Наприклад, на ...
Взаємодії - це контрасти, що виникають із добутку інших контрастів. Контрасти допомагають нам зрозуміти, чи ефекти, які ми виявляємо через інші контрасти, залежать від характеристик інших факторів. Давайте розглянемо кілька прикладів:
- Можливо, ефективність навчальної стратегії залежить від попередніх знань того, хто навчається. Учні з високим рівнем попередніх знань отримують вигоду від стратегії навчання, а ті, хто не має попередніх знань, не отримують вигоди від стратегії навчання.
- У природі ефективність різних видів добрив взаємодіє залежно від того, додано добриво взимку чи навесні. Оскільки взимку рослини майже не ростуть, взимку добриво не працює, але влітку.
- Також може бути, що ефективність різних дієт залежить від статі людини. Хоча дієта 3 є ефективнішою для чоловіків, ніж дієта 2 та дієта 1, цього ефекту немає у жінок.
Отже, взаємодія дозволяє нам задавати більш конкретні питання щодо набору даних та встановлювати граничні умови для ефектів. У цій частині ми спробуємо більш точно зрозуміти взаємодії, використовуючи лінійну модель.
10.3.1 Основні ефекти та конкретні контрасти
Спочатку почнемо з більш простого тлумачення основних ефектів. Процедура перевірки основних ефектів не відрізняється від нашої процедури в попередніх модулях. Ми створюємо дві моделі (розширену та компактну) та використовуємо F-тест, щоб перевірити, чи зменшують додаткові параметри помилки вище середнього. Оскільки коефіцієнти цих параметрів дозволяють конкретно інтерпретувати, ми можемо використовувати їх для відповіді на статистичні запитання. Наприклад, за допомогою t-критерію для незалежних зразків ми змогли перевірити середні різниці, оскільки коефіцієнт \ (b_1 \) представляє середні різниці. У свою чергу, ми перевіряємо основні ефекти, вилучаючи всі контрасти з розширеної моделі та перевіряючи відмінності в характеристиках фактора:
| \ (\ лямбда_ \) | Дієта 1/2 проти дієти 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
| \ (\ лямбда_ \) | Дієта 1 проти дієти 2 | 1 | -1 | 0 | 1 | -1 | 0 |
| \ (\ лямбда_ \) | Чоловіки проти жінок | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| \ (\ лямбда_ \) | Взаємодія \ (\ лямбда_ \) та \ (\ лямбда_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
| \ (\ лямбда_ \) | Взаємодія \ (\ лямбда_ \) та \ (\ лямбда_ \) | 1 | -1 | 0 | -1 | 1 | 0 |
Наприклад, ця наступна пара моделей перевіряє, чи дієти відрізняються за своєю ефективністю. Оскільки два контрасти описують ефективність дієт, ми видаляємо їх у компактній моделі, щоб вивчити основний ефект дієти:
Конкретні контрасти дозволяють нам перевірити конкретні гіпотези. Наприклад, питання про те, чи дієта 3 краща за дієту 1 і 2?
\ [\ begin \ hat & = b_0 + b_1 * X_1 & + b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 * X_4 + b_5 * X_5 \\ \ hat & = b_0 & + b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 * X_4 + b_5 * X_5 \ end \]
10.3.2 Бета-коефіцієнти у взаємодіях
Набагато складніше зрозуміти, що означають параметри у взаємодіях. Давайте подивимось на контраст \ (\ lambda_ \):
| \ (\ лямбда_ \) | Дієта 1/2 проти дієти 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
| \ (\ лямбда_ \) | Чоловіки проти жінок | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| \ (\ лямбда_ \) | Взаємодія \ (\ лямбда_ \) та \ (\ лямбда_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
| \ (\ лямбда_ \) | Взаємодія \ (\ лямбда_ \) та \ (\ лямбда_ \) | \ (1 * 1 \) | \ (1 * 1 \) | \ (1 * (-2) \) | \ (1 * (-1) \) | \ (1 * (-1) \) | \ ((- 2) * (-1) \) |
Формально ми знаємо, що контрастні ваги - це множення інших контрастів. Далі спробуємо розрахувати бета-коефіцієнт контрасту:
По-перше, нам потрібно знайти групові засоби:
| 1 | 0 | -3,050000 |
| 1 | 1 | -3,650000 |
| 2 | 0 | -2,607143 |
| 2 | 1 | -4.109091 |
| 3 | 0 | -5,880000 |
| 3 | 1 | -4.233333 |
Використовуючи ці середні значення, тепер ми можемо розрахувати бета-коефіцієнт:
Бета-коефіцієнти всієї моделі такі:
Тепер ми перетворили коефіцієнти контрастності для розширеної моделі у фрейм даних. Потім ми можемо передати ці контрасти функції lm для обчислення параметрів:
В результаті виходить така модель:
\ [Y_i = -3,92 + 0,567 * X_1 + 0,004 * X_2 -0,076 * X_3 -0,449 * X_4 + 0,225 * X_5 \]
10.3.3 Значення бета-коефіцієнта контрасту \ (\ lambda_ \)
Щоб зрозуміти, що означає бета-коефіцієнт взаємодії, спочатку потрібно пройти простіший приклад контрасту \ (\ lambda_ \):
| \ (\ лямбда_ \) | Дієта 1/2 проти дієти 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
Коефіцієнт \ (0,567 \) означає середню різницю значень між групами Diet1 та Diet2 та групою 3. Ми використовуємо цей контраст, щоб перевірити, чи дієта 3 призводить до більшого зниження ваги, ніж інші дві дієти. Для підтвердження цієї заяви ми переформулюємо обчислення бета-коефіцієнта:
Для нашої гіпотези Diet3 проти Diet1/2 коефіцієнт:
Виконуючи невелику алгебру, ми можемо перетворити коефіцієнт у такий вигляд:
Потім ділимо кожну сторону на 2:
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) - це не що інше, як середнє значення людей, які отримували дієту 1.
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) - середнє значення людей, які отримували дієту 2.
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) - середнє значення людей, які отримували дієту 3. Тож ми можемо переформулювати рівняння, подавши ці обчислення як групу:
Отже, коефіцієнт не перевіряє нічого, крім питання, чи дорівнює середнє значення групи 3 середньому значенню інших двох дієтичних груп:
Щоб пройти через бета-коефіцієнт взаємодії, ми зараз зробимо подібне.
10.3.4 Значення бета-коефіцієнта контрасту \ (\ lambda_ \)
Застосуємо той самий принцип до першої взаємодії \ (\ lambda_ \). Взаємодія перевіряє, чи впливає дієта 3 проти дієти 1/2 від того, чи містять дієти чоловіків чи жінок.
| \ (\ лямбда_ \) | Взаємодія \ (\ лямбда_ \) та \ (\ лямбда_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
Параметр \ (b_4 \) обчислюється наступним чином:
Поділивши чисельник і знаменник на 2, отримуємо:
Тепер ви бачите, що в дужках - те саме питання, яке ми задавали собі за допомогою \ (\ lambda_ \). Чи дієта 3 ефективніша, ніж дієта 1 та дієта 2?
Однак цього разу нам цікаво, чи однакова різниця в цих дієтах для чоловіків та жінок?
І коефіцієнт \ (b_4 \) означає саме це питання. У нульовій гіпотезі ми припускаємо, що між цією різницею немає різниці:
Коли F-тест є значущим, ми припускаємо, що ефект дієти 3 проти дієти 1/2 різний для чоловіків та жінок. У цьому випадку ми розраховуємо прості ефекти, щоб з’ясувати, в чому різниця.
10.3.5 Візуалізація
Щоб краще зрозуміти взаємодію, часто доцільно розглянути візуалізацію середніх значень. Візуалізація повинна виглядати так, як дієта представлена на осі X, а зменшення ваги - на осі Y. Окремі рядки позначають стать. Спочатку ми повинні обчислити різницю міри зменшення ваги та перетворити фактори у коефіцієнти в R:
Далі обчислюємо середні значення для кожної групи:
І візуалізуйте середні значення групи:
Насправді ефект дієти 3, здається, набагато кращий для жінок, ніж для чоловіків. Щоб перевірити цю інтуїцію, ми розраховуємо прості ефекти після значної взаємодії.
10.3.6 Прості ефекти та пост-hoc аналіз
Взаємодія просто говорить нам, що існує різниця в одному ефекті залежно від тяжкості іншого фактора. Однак вони не говорять нам, у чому полягає ця різниця. Для цього ми розраховуємо або прості ефекти, або post-hoc тести.
Прості ефекти - це не що інше, як дисперсійний аналіз, який ми обчислюємо для кількох значень фактора. Наприклад, ми могли б перевірити контрастність дієти 3 проти дієти 1/2 в односторонньому аналізі дисперсії у чоловіків та жінок.
У пост-хок тестах ми зазвичай порівнюємо між собою всі можливі парні групи і перевіряємо їх на значущість. Або інакше кажучи: ми розраховуємо t-тест для кожної пари групи та коригуємо рівень альфа, щоб уникнути інфляції помилки типу I. Ми повернемось до цього пізніше в детальному прикладі.
Також переконайтеся, що основні ефекти взаємодій не можуть бути інтерпретовані, оскільки основні ефекти залежать від характеристик іншого фактора. Тому завжди доцільно повідомляти про прості ефекти під час взаємодій, а не інтерпретувати основний ефект.