27)
Модулі опору розраховуються відповідно до співвідношень визначення (2.15) - (2.16):
(2.28)
(2.29)
2.4. Рівнобедрений трикутник із основою b і висотою h
Основними центральними осями є ті, що зображені на рисунку 2.5. Елемент площі прямокутний, зі сторонами b (y) і dy. На основі подібності деяких трикутників можна записати, що:
Площа трикутника та момент інерції щодо головної центральної осі (z) становитимуть:
Неважко помітити, що в цьому випадку момент не можна записати щодо осі (y), переставляючи літери b і h, оскільки осі мають різні положення щодо сторін трикутника (вісь z паралельна одній зі сторін).
Однак, щоб використати попередній результат, зробіть позначення на рисунку 2.6, де M - середина BC, а вісь (y1) проходить через центр ваги G1 трикутника ABM.
За цих умов момент Iy1 (ABM) можна знайти із співвідношенням форми (2.30), після чого, зі співвідношенням Штейнера (2.9), обчислюється Iy (ABM), як показано у виразі (2.31):
(2,32)
(2,33)
B. Застосування для інших плоских секцій
Результати, отримані в попередньому підрозділі, в даний час використовуються для розрахунку характеристик деяких ділянок, отриманих з елементарних, або які розкладаються на елементарні поверхні, як показано нижче.
2.5. Рівнобічний бічний трикутник a (рис. 2.7)
Помічено, що висоту трикутника можна виразити як функцію від сторони a наступним чином:
Застосовуючи співвідношення (2.29) та (2.30), можна обчислити основні центральні моменти інерції:
Звідси випливає, що у випадку рівносторонніх трикутників центральні моменти інерції незмінні при обертанні осей (оскільки їх максимум і мінімум мають, по суті, однакове значення!). Цей факт пояснюється, як показано вище, існуванням 3-х осей симетрії цих поверхонь, всі вони є головними центральними осями.
2.6. Розділ, що складається з декількох елементарних геометричних фігур
Розглянемо переріз, обмежений точками ABNMQPCD (рис. 2.8), утворений вирізанням прямокутника MNPQ з прямокутника ABCD. Обчисліть основні центральні моменти інерції та модулі опору цього розділу.
Помічено, що переріз допускає вісь горизонтальної симетрії, яка буде основною центральною віссю (z) перерізу. Вісь (y) буде перпендикулярна до (z) в центрі ваги G всього перерізу.
Для визначення положення на осі (z) G вибирається вісь (y1), наприклад на стороні AD секції.
За допомогою другого співвідношення (2.4) обчислюється розрахована координата, враховуючи, що центри ваги елементарних прямокутників знаходяться на відстанях (9/2) t, відповідно [3t + (6/2) t] від осі ( y1).
Отже, головна центральна вісь (y) матиме положення, показане на малюнку 2.8.
Якщо ми почнемо з обчислення моменту Iy, вибравши розкладання перерізу у двох прямокутниках, зазначених вище, ABCD та MNPQ, то зауважимо, що жоден з них не має центру ваги на глобальній осі (y) перерізу. Для обчислення їх імпульсу відносно осі (y) буде застосовано співвідношення Штейнера, як показано нижче:
Для розрахунку іншого головного центрального моменту це можна зробити двома способами.
а) З розкладом перерізу на два прямокутники вище
У цьому випадку обидва елементарні прямокутники мають центр ваги на головній головній осі (z), тому використання співвідношення Штейнера більше не потрібно:
б) З розкладом ділянки на „вертикальний” прямокутник FMQE, з центром ваги на осі (z) і двома „горизонтальними” прямокутниками ABNF і EPCD (на пунктирних лініях на рисунку 2.8), що мають центри ваги по осях (z1 ) та (z2), які є їх головними центральними осями, паралельні (z).
Глобальний момент щодо осі (z) буде:
Увага: Один і той же результат був отриманий обома методами, але обчислення було більш копітким у другому випадку! Звідси випливає, що важливо, щоб розкладання складних перерізів здійснювалося таким чином, що призводить до найпростіших обчислень (що засвоюється вправою), тим самим зменшуючи ймовірність помилок обчислення.
Для того, щоб визначити модулі опору глобального перерізу, застосовується визначення цих величин, зазначаючи це
zmax = 9t - zG = 9t - (33/10) t = (57/10) t
Отже, балка з поперечним перерізом форми та пропорціями на рисунку 2.8 матиме максимальну міцність на вигин, якщо вона орієнтована з основною центральною віссю (z) у напрямку вигинального моменту (тобто згинання стержня відбуватиметься навколо цієї осі).