Біноміальні формули в степені 3, 4, 5

У цій статті ми маємо справу з біноміальними формулами з вищими степенями. Також розраховуються приклади. Ця стаття є частиною нашого розділу з математики.

Говорячи про біноміальні формули, більшість людей думають про три «нормальних» біноміальних формулах з показником 2. Якщо ви їх шукаєте, ви знайдете їх у статті біноміальні формули. Тут ми розглянемо інші показники експоненти. Йдеться про біноміальні формули степеня 3, 4, 5 тощо.

Пояснення як відео:
Ця тема також доступна у вигляді відео. У цьому представлені типові завдання, приклади та висновки. Кнопку також можна використовувати для переходу в повноекранний режим. Відео також доступне безпосередньо в розділі Binomial Formulas: Higher Powers Video. Якщо у вас проблеми з відтворенням, допоможе стаття Проблеми з відео.

Біноміальні формули в степінь 3

Почнемо з біноміальних формул, коли показник ступеня дорівнює 3. По-перше, є повний математичний контекст. Потім ми переходимо до виведення, а потім розглядаємо приклади.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Спочатку ми все детально записуємо. Потім множимо (a + b) · (a + b) і отримуємо 2 + 2ab + b 2. Як ми вже знаємо з "нормальних" біноміальних формул. А потім множимо цей результат на (a + b). Виконуються окремі кроки:

(a + b) 3 = (a + b) (a + b) (a + b)
(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + ab + ba + b 2)
(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + 2ab + b 2)
(a + b) 3 = a a 2 + a 2ab + a b 2 + b a 2 + b 2ab + b b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3

(3 + 5) 3 = ?
(3 + 5) 3 = 3 3 + 3 3 5 2 + 3 3 2 5 + 5 3
(3 + 5) 3 = 512

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Біноміальні формули степеня 4 і 5

Давайте подивимось далі на множення степенів 4 і 5 біноміальних формул.

(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
(a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

(a - b) 4 = a 4 - 4a 3 b + 6a 2 b 2 -4ab 3 + b 4
(a - b) 5 = a 5 - 5a 4 b + 10a 3 b 2 -10a 2 b 3 + 5ab 4 -b 5

Приклади деривацій:

Для висновків я використовував результати для степеня 3 для обчислення потужності 4. А потім ми знову використовуємо цей результат для обчислення потужності 5. Таким чином можна також визначити ще вищі потенції та відмінності.

(a + b) 4 = (a + b) (a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3)
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

(a + b) 5 = (a + b) (a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4)
(a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

(2 + 3) 4 = 2 4 + 4 2 3 3 + 6 2 2 3 2 + 4 2 3 3 + 3 4
(2 + 3) 4 = 625