3- Розв’язування тригонометричних рівнянь 3-1
1 3- Resoltio of trigoometriqs eqtio 3- Eqtio si = Нехай справжня лань L eqtio, якщо possèd: c soltio si [; ]; iiity soltio, якщо [; ] Arcsi desig l iq soltio, включаючи ds l itrvll L sml ds soltios sr IR st:; + Arcsi k, k o Arc si k, k j A O i 3- Éqtio cos = Нехай справжні doé L éqtio cos possèd: c soltio si [; ]; iiity soltio, якщо [; ] Arccos desig l iq soltio, включаючи ds l itrvll; L sml ds soltios sr IR st: Arccos k, k o Arccos k, k j A O i + Bss mthémtiqs por l tchici 5
2 - Дозвіл на рівний ступінь кодування з повними коефіцієнтами - Rcis створив d omr compl Або Z omr compl O ppll rcis створив d Z tos ls omrs compls z tls qz Z Rmrq L написання vc l smol d omr rél позитивізований q por l rci crré positiv Empl L compl z 3i st l ds rccrcrés d compl Z 5 i - Éqtio d scod degree to coicits compls L éqtio d scod degree zzc where, tc sot ds omrs compls doés dmt tojors d soltios (évtllmt coods) ds де st rci crré (qlcoq) d дискримінаційний 4c O doc: Rmrq Cs результати геєрлізовані ls ormls rltivs до дозволів eqtios d scod ступеня до реальних коїцитів Ells s ppliqt doc ds tos ls cs, ql дискримінація є реальним позитивом, наприклад, cor compl -3 Метод detrmitio ds rcis створений d omr compl Нехай omr compl Z i, O sohit detmir tos ls omrs compls zi tls qz Z z Z s написано: (i) iiiz Z tzz, де otit l églité: i 3 Ls rppls д кор
3 3- Eqtios crtesis ds l pl 3- Crctéristio d droit ds l pl Або будь право, A poit ddt vctr orml праворуч d L право d st l sml ds poits M d pl tls q: AM O l éqivlc sivt: M d AM d M AM AL право d st l sml ds poits M d pl tls q ls vctrs t AM or orthogo 3- Detrmitio dl éqtio d right ds l pl Або vctr d pl O rppll ls властивості: () Якщо l vctr st orml вправо d, коли eqtio dl orm: c де c st rél () Reciproqmt, вправо dt éqtio dl orm: c, vc (;) (;), dmt l vctr comm vctr orml Demostrtio () Нехай A (; AA) poit ddt M (;) poit d pl, коли: M d AM () () () O otit isi éqtio d tp: A c post c A) A (A Bss mthémtiqs por l tchici 39 AA
4 -3 Nottio diértill dl похідна Por спрощення l ottio, l diértill dl octio poit d sciss st oté: d: h '() h Si o cosidèr l octio idtité:, s diértill st d: hh O otit doc rltio tr ls d diértills dtd: d '() d, або cor:' () dd Ls diérts grdrs etdiés sot повідомлено l grphiq нижче O rppll ql coicit dirctr dl tgt T à l cor C poit d sciss st égl to '() (h) CMT () h '() () A h (h) h' () d (h) (h) (), h () hj O ih Mthémtiqs 45
5 6- Foctios Arcsis, Arccosis t Arctgt 6- Foctio Arcsis L octio sis st coti t strictmt mooto sr ijctiv d; ijctio d; vrs; Ell st vrs; Взаємний octio, Arcsis, st; [;], si (Arcsi) t E тиліст l похідна теорема:;, Arcsi si Arcsi 'cos Arcsi E t: cos (Arc si) si (Arcsi) vc si D де cos (Arcsi) t cos (Arcsi) ( Arcsi) Mthémtiqs 55
6 8-3 Tl ds rprést з'єднання octio Pr mpl, () l () '()' ll '' '' si cos si 'cos cos si cos' si t 'tt' (t) cos cos Arcsi 'Arc si Arc cos 'Arc cos Arc t' Arc t sh ch sh 'ch ch sh ch' sh th th th ch '' (th) ch 6 Ls rppls d cor
7 5- Primitivs slls rprést з'єднання octio Pr mpl, () l U primitiv FU primitiv U l '' '' l si cos 'cos si cos si' si cos t '(t) t' t cos cos 'Arcsi Arcsi' Arc cos Arc cos 'Arc t Arc t ch ch sh' ch sh sh ch 'sh ch th th' (th) 'ch th 76 Ls rppls d cor
8 A Éqtios diértills - Déiitios - Éqtio diértill O ppll éqtio diértill, éqtio де itrvit octio t o pls d ss sccssivs d d (, ',' ') o. дд. Empl E phsiq, ds circit RC, l tio (t) ors d codstr st soltio dl éqtio diértill sivt: E 'де E st l tsio coti видав pr l géértr t RC l cost d tmps d circit L soltio (t) st: (t) E t ERC (t) Cor itégrl L rprésttio grphiq d ds soltios d éqtio diértill st pplé cor itégrl Mthémtiqs 79
9 9 Ls rppls d cors - Похідні prtills scods Si o octio похідний подання до першого vril t, якщо o похідне до ov l resltt pr r звіт до l vril, o otit ovll octio pplé похідне prtill scod (o похідне prtill d ordr), oté Теорема Шврца вказує, що q, якщо октио dmt похідних, сполучених d ordr sivt ls vrils t, коли: Rmrq L ordr ds lql o похідна ps d icidc sr l resltt Якщо o похідна d ose негайно sivt l vril, o ot ctt похідна prtill scod: Empl Або l octio deii sr IR pr:), (O otit ls похідні prtills sivts: 3 6), (t), (), (), (t), (), (O veri ility sivt: ), (), (Про похідні похідні, поки сивт: 36), (t 3 4), (3
10 - Ортоголізм dd vctrs D vctrs tvdl spc sot orthogo si, t slmt si, lr виробляє sclir st l: vv Rmrq L vctr l st orthogol tot vctr dl spc -3 Eqtio of сферы ds l spc Нехай l сфера d ctr A ( A; A; z A) td ro r L spher st l sml ds poits M dl spc tls q: AM r M AM r AM r (A) (A) (zz A) r L éqtio dl spher ds l spc l prssio sivt: 3- Prodit vctoril 3- Trièdr dirct (A) (A) (zz A) r Нехай, vtw три vctrs dl spc, v, w st trièdr прямі, якщо ls три vctrs, vtw перевіряє сивти coditios: (), vtw Обробники сот пс; () L triplt v, w, veri l правило ds 3 пальці d l mi право: ds l dirctio d poc; v v ds l dirctio d l id; w ds l dirctio d mjr w w v Ls rppls d cor
11 4- Eqtio crtési d pl ds l spc 4- Crctéristio d pl ds l spc U vctr orml à pl P st vctr ol dot l dirctio st orthogol pl PPABCM Або A, B t C три точки, де dl spc O ls властивості відсіву: () L pl) (ABC dmt l vctr AB AC comm vctr orml () L pl P qi pss pr A td vctr orml st l sml ds poits M tls q: AM 4- Detrmitio dl éqtio d pl ds l spc Déiitios () Tot pl P dl spc dmt éqtio d tp: cz, отже, l month ds real, tc st oltd st rél qlcoq D pls, l vctr ol (; c) st orml to P () Let, ctd ds réls tls ql months ds фактичний, tc st ps l L sml ds poits M (; z) dl spc tls q cz d st pl P d vctr orml (; c) Mthémtiqs 3 5
12 5-5 Метричний продукт Метричний продукт асоціюється зі складом ds доморфізмів O cosider d domorphisms t g d spc vctoril E d s D; 3; O ot A, B t C ls mtrics d, gtg pr rpport à ls D, t ij, ij tc ij ls coicits d cs mtrics L mtric C st égl prodit dl mtric B vc l mtric A: CBA vc: cccjccccjc C ci ci cij ccc cj c O otit l coicit c ij post l clcl sivt: i C iijj ij jijjjj jj jj L coicit c ij sr li èm lig tlj èm colo d C s otit dditiot ls products d to d ds coicits dli èm lig d B vc èm cdlj colo d A ij ijij ik kj cij Rmrq L mltiplictio d mtrics cosist doc ps l mltiplictio ds coicits sités even positions (c ij ij ij) U coséqc importt st q ctt mltiplictio st ps commttiv: gé BA ps, l prodit product контроль AB Mthémtiqs 3 9
13 D Ajstmt liir - Présttio Por popltio sttistiq doé, o etdi simltém d crctèrs sttistiqs diérts X t YO it l hpothès ql crctèr Y depd lienirmt d crctèr X It is git to знищити реальність t tls q: YX jst jt dp d liir st d пропозитор модель prmttt d clclr l vlr d Y octio d XL vril X st l vril idépdt o plictiv, tl vril Y st l vril depdt o à pliqr - Déiitios t jstmt liir - Ng d poits associated with popltio Il s git d sdir dcrctèrs X t Y chz ls idivids d popltio sttistiq O dispos, por chq idivid i, ds modlités iti priss pr ls crctèrs X t YO repret ds repre ct idivid i pr l poit M id координати i; i Ng d poits O ppll g d poits l sml ds poits ots represtt tot l popltio Poit mo O ppll poit mo d g poits l poit G d координати X; Y де X t Y sot ls mos rithmétiqs ds seris sttistiqs X t Y - Pricip dl jstmt liir Il s git d detmir ls rls t tls ql distc mo tr ls dgtl right D d éqtio est miiml Por chq poit M i, d sciss i, o cosidèr l distc deii pr l crt tr l poit theoriq, sité sr l droit, tl poit M idgd poits Ctt distc s msr lgériqmt ist l diérc very ls ordoés d cs d poits d scisss idtiqs Mthémtiqs 3 4
14 Ls rcics виправлено
15 Soltio Il s git d resodr l iéqtio sivt: O resot ctt iéqtio: ll () l 77 l () O choosses 8 L pri r dolé ot dl 8 th Ercic A-4 Resodr ds IR ls iéqtios t éqtios sivts: () 5 3; () 9 3; (3) 3; (4) 9 3 Soltio () O resot ctt éqtio: () O resot ctt éqtio post 5 3 l5 l3 X 3: l3 l5 9 3 O ot ls d rcis sivts: XXX t XL éqtio 3 X dmt c soltio L qqtio 3 X do l soltio sivt: l X l3 l l3 Filmt: 9 3 l por l3 Bss methémtiqs por l tchici 69
16 B ТРИГОНОМЕТРІЯ Ercic B- O sohit detmir l htr d âtimt dols ls (l poit C) st iccssil A l id d theodolit, o msr ls d gls vrtic t isi ql logr AB L Clclr l htr h CD d âtimt octio ds vlrs msrés, t LO msré ls vlrs sivts: 5.5go, 7.35go t AB m E вирахувати htr d âtimt до m поблизу Soltio O пише svts églités: htt AC th AC LO вираховує éqtio: O otit: thhtth L h L tttth L tt O otit: h 96m, тобто hm to m near Bss mthémtiqs por l tchici 77
17 C КОМПЛЕКСНІ НОМЕРИ Ercic C- O cosidèr l motg, перераховані нижче, обмежена кількість матеріалів 5 Гц t d vlr icc U 5V C motg містить: d резистори d резист R t R 5; oi d idctc pr d vlr L 4H; codstr d cpcité C 6F R L i i i C R Electricity, l omr complete i st oté j O ot l plstio t o rppll ls prssios ds impédcs: Impédc d l oi: Z jl; j Impédc d codstr: Z jc C Detrmir l prssio compl, pis l modl tl rgmt ds grdrs sivts: L impédc ds rchs d motg L cort ds chc ds rchs d motg 3 L tsio ors d chc ds dipols costitt l circit totl 5 L impédc eqivlt à l sml d motg Soltio Détrmitio dl impédc d chc ds rchs d motg: Brch spér ZR jl O otit: Z 75 4 j 8 Corrected rcics Z r 5 4 t rg (Z) 646rd Z r (cos jsi )
18 D ГЕОМЕТРІЯ В РОБОТИНІ Ds tot ctt prti, l pl st rporté rpèr orthoormé O; i, j Ercic D- O cosidèr l right dd éqtio: Dor ls coordoés d three poits dl droit d Dor l ordoé d vctr dirctr dl right dd sciss 3 Dor vctr orml справа d 4 L vctr (; 9) st-il vctr dirctr dl правильно d? 5 L vctr v (9;) st il vctr dirctr d l droit d? Soltio O вибирає три наступні пункти: 5 A (;); B; t C; 4 3 Pr lctr ds coicits:; st vctr dirctr d l right d 4 3 O otit: 3; 4 4 O l églité sivt: Ls vctrs і sot coliéirs; l vctr (; 9) st doc vctr dirctr d l право d 5 Ls vctrs v t sot ps coliéirs; l vctr v (9;) st doc ps vctr dirctr dl право d Ercic D- O do ls координати ds A (3;) t B (;) O sohit detmir éqtio dl méditric, oté dm, d sgmt [AB] Detrmir ls координати пуату I, мілі d [AB] Detrmir vctr orml праворуч dm 3 E dedir éqtio crtesi dl справа dm 4 Виправлені rcics
19 Ercic A-9 O sohit étdir ls octios, otés k, soltios d l éqtio diértill sivt: 'L octio st l octio deii sr]; [pr: k де k st omr rél doé k k () O ot C k l cor rprésttiv d l octio O; i, j k ds ортоормальний rpèr Detrmir ls обмежує d k t Clclr k '() por tot rél d l itrvll]; [t detmir omr d soltios sr]; [d l éqtio k '() 3 O trcé sr l grphiq нижче ls cors C, C 5, C 5 t C E tilist ls results d l qstio previous, rcoîtr chc ds cors Mthémtiqs 83
20 4 Por tot rél строго позитивні, o pos: S () d 4 Geometric Itrprétr S () 4 O desig pr F primitiv d l octio sr]; [E rmrqt q S () F () F () розширити l ss d vritio d l octio qi до загального елемента d]; [ssoci l rél S () 43 O vt décopr ds l pl d vrticl d lrgr ity d tll виходить q l ir sity ds ctt d tr ls cors C t l (O) ie miiml Commt must-o continue? Soltio O clcl ls limit sivts: O dedit ls resltts sivts: k lim k () lim lim k lim k () si kt lim () k si kk lim k () lim L право від рівняння st smptot vrticl до C k O clcl Похідна l octio: kkk '() O etdi l omr d soltios dl éqtio k' (): k '() k O clcl l дискримінація: 4k 84 Ls rcics виправлено
21 C ПОЛІНОМИ ТА РАЦІОНАЛЬНІ ФУНКЦІЇ Ercic C- Por chc ds qstios sivts, o do polôm P isi qo plsirs rcis Fctorisr l polôm P sos l orm d prodit d poloms irrédctils 3 P () t P () 3 P () t P ( ) 3 3 P () 8 4 t P () 3 4 P () 4 8 t P () P () t P (), P (3) Soltio P '(); l rci r st d ordr d mltiplicity встановлено на O ct l divisio clidi d polôm P () pr (): 3 3 () () O otit: P () () () O cccl ls vlrs sivts: P '() 3; P '() () () P () 6; P () L rci r st d ordr d mlтиплічність, рівна O rmrq qr st () rci evidt d PP '() t P () L rci r st d ordr d mltiplicity, що дорівнює Filmt: P () () () Mthémtiqs 33
22 3 O clcl ls vlrs сивт: P '() 6 8; '() PL rci r st d ordr d mltiplicity встановлено на O ct l divisio clidi sivt: (4) (5) 4 (4) 5 O otit: P () (5) () L polôm 5 Filmt: possèd d rcis rtr 3 P () () () () () () 4 O clcl ls vlrs sivts: P '() 3 8; P '() L rci r st d ordr d mltiplicity встановлено на O ct l divisio clidi sivt: () 8 (4) 4 8 (4 8) 4 34 Виправлені rcics
23 Ercic D- Ls мозоль C t rpèr orthoorml; i, j l itrvll; [] pr: C gd grphiq нижче rpréstt rspctivmt, ds O, ls octios tg deiis sr () ltg () (l) O chrch à detmir l ir S (ités d ir) dl prti hchré d pl O ot: I ldt J (l) d Clclr l itégrl I Demotrr at id d itégrtio pr prtis q JIE dedir J 3 Clclr l vlr dl ir S 4 Por pprtt at l itrvll [; ], o ot M l poit d l cor C d sciss t N l poit d l cor C g d m sciss Por qll vlr d l distc MN st miml? Clclr l vlr miml d MN Mthémtiqs 359
24 Soltio O clcl l itégrl I ld O ct itégrtio pr prtis: O pos: '() v () l (' v) () dv () (v ') () dt () v' () ld () IJ (l) d O ct itégrtio pr prtis: O pos: '() v () (l) (' v) () dv () (v ') () dt () v' () l (l) ld IJO виділити l vlr dl itégrl J: J 3 L ir S l prssio sivt: 4 O pos l (l) d IJS 3 () g () l (l) pis o clcl l похідна: d () ll d '() t ctt sciss corrspod для mimm por dll 4 tl vlr miml d L похідне sl por l octio d qi st встановлено на Filmt, l distc MN st miml por MN st встановлено на 4 36 Ls rcics виправлено
25 Ercic A-3 O sohit detmir l prssio dl tmpértr dl T () l log dtd logr L md ecgr d chlr O write por cl l il thrmiq d troço dtd logr d sity tr l ordoé tl ordoé d: () (d) dd () cv d cv () (d) d () d E primt ls ld chlr octio dl tmpértr T (), o otit l qqtio diértill sivt: dt () 67 d T () TO do ls vlrs sivts: Tmpértr dl до l дуже dl echgr: Tmpértr mit: T 5 CT () 8C; Résodr l éqtio diértill i d detmir l prssio d l tmpértr d l T () l log d t d l ecgr Clclr l tmpértr d l T (L) at l exit of echgr 3 Trcr l rprésttio grphiq d l octio T sr l ec d l clcltric Mthém
26 Soltio L éqtio diértill написано: T '() 67T () 67 TT' () 67T () 335 O commc pr resodr l qqtio ss scod mmr: T '() T () T' () 67T () O otit: 67; l T () 67 k, k IR, отже: k 67 (), IR T k O otit l soltio dl éqtio ss scod mmr: T 67 () K, IR KO detmi sit soltio prticlièr T p () L scod mmr st costt, o pos doc: T p () A, IR AO rmplc ds l éqtio diértill O otit: O otit l sml ds soltios: A 5 67 T () T () Tp () K 5 L coditio T () 8C prmt d detmir l vlr d K: K 75 O dedit l soltio dl éqtio diértill: T () O clcl l tmpértr dl at l echgr exit: T () C 37 Corrected rcics
27 Ercic A-7 Ds rper orthoormé O; i, j, k, o cosidèr l pl P d éqtio crtesi: cz d t l poit d l spc M; ) O ot (z H l прогнозований ортогол d poit M sr l pl P t vctr orml pl PO sohit demotrr l orml dot l distc d poit M pl P Jstiir l églité sivt: M Démotrr l églité sivt: HMH c MH cz 3 E dedir l orml dot l distc MH d Soltio L poit H st l projté orthogol d poit M sr l pl P t st vctr orml pl P, vc c Mthémtiqs 3 44
28 Видалення q ls vctrs MH t сот колієри L vlr sol d prodit sclir st doc égl prodit ds orms d cs vctrs, отже: MHMH c O cccl l prodit sclir sivt: HMHH (H) (H) c (zh z) czz HL poit H pprtit pl P, doc: cz d O rmplc ds l drièr prssio: MH cz 3 O dedit l distc d poit M pl P: HHH dd M cz MPMH, cc H d Ercic A-8 L spc st повідомлено rp ортоорме О; i, j, k Нехай D l право psst pr l poit A (3; 4;) t d vctr dirctr (; 3;) O cosider l право D 'dot rprésttio premétriq st: t t z t; t IR O dmt q il ist iq права попереднього права D t D 'O s о d detmir pre-metric rprésttio d ctt right td clclr l distc tr ls rights D t D' O ot H l po d itrsctio ds rights D t, H 'l d itrsctio ds rights D' t O ppll P l pl cott l right D tl right O dmt ql pl P tl right D 'sokt sects H '44 Виправлені Rcics
29 Ercic D-3 U trritoril collctivity s iterss to qtity ll d lmiim rcclés нагороджений tos E 3, ctt collectivity disposed of sivts: Aé Rg dlé i Almiim rcclé tos i O rprésté below lgd potssoated with the ser sttistiq (i; i) ds rpèr orthogol d pl Detrmir l éqtio dl right D d régrssio d, ot pr l method ds moidrs created A l id d ct jstmt, stimr l qtity d lmiim qi sr rcclé 5 3 U rsposl irm ql gmttio ll mo tr t 3 літо d viro 8% 3 Jstiir ctd 8% 3 Приблизьте до найближчого, тилістічного ct, l qtity lmiim qi sr rcclé 5 33 Avc ctt метод, qll é pt-o stimr q pls d 6 tos d lmiim srot відходи rcclés? 4 U etd tiol передбачає кількість 5 тонн lmiim відходів rcclés 5 por ctt trritoril community Lql ds ds попередні моделі sml найбільш близькі до цього? Математика 3 495
30 Soltio L clcltric prmt d detmir l éqtio sivt: Кількість відходів d lmiim qi srot rcclés 5: 35 () 46 8 tos 3 O ot tltld gmttio porctg O l rltio sivt: t 35 4 t 835% L tld gmttio літо вірусу 8% 3 Кількість відходів d lmiim qi srot reclés 5: 33 O пише iéqtio sivt: tos l (8/7) l O вибирає 8 O pt stimr q pls d 6 tos d lmiim srot rcclés 4 L scod model sml be close до etd tiol 496 Ls rcics виправлено