Математика Зображення

Стаття опублікована 11 травня

Наприкінці березня 2020 року, і поки частина людства обмежена, Норвезька академія наук одночасно присудила премію Абеля 2020 року Гілелю Фюрстенбергу та Григорію Маргулісу за їх інноваційне використання імовірнісних та динамічних методів у геометрії та теорії чисел.

Не існує такого поняття, як Нобелівська премія з математики. Медаль Філдса нагороджує лише математиків [1] та математиків, які не досягли 40 років, і тому не відіграє такої ж ролі, як Нобелівська премія, яка часто нагороджує повну кар’єру. У цьому сенсі Премія Абеля є еквівалентом Нобелівської премії з математики з точки зору своєї престижності, передового характеру кар’єри одержувачів та розміру премії.

Назва премії походить від Нільса Абеля, норвезького математика. Перш за все ми зобов'язані йому першою відповіддю на питання розчинності радикалами поліноміальних рівнянь ступеня $ 5 $. Він першим показав, що для певних поліномів це неможливо, а потім Еваріст Галуа охарактеризував саме ті поліноми, для яких це можливо. Його життя було коротким, оскільки він помер у віці 26 років, і саме до двохсот річчя з дня його народження в 2002 році була створена премія Абеля. Першу премію отримав Жан-П'єр Серр. Приз наділений 7,5 мільйонами норвезьких крон або приблизно 600 000 євро, набагато більше, ніж медаль Fields.

Цього року нагороду оголосили на початку стримування, і доповідачі виступали саме через веб-камери. Сама церемонія відкладається, поки спалах коронавірусу не закінчиться. Ми можемо переглянути оголошення в Інтернеті, а також інтерв’ю з одержувачами.

Двоє лауреатів, хоча їх робота однаковою, ніколи не співпрацювали безпосередньо. У них навіть немає спільних співавторів, хоча деякі їх співавтори співпрацювали самі (відстань Ерда між Фюрстенбергом та Маргулісом, як кажуть, становить 3 долари).

Далі ми згадуємо найвідоміші твори двох реципієнтів, намагаючись дати якесь уявлення щодо цього питання. Жодна вичерпність не передбачена навіть серед найвизначніших внесків. Якщо початок - червона траса, решта - явно поза трасою.

Х. Фюрстенберг

Гілель Фюрстенберг народився в Німеччині в 1935 році, іммігрував до США на початку Другої світової війни, навчався там і розпочав там свою кар'єру. У 1965 році він переїхав до Ізраїлю і став професором Єврейського університету в Єрусалимі до своєї пенсії.

Першою родзинкою кар’єри Гілеля Фюрстенберга є ще одне підтвердження нескінченності простих чисел. Звичайно, з давніх часів було відомо, що існує нескінченність простих чисел, і класичний доказ міститься в Елементи Евклідова: Нехай $ n $ є найбільшим відомим простим числом, тоді ціле число $ n! +1 = 1 \ раз 2 \ раз 3 \ рази \ dotsb \ раз n + 1 $ ділиться на просте число, яке є простим з усіма цілі числа від $ 1 $ до $ n $ і, отже, відрізняються від усіх простих чисел, вже відомих. Таким чином, існує нескінченність простих чисел.

Доказ Фюрстенберга абсолютно інший за формою, оскільки він включає топологію, яка є розділом математики, що вивчає властивості геометричних об’єктів, збережених безперервною деформацією без розриву або повторного склеювання. Апріорі, зв’язок із простими числами, здається, підтримується, і це дуже дивно. Але це відмінна риса роботи Фюрстенберга: використання однієї галузі математики для відповіді на завдання в іншій області.

Доказ вимагає знання того, що є відкритим і закритим, і ми дозволимо зацікавленому читачеві розгорнути блок нижче, щоб прочитати доказ, який вміщується в кілька рядків. Оригінальна публікація охоплює лише дванадцять рядків посередині сторінки вАмериканський математичний щомісячник у 1955 році.

Доказ Фюрстенберга про нескінченність простих чисел

Надамо множині відносних цілих чисел $ \ mathbb $ топологію, де відкриттями є возз'єднання бі-нескінченних арифметичних прогресій, тобто множинами виду $ A_ = a \ mathbb + b $, іншими словами арифметична прогресія причини $ a $, що містить $ b $, або класу $ b $ за модулем $ a $. Це вправа для перевірки того, що це справді топологія. Наприклад, перетин $ A_ $ і $ A_ $, якщо він не порожній, є арифметичною прогресією, причиною якої є найменш спільне кратне між $ a $ і $ a ’$.

Зверніть увагу, що будь-яка арифметична прогресія $ A_ $ також закрита, оскільки її доповненням є об'єднання інших арифметичних прогресій розуму $ a $.

За визначенням, будь-який непустий відкритий є нескінченним, оскільки він містить арифметичну прогресію. Будь-яке ціле число, крім $ \ pm1 $, ділиться на просте число, яке записується

Де $ \ mathcal

$ - множина простих чисел. Якщо $ \ mathcal

$ скінченна, тоді права частина закрита як скінченний союз замкнених і тоді $ \ $ одночасно скінченна і відкрита. Що суперечить вищевикладеному.

Детальніше та інші докази див. У цій статті.

Ще одним відомим новим доказом, наведеним Фюрстенбергом, є доказ теореми Шемереді, яка стверджує, що для будь-якої множини $ E $ додатних цілих чисел, якщо щільність $ E $ у множині додатних цілих чисел строго додатна, тоді $ E $ містить скінченні арифметичні прогресії (тобто послідовності $ b, b + a, b + 2a, \ dots, b + na $, де $ b $ - перший термін, $ a $ причина і $ n $ довжина), скільки завгодно. Щільність множини $ E $ у наборі цілих додатних чисел як межа (якщо вона існує) фактора
\ [\ frac \ rvert>, \]
тобто межа частки чисел у $ E $ серед перших цілих чисел $ n $.

Для цього доведено не топологію оригінального інструменту, а ймовірності! Ключовим моментом є теорема багаторазового повторення, яка є продовженням теореми рекуррентності Пуанкаре, класичного інструменту ергодичної теорії, вивчення динамічних систем за наявності інваріантної міри, такої як виділення газу при фіксованому обсязі. Ці нові докази були цікаві не лише своєю оригінальністю. Теорема множинних рецидивів відкрила новий розділ математики, що пов'язує ергодичну теорію та теорію комбінаторних чисел. Яскравою ілюстрацією цього відкриття є теорема Гріна і Дао, продемонстрована в 2004 р. Ця теорема стверджує, що множина простих чисел, хоча і має нульову щільність, має арифметичні послідовності довільно великої довжини.

Основним поняттям, яким Гіллель Фюрстенберг дав своє ім'я, є ім'я Кордон Фюрстенберга. Насправді існує кілька математичних об'єктів, які носять цю назву, один має топологічний характер, а інша частина світу теорії вимірювань.

Розуміння (існування, унікальність та ідентифікація для груп Лі) цих кордонів буде ключовим інструментом у роботі Маргуліса. Давайте висунемо, що ці межі дуже добре проходять від неперервного, наприклад $ \ mathrm_n (\ mathbb) $, до дискретного, наприклад $ \ mathrm_n (\ mathbb) $.

Цінність робіт Фюрстенберга була визнана з їх публікації, але саме завдяки результатам багатьох інших математиків, натхненних цими роботами, можна оцінити глибину роботи Фюрстенберга.

Г. А. Маргуліс

Григорій Олександрович Маргуліс народився в Москві в 1946 році. Захистив дисертацію з ергодичної теорії в 1970 році. На початку 1970-х він оголосив ключовий етап у вирішенні гіпотези Сельберга та Піатецького-Шапіро про арифметичність групових мереж -проста група Лі вищого рангу: Якщо $ G $ - це напівпроста група Лі вищого рангу, як $ \ mathrm_n (\ mathbb) $ (з $ n \ geq3 $) або $ \ mathrm (p, q) $ з $ p, q \ geq2 $, то будь-яка мережа $ \ Gamma $, тобто дискретна підгрупа, така що фактор $ G/\ Gamma $ має кінцеву міру, інваріантну до дії множеннями на $ G $, по суті отримується як множина матриці з цілими коефіцієнтами $ G $. Наприклад, ми знаходимо $ \ mathrm_n (\ mathbb) $ як арифметичну мережу $ \ mathrm_n (\ mathbb) $.

Щоб дати уявлення, про що йдеться, можна сказати, що першими мережами є мережі Евкліда. Визначення в цьому конкретному випадку є таким, це дискретні підгрупи $ (\ mathbb ^ n, +) $, які містять основу $ \ mathbb ^ n $. Наприклад, підгрупа $ \ mathbb ^ n $. Ми знаходимо більш складні, такі як відома гексагональна мережа розміром $ 2 $. Усі ці мережі є арифметичними в тому сенсі, що існує відповідна основа, в якій елементи мережі є елементами координат у $ \ mathbb $. Це узагальнює інші суцільні групи, і, за висловом Г. Мостоу, можна думати про мережі як про риштування навколо будівлі, утвореної суцільною групою. Вся складність полягає у пошуку безперервного, починаючи з дискретного.

Квадратна мережа $ \ mathbb ^ 2 $, яка відповідає точкам із цілими координатами. Гексагональна мережа $ \ mathbb ^ 2 $, що відповідає точкам з цілочисельними координатами в основі $ (\ overrightarrow, \ overrightarrow) $.

Оголошення про цю віху зроблено в російському торговому журналі (і, отже, російською мовою). Новина зустрічається з подивом (і, можливо, скептицизмом) фахівців, які не змогли продемонструвати результат. Коли нарешті публікується доказ, є великим сюрпризом виявити, що методи не надто складні, але перш за все те, що вони дуже винахідливі. Дивовижним моментом є використання алгебраїчних груп на полі реальних $ \ mathbb $, а також на полі чисел $ p $ -адичних.

У 1974 році Маргуліса запросили виступити з пленарною презентацією на Міжнародному конгресі математиків у Ванкувері. Радянська влада не дозволяє йому їхати туди (частково через те, що він був євреєм), і хоча очікувалось, що Маргуліс деталізує докази ключового кроку вище, ще не повністю опубліковані, він надсилає детальне повідомлення про результати щодо іншої частини здогадок . Ніхто не очікував результатів у цій іншій частині, яка здавалася неприступною за допомогою тогочасних інструментів.

Основною ідеєю доведення арифметичного результату є відомий результат, який зазвичай називають Теорема про наджорсткість зараз. Ця назва, яка трохи дивує, пояснюється Джорджем Мостоу, який вже продемонстрував результат, відомий як сильна жорсткість. Результат Маргуліса був набагато сильнішим, Мостов дав їй ім'я надто жорсткості. Доказ вимагає ергодичної теорії, теорії подань, алгебраїчної геометрії та структури алгебраїчних груп. Один з варіантів доказу використовує межі Фюрстенберга та основну теорему Фюрстенберга про них.

У 1978 році для Міжнародного конгресу математиків Маргуліс мала отримати Філдсову медаль, і знову російська влада завадила їй це зробити. Саме Жак Титс представляє творчість Маргуліса. Презентація роботи Маргуліса виявляє захоплення Жака Тіца цим математиком, якого він ніколи не зустрічав, і про відсутність якого він шкодує, поки конгрес проходить там же, де були підписані Гельсінські угоди (що означає розслаблення між Сходом і Заходом) у 1975 році.

Нарешті будуть зібрані докази, значно пізніше в книзі Дискретні підгрупи напівпростих груп Лі який є пам’ятником і його важко вивчити, оскільки він вимагає від читача широких знань із самих різних галузей математики.

Дискретні підгрупи напівпростих груп Лі (1991), де знайдено повний доказ гіпотези Сельберга та Піатецького-Шапіро.

З 1979 року Маргулісу було дозволено подорожувати до Західної Європи, а в 1991 році він став професором Єльського університету, де він залишився донині.

Ще однією важливою частиною роботи Маргуліса є дозвіл гіпотези Оппенгейма. Це гіпотеза, викладена в 1929 р., Яка залишалася відкритою до 1987 р., Коли було встановлено доказ Маргуліса. Це стосується квадратних форм і точок з цілими координатами. Квадратична форма $ Q $ ступеня $ 2 $, як $ Q_1 (x) = x_1 ^ 2 + \ dots + x_p ^ 2-x_ ^ 2- \ dots-x_ ^ 2 $ на $ \ mathbb ^ $ або навіть $ Q_2 (x) = \ sqrtx_1x_2 + \ pi x_3 ^ 2 $ на $ \ mathbb ^ 3 $. Нас цікавить пошук цілочисельних координатних точок $ x = (x_1, \ dots, x_n) \ neq0 $, які виключають квадратну форму $ Q $, тобто $ Q (x) = 0 $. Для квадратної форми $ Q_1 $ ми можемо знайти такі точки (наприклад, ту, чиї перші координати $ 2p $ вартістю $ 1 $, а останні нульові). З іншого боку, для другого це неможливо.

Теорема Арнольда Мейєра стверджує, що якщо $ Q $ є квадратною формою з раціональними коефіцієнтами, то ми можемо знайти такі точки. Приклад наводять прямокутні трикутники зі сторонами $ a, b, c $ цілих довжин (як відомий трикутник сторін $ 3,4 $ і $ 5 $, але це не єдиний!). Дійсно в цьому випадку теорема Піфагора стверджує, що сторони відміняють квадратну форму $ a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2 $.

Потім гіпотеза Оппенгейма говорить, що якщо $ Q $ є будь-якою квадратною формою (але не квадратом норми або її протилежністю), ми не можемо обов'язково знаходити рішення з цілими коефіцієнтами, але ми завжди можемо знайти точки $ x \ neq0 $ за цілими координатами такий, що $ Q (x) $ наближається до нуля за бажанням. Ми говоримо про діофантове наближення розчинів. На диво на перший погляд, доказ Маргуліса використовує ті ж інструменти (мережі, напівпрості групи Лі, ергодична теорія та топологічна динаміка), що і попередній арифметичний результат.

Давайте закінчимо з кінцевим результатом, який носить ім'я Маргуліса, це - лема Маргуліса як називав Громов. Цього разу мова вже не про ергодичну теорію, а про геометрію. Замість того, щоб це заявляти, давайте подамо заявку. Гіперболічний різноманіття - це геометричний простір, де геодезичні трикутники (сторони - найкоротші шляхи між вершинами) тонші за евклідові трикутники. Ось що трапляється, наприклад, якщо ви вибрали три точки на сідлі коня і протягнули гумки між цими трьома точками.

Шматок гіперболічної поверхні з геодезичним трикутником зверху.

Важливим наслідком леми Маргуліса є частково тонке і товсте розкладання гіперболічного різноманіття. На малюнку нижче тонка частина синього кольору, а товста - рожевого. Лема Маргуліса дозволяє нам стверджувати, що тонка частина складається з двох типів предметів, трубок або точок, які добре розуміються. Що стосується товстої частини, ми знаємо принаймні, що кожен з її компонентів має об’єм, що перевищує певну фіксовану межу.

Розкладання на товсті та тонкі частини гіперболічної поверхні.

Щоб знати більше

Нижче наведено кілька посилань, які були використані для цього тексту, і які дозволять зацікавленому читачеві дізнатися більше.

Біографія Гіллеля Фюрстенберга про математичну історію.
Біографія Григорія Маргуліса про математичну історію.
Презентація роботи Маргуліса Жаком Тіцем на Міжнародному конгресі математиків у 1978 році.
Веб-сторінка премії Абель 2020 з інтерв’ю з переможцями біографій кожного з них.
Презентація Маргуліса Мостовим у Наука у 1978 р. (потрібна передплата).
Майже вичерпне резюме роботи Маргуліса Лізен Джи в 2008 році.
Значення невизначених квадратичних форм у інтегральних точках і потоках на просторах решіток, Арман Борель. Вісник Американського математичного товариства, Том 32, номер 2, квітень 1995 р.
Нещодавня попередня публікація Девіда Фішера про суперигідність Маргуліса та пов'язані з нею праці.

Автор дякує Жерому Буцці, Клементу Кабелю, Яссіну Галему та Людовику Маркізу за їх коректуру та пропозиції, які покращили читабельність. Атаульфо Антон переклав цю статтю на іспаномовну версію сайту іспанською мовою та допоміг її вдосконалити. Велике спасибі йому.