Інтерв’ю математичного клубу з професором Кертісом Макмалленом; EWSTПерекласти
Енн-Марі Орескович та Дмитро Сагаловський
У минулому семестрі математичний клуб мав привілей взяти інтерв'ю у професора Гарварда та недавнього призера Філдса Кертіса Макмаллена. Під час одногодинного інтерв’ю професор МакМаллен обговорив своє минуле, свої дослідження, досвід роботи в різних університетах країни та медаль Філдс. Математичний клуб хотів би подякувати професору МакМаллену за те, що він знайшов час, щоб пізнати його ближче. Щоб дізнатись більше про професора Макмаллена, відвідайте його веб-сайт за адресою http://math.harvard.edu/
Я: Як довго ви були в Гарварді?
М: Півтора року, якщо не рахувати моїх учнів.
Q: Отже, ви закінчили тут?
Я: Де ти був студентом?
М: Я пішов до Вільямс-коледжу в Массачусетсі, а потім рік провів у Кембриджі, Англія.
Q: Звідки ти родом?
М: На це важке запитання. Я насправді виріс у Шарлотті, штат Вермонт, але насправді народився в Берклі, штат Каліфорнія. Ми трохи переїхали, але, думаю, я з Вермонту.
Q: Тож ви можете сказати нам щось про медаль?
М: Я думаю, що це почалося в 1930-х рр. Це було створено на канадському полі, і я знаю, що Алфорсу і Дугласу дали перші два. Його дають кожні чотири роки в ICM, а останніми роками її отримують три-чотири людини. Отже, давайте подивимось, хто ще отримав його цього року? Концевич, Говерс і Борхерди. Насправді всі, крім Говерса, проводили час у Берклі, де я був останні сім років, перш ніж приїхати сюди. Тож я зустрів і Борхерда, і Концевича з Берклі.
Я: Де ти був, коли дізнався?
М: Я був тут. Ви дізнаєтесь це за кілька місяців наперед і повинні бути в таємниці до сьогоднішнього дня церемонії. Насправді я нікому не говорив, що було досить складно, тому що ходили чутки, і я мав заперечити їх.
Q: Ви можете розповісти нам трохи про те, що ви робили з вашими дослідженнями, які дали вам медаль?
М: Дозвольте мені розпочати з напряму мого дослідження. Спочатку я написав дисертацію в Гарварді, але не працював із професором Гарварду. Я закінчив комп’ютерну роботу з Девідом Мамфордом у групах Клейніана до закінчення школи і зацікавився цією темою. Але я закінчив писати дисертацію разом із Деннісом Салліваном, який на той час був професором Нью-Йоркського університету та IHES у Франції. Тож мені дуже пощастило, що Мамфорд представив її мені в останньому році моєї аспірантської кар’єри, коли у мене не було радника та теми дисертації. Я поїхав до Франції і протягом семестру працював із Салліваном в IHES і познайомився зі Стівом Смейлом, який дав мені цю приємну дисертаційну задачу про розв’язування поліноміальних рівнянь за допомогою ітерації.
Ви, напевно, чули про метод Ньютона для розв’язування многочленів. Якщо застосувати метод Ньютона до кубічного многочлена, він може не спрацювати. Можливо, ви застрягли нижче місцевого мінімуму. І якщо трохи змінити початкову здогадку, вона може не перетворитися на кореневу. Отже, метод Ньютона не є надійним для розв’язування поліноміальних рівнянь. Проблема, над якою я працював, полягала в тому, чи існує такий алгоритм, як метод Ньютона, який передбачає ітерацію однієї раціональної функції, яка може ефективно вирішувати поліноміальні рівняння. Мені вдалося довести, що відповідь не 4-го класу або вище, і насправді я знайшов новий алгоритм розв’язування кубів, який є надійним.
Потім я поїхав до МРЗІ і на семестр пішов до Массачусетського технологічного інституту, потім на чотири роки до Принстону. Ми з Пітером Дойлом працювали в Принстоні над розв’язанням рівнянь п’ятого ступеня і знайшли цей несподівано гарний алгоритм розв’язування п’ятих многочленів. Але це не суперечить моїй тезі, тому що це башта ітерацій; тобто повторити раціональну функцію, взяти річ, до якої вона сходиться, і зв’язати цю з іншою.
Як ви, мабуть, знаєте, вирішення квінтики пов’язане з групою Галуа A 5 та тим, що A 5 - проста група. Це використав Галуа, щоб довести, що ви не можете розв’язати квінтічне рівняння радикалів.
Здається, що для того, щоб мати змогу розв’язати рівняння за допомогою ітераційної раціональної карти, потрібно знайти раціональну карту, групою симетрії якої є багаточлен групи Галуа. Зараз існує лише невеликий набір груп, які можуть бути групами симетрії у сфері Рімана, а цікаві походять із платонівських твердих тіл. Отже, A 5, група симетрії додекаедра, є найскладнішим, що ви можете отримати. Ми використали цю раціональну карту з симетрією 5, щоб створити новий алгоритм для ефективного надійного вирішення квінтіки. І, так само, оскільки S 6 або A 6 не працюють на сфері Рімана, не існує подібного алгоритму для розв’язання рівнянь ступеня 6 або більше. Це був мій перший напрямок досліджень: розв’язування поліномів та динаміка раціональних карт. Посилання
У той час як в Принстоні ми знайшли нове аналітичне підтвердження теорії Терстона, яка пропонує гіперболічні структури для багатьох 3 різновидів, включаючи більшість комплементарних вузлів. Цей новий доказ пов’язаний із серією Пуанкаре, класичною темою комплексного аналізу, а також веде до вирішення домислів Кра та Берса. Пізніше, у Берклі, я почав бачити паралелі між теорією трьох різновидів, які волокна над колом; ця тема розроблена у 2-х книгах, які з’явились у «Анналах математичних досліджень» у Прінстоні. Я думаю, медаль «Філдс» стала визнанням цих проектів.
Тож я працював над динамікою раціональних карт, працював над трьома гіперболічними різновидами, працював над поверхнями Рімана як такою, а також працював над топологією поверхонь і вузлів. І я б хотів наголосити на тому, що для мене всі ці сфери насправді однакові. Почніть працювати над динамічною проблемою дуже легко, і через кілька місяців ви опинитеся над проблемою в теорії вузлів або топології вузлів, оскільки вони дуже взаємопов’язані - вузли, складні аналізи, поліноми, риманові поверхні, гіперболічні 3-різновиди тощо Для цього поля немає назви, але в цьому напрямку я працюю.
Q: Отже, ви, мабуть, були чотирма найкращими математичними школами Америки: Прінстон, Берклі, Массачусетський технологічний інститут та Гарвард. Ви можете порівняти та порівняти їх з точки зору атмосфери, дружби, темпів, з якими працюють люди тощо, для студентів, які думають піти в аспірантуру.?
М: Вони насправді різні. Дозвольте мені відмовитись від MIT, бо я там провів лише семестр. Принстон - це жахливий департамент, але місто трохи забите та нудне для молодої людини. Він має найвищу щільність людей у "Хто є хто" і високо культивується. Нічого несподіваного не відбувається. Тож це здається мені не дуже жвавим. Але мене там не було як аспіранта. Принстон - чудове місце, куди можна піти, якщо ви знаєте, що не будете там назавжди. Я дуже пильно оглядаю свої роки в Принстоні.
Принстон і Гарвард дуже добре ставляться до аспірантів. Існує хороше співвідношення між кількістю студентів на факультет. Студенти добре фінансуються, кафедри досить малі, щоб студенти могли приділяти особливу увагу. І я думаю, що студенти багато чому вчаться один у одного в обох місцях. Це важлива складова післядипломної освіти.
Берклі також чудовий. Це місце, де є величезний департамент, сотня коледжів, якщо рахувати почесних. Мені це дуже сподобалось, але потрібно багато енергії, щоб знайти хороше місце для проживання, знайти хорошого радника та потрапити в потрібну нішу, математично тощо. Але коли ви це робите, це дуже окупається. А погода прекрасна. Ви можете пройти від кампусу до Полуничного каньйону, потім до парку Тілден і за 40 хвилин повністю вийти з людства. (В Гарварді, навпаки, я виявив, що можу годину їздити на велосипеді і все одно бути в передмісті ...) У Берклі басейни відкриті, дуже жваві, а також дуже толерантний - до різного роду способу життя, до різних типів людей. Ви відчуваєте почуття свободи. Ви не відчуваєте можливості випробувати нову ідею, і вам не потрібно так сильно турбуватися, спрацює вона чи ні. Одне з чудових моментів у Берклі полягає в тому, що в районі стільки аспірантів і стільки постдокторантів, особливо з MSRI, що ви можете створити робочу групу з будь-якої математичної теми, яка вам належить подумати. Там багато математичного інтересу.
Мені дуже сподобалось бути студентом Гарварду. Кембридж і Берклі мають переваги перед Принстоном, в тому сенсі, що вони молоді громади, багато чого відбувається, вони знаходяться поруч із важливим містом. З мого досвіду випускників ви можете трохи сказати, що, хоча я думаю, що Гарвард справді чудовий, той факт, що його факультет невеликий, може ускладнити пошук радника, який знаходиться в районі, де ви хочете працювати. І я думаю, що справжнім ключем до успіху в аспірантурі є пошук того, що вас цікавить настільки, щоб тримати вас на чотири-п’ять років.
Q: Чому ви вирішили приїхати до Гарварду в Берклі?
М: Я прийшов вперше як відвідувач. І мені дуже сподобалось вчитися тут. У Берклі студентські курси часто дуже великі, і було дуже корисно мати цих дуже хороших студентів у невеликому класі. І мені дуже сподобався той факт, що кафедра досить мала, щоб легко було зустріти інших співробітників факультету. І, звичайно, оскільки я тут був аспірантом, я завжди дивився на Гарвард як на це чудове місце. Насправді мені було важко уявити, що я тут вчитель, тож я хотів з’ясувати, як це було. Мені подобається, що мої сфери інтересів різні, але вони накладаються на сфери інших людей у відділі. Мене дуже цікавить багато речей, які тут роблять інші. Тож для мене це певним чином дозволяє продовжувати освіту.
Q: Але це не зменшує ваших можливостей співпрацювати з іншими членами факультету?
М: По-перше, я досить багато подорожую, тому бачу людей у своїй галузі у Франції, у Стонібруку чи деінде. Однак більшість досліджень проводиться самостійно; Я роблю найкращі дослідження самостійно. Дуже корисно мати можливість вести суперечку експерта в цій галузі, але я насправді не сумую за тим, хто співпрацює саме з моєю сферою. Я повинен визнати, що було важким рішенням приїхати сюди. Я сумую за життям у Берклі, і я можу там пробути.
Q: Ви бачите себе математиком епохи Відродження в тому сенсі, що ваша робота охоплює найрізноманітніші математичні галузі.?
М (сміється): Ні, я бачу себе більше любителем, людиною, яка займається багатьма різними сферами і цікавиться багатьма різними речами; Я точно не сказав би математика епохи Відродження. Зараз я дуже люблю багато видів математики, і мені подобається працювати над тим, що я не є експертом у вивченні цієї теми. Ця сфера, яку я описав, справді чудова таким чином, оскільки вона настільки широка, що контактує з багатьма різними типами математики. Коли я приїхав до Гарварду, я виявив, що для багатьох теорій (таких як теорія Ходжа складних сортів тощо) я насправді не розумів і нас не дуже спонукало вивчати. Тому я розпочав з теми, яку я міг би дуже добре вивчити: реальної змінної.
Коли я закінчив університет, я пройшов справжній курс аналізу; Я поїхав у Стенфорд на рік і пройшов справжній справжній курс аналізу у Бенджаміна Вайса, професора в Єрусалимі. І це мене дуже схвилювало від аналізу. Потім я повернувся до Вільямса і тісно співпрацював з Біллом Олівером. Він мав великий вплив на мою математичну освіту; саме від нього я вперше засвоїв цю ідею використання словників у математиці для використання як свого роду аналогії між різними галузями чи різними теоретичними розробками, щоб спробувати керувати моєю роботою. Такими були мої ранні впливи.
Коли я приїхав до Гарварду, я був свого роду кастингом. Я знав, як програмувати комп'ютерну програму - я працював влітку в IBM-Watson в Йорктаун-Хайтс - і Мандельброт і Мамфорд майже співпрацювали; Мандельброт надає доступ до комп’ютерів від Йорктаун-Хайтс до Мамфорда, який малює ці прекрасні зображення прикордонних наборів груп Клейніан. Як той, хто був знайомий із комп’ютерним світом Йорктауна, я почав працювати для нього програмістом, допомагав йому малювати ці зображення тощо. Ви повинні собі уявити, що в ті часи нам довелося зателефонувати на міжміський модем, а потім працювати над програмами друку на 30 символів в секунду у FORTRAN. Тоді ми фотографуємось, і нам доведеться чекати тиждень, коли вони надішлють нам лист з Йорктауна, щоб перевірити, чи все пішло добре.
Потім мене зацікавив розмір Хаусдорфа, і оскільки я знав справжній аналіз, спробував над ним попрацювати. Моя перша робота була присвячена проблемі, яку я дізнався, коли зустрів професора Гарвардського професора Хіронаку, хоча він був на канікулах у Японії. Коли він вперше повернувся з Японії, він сказав мені це питання, яке йому не вдалося вирішити, а саме: обчислити фрактальний розмір певного набору. Цей набір отримують, малюючи букву "М" і повторюючи ту саму цифру, як показано тут .
Врешті-решт, ви отримаєте набір з не самоподібним, а є чорничним. Фрактали, розміри яких легко розрахувати, мають таку властивість, що якщо взяти невеликий шматок і перерозмірити його з однаковим коефіцієнтом в обох розмірах, він виглядає як більший шматок. Він має властивість, що дуже великий зазор можна зменшити на великому краю, але вам потрібно масштабувати з потужністю два в одному напрямку та ступенем трьох в іншому; оскільки розмір важко підрахувати. У своїй першій науковій роботі я розрахував її розмір: D = log 2 (1 + 2 log 3 2). Це була чудова проблема; Я багато працював над цим. Ви бачите, що мені сподобалось бути поруч із математичною галуззю, яку я зрозумів.
Потім я почав більше цікавитись складною динамікою, тому перейшов до складної змінної з реальної змінної; Я завжди залишався поруч із тим, що міг зрозуміти. Тож зараз, через дванадцять років після свого лікаря, я нарешті пишу статтю, пов’язану з геометрією Келера; і я, звичайно, не почував себе добре з цінностями Келера, коли навчався в школі. Мені довелося попрацювати не лише над темами, а й побачити внутрішню мотивацію, щоб дістатися до них, а не ставити їх у “добре, це те, про що ми дізнаємось далі”.
Q: Про яку "аналогію словника" ви говорили?
М: Найбільший математичний вплив мав мій дисертант, Денніс Салліван. Він був не тільки моїм дисертатором, але коли він ще був у IHES у Франції, я щоліта проводив там кілька місяців разом і їздив на його семінар у Нью-Йорк чи Принстон. Зараз він викладач у Стоуні-Бруку, штат Нью-Йорк, і я намагаюся відвідувати його раз на рік.
Q: Де ви зберігаєте свою польову медаль? Тримайте це вдома?
М (сміється): Я не можу розкрити інформацію!
Q: Якою була ситуація, коли ви виграли медаль Філдс? Як він почувався?
М: Моя перша реакція була надзвичайним подивом; Я був дуже схвильований. Насправді я думав, що не маю кваліфікації щодо віку. Я також знав так багато чудових математиків тут і в Берклі, і в інших місцях, що не міг повірити, що мене обрали. Також у 1991 році я виграв премію Салема, яка є премією аналізу; Я був дуже схвильований, що мене визнали таким чином, тому що я дуже люблю цю сферу - це був мій перший час математиком. Насправді я написав дипломну роботу ще аспірантом з питань Салема, і ця премія призначається на честь Рафаеля Салема, тому вона має для мене особисте значення. Я ніколи не очікував отримати таке визнання, тому я точно відчував, що вже зробив свою частину визнання. (Я був так само здивований, отримавши пропозицію від Гарварду, але знову ж таки, я не знав, що відповісти.
Це нагадує вислів Ліпмана Берса, який був одним із моїх наставників; він сказав: "Математика - це те, що ми робимо для оманливого захоплення кількох близьких друзів". Я думаю, що це хороший опис математики; не чекайте більше цього, бо задоволення від математики - це справді особиста справа. Тому мені дуже пощастило, що мене обрали для визнання Комісією по медалях Філдса.
Однією з чудових речей математики є те, що громада досить мала. Коли я поїхав до Берліна, щоб отримати цю нагороду, там було багато людей, яких я добре знав протягом багатьох років - чудова міжнародна спільнота моїх друзів. Це була справді гарна річ.
Q: Як ти міг контролювати свій ентузіазм?
М: Що ж, трапилося, я був настільки схвильований, що швидко забув про це, бо не міг справді повірити. І тоді, час від часу, я згадував би. І я б подумав, що це не може бути правдою (сміється), і звичайно, я не можу перевірити, бо це мала бути таємниця.
Питання: травень це те, чим ви хочете поділитися з нами щодо медалі?
Насправді у мене є історія про те, коли я повернувся з Берліна. Охоронець аеропорту за кермом металошукача зупинив мене, коли мій рюкзак проходив крізь машину. Вона сказала: "Вибачте, що у вас тут у рюкзаку?" Я сказав: "Це золота медаль". Вона сказала трохи нерішуче: отже, я вийняла його зі свого пакета. Трохи засмучений, він сказав: "О, дуже красиво, це твоє?" Я сказав "Ммммм!"