Інститут Камілла Джордана - Геометрія

  • Огляд
  • Алгебра, геометрія, логіка
  • Комбінаторика, теорія чисел
  • Аналіз, часткові диференціальні рівняння
  • Історія математики
  • Математичне моделювання та наукові обчислення
  • Ймовірність, статистика, математична фізика
  • Ірія ДРАКУЛА
    • Огляд
    • Ступінь магістра
    • Бакалаврат
    • Інженерні школи
    • Стажування
  • Установи

    • Наглядові органи

    Наші партнери

    Геометрії

    Вебмайстер ICJ - опубліковано 28 січня 2016 р., оновлено 18 березня 2016 р. о 14:32

    геометрія

    Нерівність Сміта-Тома говорить нам, що сума чисел Бетті дійсних точок реального алгебраїчного різноманіття завжди менша або дорівнює сумі чисел Бетті його комплексних точок. У разі рівності дійсне алгебраїчне різноманіття називається максимальним. Враховуючи дійсний голоморфний лінійний розшарування L над дійсним алгебраїчним різноманіттям X, я докажу, що ймовірність того, що реальний голоморфний переріз L ^ d визначає максимальну гіперповерхню, прагне до 0 експоненціально швидко, оскільки d прагне до l 'нескінченного.


    Враховуючи абсолютно неголонічний розподіл рангу два $ \ Delta $ на тривимірному багатоманітті $ M $, природно дослідити розмір безлічі точок $ \ mathcal ^ x $, яких можна досягти за особливими горизонтальними шляхами, починаючи з однакова точка $ x \ у M $. У цій обстановці гіпотеза Сарда стверджує, що $ \ mathcal ^ x $ має бути підмножиною так званої поверхні Мартіне двовимірної міри Хаусдорфа.

    Я викладу недавню роботу у співпраці з А. Фігаллі, Л. Ріффордом та А. Парусінським, де ми показуємо, що (сильна версія) гіпотеза має місце в аналітичній категорії у вимірі 3. Наші методи покладаються на вирішення особливостей поверхні, фоліації та метрики; аналіз регулярності карт переходів Пуанкаре; і ми маємо симплектичний аргумент.

    Ми представимо (доступним способом) функціональний інваріант заплутань у тривимірних багатоманітностях.
    Цей інваріант, який підраховує конфігурації графіків, узагальнює універсальний інваріант Васильєва про переплетення та універсальний інваріант кінцевого типу тривимірних сфер гомології, введений Максимом Концевичем та досліджений Грегом Купербергом та Діланом Терстоном після дослідження Віттена про пертурбативний розвиток теорії Черна-Саймонса.

    Я викладу основні ідеї, що призвели до недавньої демонстрації цього результату. Це базується на методах симплектичної топології C⁰ та на складній теорії, періодичній гомології Флоєра, завдяки Хатчінгу. Це спільна робота з Даном Крістофаро-Гардінером та Собхан Сейфаддіні.

    У цій доповіді ми будемо вивчати споріднені алгебраїчні групи, які діють на фібрації Морі від X \ до Y з X раціональним розмаїттям розмірності 3, а Y кривою або поверхнею. Ми побачимо, як ці алгебраїчні групи можна класифікувати за допомогою програми мінімальних моделей (MMP) та програми Саркісова, і як наші результати дозволяють нам знайти суттєве значення класифікації відповідних алгебраїчних підгруп Bir (P ^ 3 ), отриманий Хіросі Умемурою, коли базовим полем є поле комплексних чисел.

    Нас цікавлять електромагнітні більярди на відкритій обмеженій області з гладкою межею в n-вимірному зв'язаному замкненому римановому різноманітті. Зокрема, ми вивчаємо періодичні орбіти на заданому енергетичному рівні. Це узагальнення класичної більярдної гри щодо ненульового потенціалу. У цій узагальненій ситуації ми можемо показати, що для енергетичних значень, що перевищують критичне значення Маньє, існує магнітна орбіта відскоку. У своєму виступі я спочатку опишу, як я граю в більярд, зокрема пояснити поняття магнітних орбіт відскоку, а потім дам уявлення про доказ існування магнітних орбіт відскоку.

    Котангенс диференціального різноманіття $ M $ має симплектичну структуру
    природний. Підмноговид є лагранжевим, якщо його дотична в кожній точці дорівнює
    лагранжевий підпростір, тобто дорівнює його ортогоналі для форми
    симплектичний. Гіпотеза Арнольда говорить, що лагранжева підмновидність
    точне значення $ T ^ * M $, для компактного $ M $, ізотопне при нульовому перерізі. Він існує
    топологічні перешкоди існуванню такої ізотопії. Ми покажемо
    усунення деяких із цих перешкод.

    День топології та геометрії - Федерація Овернь-Рона-Альпи

    Нещодавно Мартін Деро показав, що ми можемо отримати певні орбіфологічні частки двовимірної кулі неарифметичними мережами, як частки якобіянської кривої Бользи (аж до біраціонального перетворення). У цій розмові я покажу, як передбачав Деро, що останнім коефіцієнтом є проективний простір з вагою P (1,3,8). Я також поясни, як ці частки кулі пов'язані з цікавими конфігураціями кривих малого градуса в проективному просторі розмірності 2.
    Це спільна робота з Карлосом Рито та Ксав’єром Рулле.

    Це робота у співпраці з Гілларму, Рів'єром та Шень та робота, що триває з Шабе. Нехай $ M $ - багатовимірність розмірності 2d + 1, наділена потоком $ \ varphi ^ t $ Anosov і $ \ rho: \ pi_1 (M) \ mapsto GL_n (C) $ поданням фундаментальної групи. Ми розглядаємо скручену дзета-функцію Руеля, визначену як нескінченний добуток
    $ \ zeta (\ rho, z) = \ Prod_ \ gamma \ det (Id- \ rho (\ gamma) e ^) ^> $
    взяті з примітивних періодичних орбіт потоку. Я розповім про нещодавній прогрес у гіпотезі Фріда, яка прагне пов’язати нульове значення цієї функції та топологічний інваріант під назвою "кручення Рейдемейстера".

    Враховуючи проективне (або компактне келерівське) різноманіття X та автоморфізм (або біраціональне перетворення) $ f \ colon X \ to X $, дослідження динаміки $ f $ полягає, наприклад, у визначенні щільності орбіт і d інших міри хаотичності системи; іншим цікавим питанням є визначення існування інваріантних геометричних структур (фоліації, основні структури ...). Коли ці структури (які в типових динамічних системах є диференційованими або навіть просто безперервними) насправді є алгебраїчними або голоморфними, є багато результатів жорсткості, які по суті дозволяють класифікувати ситуацію. У цій доповіді я дам панораму такого роду результатів, і я розповім про незавершену роботу та різні техніки, які можуть зіграти певну роль у підтвердженні: когомологія та теорія перетину, поняття позитивності форм, основні структури та геометричні структури “а-ля Громов”, гіперболічність є результатом динамічних систем.

    Причинна структура на різноманітті складається із заданого поля дотичних конусів: опуклого конуса, що виступає в дотичному просторі з будь-якої точки. Нас цікавить група автоморфізмів такої структури, особливо у випадку, коли ця група діє неправильно.

    3-різновидом називають $ SU (2) $ - циклічним, якщо кожне представлення його фундаментальної групи в $ SU (2) $ має циклічне зображення. Ми використаємо це поняття для обговорення кількох питань щодо хірургії Дена. Сюди входить доказ, вільний від будь-якої калібрувальної теорії або гомології Флора, що нескінченно багато 3-багатовимірників з фундаментальною групою однієї ваги неможливо побудувати за допомогою операції Дена на вузлі в $ \ mathbb ^ 3 $; і побудова однокапсуючих гіперболічних 3-багатоманітників, які мають багато $ SU (2) $ - циклічних Ден-заповнень. Це спільна робота з Рафаелем Центнером.

    (співпраця з Олександрою Марінкович)

    У своїй дисертації Яель Каршон класифікував замкнені симплектичні різноманітності у розмірності 4, які допускають дію кола. Його доказ ґрунтується на теорії Морзе.
    У нашій поточній роботі ми хочемо узагальнити цю класифікацію до сортів на борту. Основна проблема полягає в тому, щоб зрозуміти, як функція Морзе поводиться біля краю колектора.

    Теорема Каждана-Маргуліса передбачає, що в напівпростій групі Лі групи G сукупність зв’язків мереж G має суворо позитивну нижню межу. У спільній роботі з П'єром-Еммануелем Капрасом ми вивчаємо цю проблему та деякі варіанти в рамках продуктів абсолютно розривних простих груп. Метою розмови буде представити деякі з цих результатів, а також, можливо, також деякі проміжні результати, зокрема дослідження наближення групи G мережами в просторі Шаботі Sub (G) замкнутих підгруп групи G.


    Першою метою асимптотичних методів Дональдсона-Ару було перенесення в загальні рамки
    симплектичної геометрії певні класичні результати проективної геометрії. Тим не менше, Дональдсон мав
    зазначив, що ці методи також мали застосування в проективних рамках. Ми представимо нове
    приклади таких застосувань.

    Ступінь різноманітності секантів проективної кривої є дуже класичним предметом в алгебраїчній геометрії, відповідь на який відома сьогодні. Те саме питання щодо поверхонь, навпаки, набагато складніше. Мета семінару - показати, що якщо поверхня занурена в проективний простір достатньо великим (принаймні 2-дуже великим) пучком ліній, тоді ми можемо дати просту формулу ступеня її різноманітності.
    Зокрема, згадуючи поняття k-дуже широкого лінійного розшарування, ми можемо занурити схему Гільберта з двох точок поверхні в грассманівське різноманіття і використати це вкладання для обчислення ступеня.

    Я обговорю деякі питання в цикловій теорії модульних просторів поляризованих незводимих ​​голоморфних симплектичних багатоманітностей, таких як узагальнена гіпотеза Фрашетти та тавтологічна гіпотеза. Крім того, я розповім про властивості тавтологічного кільця та їх застосування. Це спільна робота з Ніколасом Бержероном.

    Алгебра когомологій багатоманітностей гіперкелера - це алгебра Фробеніуса, а повна алгебра Лі Лефшеца sl (2) -триплерів, що діє на неї, така (4, b_2-2) за результатами Лооженга-Лунца та Вербицького. Я обговорюватиму узагальнення класичної конструкції Куга-Сатаке (спільно з М.Вербицьким та А.Солдатенковим), яка дозволяє вбудувати когомологію багатоманітності гіперкелера в когомологію деяких складних торів, і це морфізм структур Ходжа. Також я коротко поясню кілька цікавих наслідків.

    Деякий час було відомо, що голоморфні симплектичні різновиди можуть бути побудовані з модулів кривих або пучків на чотиривимірній гіперповерхні Y ступеня 3 в проективному просторі. Наслідковими роботами Кузнєцова це можна зрозуміти з точки зору певних підкатегорій у похідній категорії Y, які ведуть себе як похідна категорія поверхні K3. У розмові я спробую дати конкретні геометричні інтерпретації цих фактів і, якщо дозволяє час, повідомити про останні результати спільної роботи з Нагаєм Ю. та Д. ван Стратеном.

    У цій розмові я буду представляти спільний проект із Сарою Анджелою, Філіппіні, Лораном Манівелем та Фабіо Тантуррі на місцях дегенерації орбіти. Ці локуси побудовані як підмножини навколишнього колектора з моделі, яка, як правило, є адгезією орбіти в афінному просторі; вони узагальнюють місця виродження морфізмів між векторними пучками. Мотивований побудовою колекторів Фано, Калабі-Яу та гіперхалера, я покажу, як управляти канонічним пучком цих місць, використовуючи роздільну здатність їх структурного пучка. Будівництво буде чітко викладено на значних прикладах.

    Відомо, що стандартна контактна структура на реальному проективному просторі розмірності п'ять, отримана за коефіцієнтом стандартної контактної структури на кулі, є сильно заповнюваною, але не Вайнштейновою. Вивчаючи виродження простору модулів голоморфних сфер, я покажу, що він також не є заповнюваним Ліувілем, тобто він не допускає сильного заповнення, симплектична форма якого є точною. Це робота, що триває з Клаусом Нідеркрюгером.

    Відносна нерівномірність розширення від поверхні S до кривої B визначається як різниця між нерівністю S і родом B. Те, що ми сьогодні називаємо "гіпотезою Сяо" (невелика модифікація початкової гіпотези Сяо) прогнозує різку межу відносної нерівності з точки зору роду загального волокна. Відомо, що в деяких випадках здогадки відповідають дійсності, але можна з упевненістю сказати, що вони широко відкриті. Я розповім про деякі нещодавні ідеї для того, щоб підійти до гіпотези у випадках, коли рід загальної клітковини малий. Зокрема, я розповім про роботу у співпраці з J.C.Naranjo та G.P.Pirola, в якій ми довели гіпотезу для одного з відкритих випадків: фібрацій, загальне волокно яких є плоскою квінтічною кривою.

    У цій доповіді я сформулюю та обговорюю з математичної точки зору деякі проблеми та результати, що стосуються поверхонь Рімана, тропічних кривих та просторів їх модулів, що виникають із ідеї реалізації амплітуд Фейнмана як межі амплітуд низьких енергій у струні теорія, запропонована таким чином фізиками. Посилання забезпечується гібридною топологією, яка пов’язує неархімедівський і тропічний світ із архімедовим світом. Це спільна робота з С. Блохом, Дж. Бургосом та Дж. Фрезаном.

    Постійна Сешадрі поляризованого різновиду (X, L) у точці x вимірює, наскільки позитивною є поляризація L у x. Якщо x дуже загальний, константа Сешадрі не залежить від x, і фіксує глобальну інформацію про X. Натхненні ідеями з Геометрії чисел, ми вводимо в цій бесіді послідовні мінімуми Сешадрі, такі, що останнім є константа Сешадрі в точки, а перша - це ширина поляризації в точці. Припускаючи, що справа дуже загальна, ми отримуємо два результати: а) добуток послідовних мінімумів Сешадрі пропорційний об’єму поляризації; б) якщо X торичний, i-та послідовна константа Сешадрі пропорційна i-му послідовним мінімумам відповідного 0-симетричного опуклого тіла. На основі спільної роботи з Ацусі Іто.

    Габердіель, Хоенеггер та Вольпато (GHV) характеризували групи автоморфізмів сигма-моделей K3 з точки зору ґрат Мукай та Leрати Ліча. Хайбрехтс дав геометричну інтерпретацію теореми ПГ із точки зору похідних категорій поверхонь K3 та умов стійкості на них Bridgeland. У цій розмові я хотів би охарактеризувати групи симплектичних автоморфізмів у кубічних чотирикратних формах як групи автоморфізмів певних моделей сигм K3 із використанням умов стабільності Бриджленда на категоріях K3 Кузнєцова завдяки Байєру, Лахозу, Макрі та Стелларі.

    Нерівність Сміта-Тома обмежує суму чисел Бетті дійсної частини дійсного алгебраїчного різноманіття сумою чисел Бетті його складної частини. У цій розмові ми пояснимо доказ гіпотези Ітенберга, яка уточнює цю межу для певного класу реальних проективних гіперповерхностей з точки зору чисел Ходжа. Гіперповерхні, що розглядаються, походять від побудови печворку Віро, який є потужним комбінаторним методом побудови реальних алгебраїчних гіперповерхонь. Щоб довести гіпотезу Ітенберга, ми розробляємо реальний аналог тропічної гомології і, використовуючи спектральну послідовність, порівнюємо його з тропічною гомологією, визначеною Ітенбергом, Кацарковим, Михалкіним та Жарковим. Тропічна гомологія повертає числа Ходжа складного проективного багатоманіття, а його реальна версія визначає числа Бетті його дійсної частини. Більш детальне розуміння спектральної послідовності, що з’являється в доказі, є одним із ключів до управління топологією реальної гіперповерхні, що виходить із печворку.

    Теорію опуклої інтеграції винайшов в 70-х роках Громов. Це дає змогу вирішувати великі сімейства диференціальних відношень за допомогою послідовності "опуклих інтегрувань", застосованих до підрозв'язків. Нещодавно це призвело до явної побудови ізометричних вкладених C ^ 1. У цій розмові ми запропонуємо альтернативну формулу опуклим інтегруванням. Ми побачимо, які його переваги і в якому сенсі це дозволяє усунути інтеграл. Як додаток, ми побудуємо нове занурення проективного простору в навколишній простір.