Метод Гаусса (метод елімінації) - Матереттер
Час читання: 15 хв
За допомогою методу Гауса (скорочення від "метод Гауса усунення") можна визначити рішення лінійних систем рівнянь будь-якого розміру. Процес - це спеціальна форма або багаторазове виконання процесу додавання.
Метод Гаусса для розв’язання LGS
Тепер ми хочемо вирішити LGS нижче:
\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)
Як вже свідчить повна назва методу Гаусса, ми намагаємось усунути кілька змінних, використовуючи метод додавання. Ми продовжуємо це робити, поки не отримаємо форму кроку (також називається формою кроку рядка). Система рівнянь у поетапній формі згодом виглядає приблизно так:
Отже, ми усуваємо змінну x у другому рівнянні та змінні x та y у третьому рівнянні. Для систем рівнянь з більшою кількістю рівнянь/змінних ви можете пам’ятати, що перше рівняння залишається незмінним, але з кожним наступним рівнянням ще одна змінна усувається (починаючи зліва), так що в останньому рядку знаходиться лише одна змінна.
Важливо, щоб ілюстрація була лише про те, яка форма має таку ступінчасту форму. Однак значення коефіцієнтів перед неопущеними змінними та значення праворуч від знака рівності можуть змінюватися і не обов'язково дорівнювати значенням вихідних LGS, як на малюнку.
Давайте спробуємо зробити нашу форму лінійного кроку LGS:
\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)
Перш за все ми хочемо виключити x у другому рівнянні (термін 4 x x). Ми використовуємо метод додавання і шукаємо значення а, помножене на 3, дає 4, щоб ми могли відняти перше рівняння від другого, а x пропущено. Яке значення a у 3 · a = 4 ?
Якщо ми перетворимо на a, то отримаємо a = - 4/3. Отже, нам потрібно помножити рівняння I на - 4/3, щоб ми могли додати I до II, і x зникне.
Якщо ми зробимо це і назвемо наше перетворене рівняння I ', отримаємо:
Запишемо рівняння II під I 'і зробимо додавання I' + II:
Тепер ми хочемо, щоб х було пропущено у рівнянні III, тому помножимо рівняння I на \ (\ ліворуч (- \ frac \ праворуч) \) і отримаємо I '':
\ (\ begin \ text & 3 x & + 3 y & - 1 z & = 5 \ qquad |: \ left (- \ frac \ right) \\ \ text & 3 x \ left (- \ frac \ праворуч) & + 3 y \ ліворуч (- \ frac \ праворуч) & - 1 z \ ліворуч (- \ frac \ праворуч) & = 5 \ ліворуч (- \ frac \ праворуч) \\ \ text & -2 x & -2 y & + \ frac z = - \ frac \ end \)
Додамо разом I '' та III:
Тепер ми пишемо I, II 'і III' один під одним:
У нас вже є перший етап:
Тепер y з рівняння III 'потрібно видалити, ми знову застосовуємо процедуру додавання, а саме для останніх двох рівнянь:
Обидва рівняння мають однакові змінні y і z, ви можете собі уявити, що має LGS лише з 2 змінними. Ми вже навчилися вирішувати таке. Отже, ми усуваємо y в III ', помноживши II' на 7, оскільки:
Отже, ми обчислюємо рівняння II'7 і називаємо новим рівнянням II '':
\ (\ text 0 + 1 y + \ frac z = - \ frac \ qquad | 7 \\ \ text 0 + 7 y + \ frac z = - \ frac \)
Тепер ми пишемо II '' і III 'один під одним і додаємо рівняння. Тепер ми називаємо суму III '':
Тоді ми можемо написати рівняння I, II 'і III' 'одне під одним, і ми маємо LGS у кроковій формі:
Такі LGS тепер можна порівняно легко вирішити. Ви починаєте з найнижчого рівняння і визначаєте значення для єдиної змінної в рівнянні. Вставивши змінну, значення якої тепер відомо, у рівняння вище, а потім вирішивши її, ви отримаєте значення наступної змінної. Потім ви поміщаєте всі відомі змінні у вище рівняння, а потім вирішуєте знову.
Отже, спочатку ми вирішуємо третє рівняння III '':
Тепер ми можемо вставити наше значення для z у друге рівняння II 'і вирішити для y:
\ (\ text 0 + 1 y + \ frac z = - \ frac \ qquad | \ textcolor \\ 0 + 1 y + \ frac \ textcolor = - \ frac \\ 1 y - \ frac = - \ frac \\ 1 y = - \ frac + \ frac \\ y = - \ frac \\ y = -3 \)
Нам потрібна лише змінна x. Ми обчислюємо цю змінну, вставляючи y та z у рівняння I:
\ (\ text 3 x + 3 y - 1 z = 5 \ qquad | \ textcolor \ text < und >\ textcolor \\ 3 x + 3 \ textcolor - 1 \ textcolor = 5 \\ 3 x - 9 + 2 = 5 \\ 3 x - 7 = 5 \\ 3 x = 12 \\ x = 4 \)
Як рішення LGS ми маємо:
Якщо ми помістимо ці значення в три вихідних рівняння як тест, ми побачимо, що всі три рівняння працюють.
\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)