Перехідне вивчення неперервних систем порядку 2
3.2.4. Застосування до систем другого порядку.
3.2.4.1. Визначення системи другого порядку.
Ми називаємо системою другого порядку будь-яку систему, керовану диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами:
Припустимо, що коефіцієнти перевіряють: a0, a2> 0; a1 і 0; b1 № 0.
Це диференціальне рівняння можна записати у такій формі:
Поставивши:, рівняння системи другої записується у наступному канонічному вигляді:
§ w n: правильна пульсація незатухаючої системи (rd/s), якщо одиниця часу в секундах;
§ K: статичний коефіцієнт посилення розмірності = [розмірність s]/[розмірність e];
§ z: коефіцієнт або коефіцієнт демпфування, іноді відзначається m або x (безрозмірний).
3.2.4.2. Функція передачі.
Для початкових умов, які приймаються рівними нулю (s (0) = 0, s '(0) = 0), застосування перетворення Лапласа до диференціального рівняння дозволяє отримати:
Отже, передавальною функцією системи двох порядків є:
3.2.4.3. Блок-схема.
Ми пов'язуємо з системою блок, всередині якого ми вписуємо її передавальну функцію, вказуючи, що E (p) та S (p) є відповідно вхідними та вихідними даними системи:
Полюси передавальної передаточної функції є корінням рівняння:
3.2.4.4. Крок відповідь.
Це відповідь на хвилювання e (t) = Eo u (t); нехай E (p) = Eo/p.
Теорема про кінцеве значення, застосована до s (t):
Теорія остаточного значення, застосована до похідної s '(t):
Отже, тангенс у початку координат дорівнює нулю. Крива починається по дотичній до осі часу, проходить через перехідну фазу перед стабілізацією на кінцевому значенні K Eo. Форма перехідного режиму залежить від природи полюсів передавальної функції, як показано в наступному дослідженні нижче.
а- Перехідна поведінка відповідно до коефіцієнта демпфування:
Характер полюсів передавальної функції визначає перехідну поведінку. Це, зокрема, залежить від коефіцієнта демпфування, як це показало вивчення наступного рівняння:
Ми маємо: .
Рішення r1 та r2 наведеного рівняння наведені в наступній таблиці відповідно до коефіцієнта затухання z:
два справжні полюси
Випадок 1: z> 1 - Періодична дієта:
Два реальних полюса в знаменнику, і доречно їх асоціювати з двома постійними часу, визначеними:
Функція передачі записується:
Етап відповіді s (t) для E (p) = E0/p:
и
Наступна крива ілюструє форму реакції на крок як функцію z> 1:
Поведінка системи не коливається. Відповідь прагне до кінцевого значення KE0, ніколи не перевищуючи його.
Чим більше коефіцієнт демпфування z, тим більше час відгуку. Властивість, що не має перевищення (z і 1), дуже затребувана в деяких сервоуправліннях, де перевищення заборонено.
Випадок 2: z = 1 - Критична апериодична швидкість
Два полюси є дійсними та ідентичними r = r1 = r2 = - w n, а дві константи часу, пов'язані з ними, також ідентичні t = t 1 = t 2 = 1/w n .
Для e (t) = E0u (t) маємо:
и
Звідси тимчасова реакція:
Форма крокової відповіді нагадує форму, отриману при z> 1. Це найшвидша періодична дієта.
Два полюси - це складні сполучники. У цьому випадку неможливо визначити постійні часу, як у випадку z і 1.
Зворотне перетворення Лапласа дає:
Відповідь у формі експоненціально затухаючої синусоїди, як показано на наступному малюнку:
Цей темп дозволяє підтвердити назву, призначену коефіцієнту z, а саме коефіцієнт демпфування. Зрозуміло, що якщо z = 0, ступінчаста реакція буде мати стійку синусоїдальну форму, тоді як для z № 0 амплітуди коливань з часом зменшуються, і це, менш швидко, відповідно до значення z.
b- Характеристичні параметри реакції кроку:
Основні параметри перехідної реакції зведені в наступній таблиці:
Перевищення індексу у%:
Перевищення індексу залежить лише від коефіцієнта демпфування z. Чим менше z, тим менше приглушується реакція і більше перевищення індексу, як показано на наступному малюнку 3.11:
Для сервоприводу перевитрата є важливим критерієм оцінки продуктивності в перехідних умовах. У деяких програмах перевищення швидкості заборонено або воно повинно бути низьким.
Насправді цей тип коливальної поведінки, як правило, впливає на системи управління замкнутим циклом. Варіації задіяних величин повинні контролюватися протягом перехідної фази. Наприклад, якщо вихідною величиною є температура промислової печі, необхідно контролювати її зміну в перехідному стані порівняно з її номінальним значенням. Це може бути забезпечене налаштуванням, що встановлює максимальне перевищення.
3.2.4.5. Час реакції.
Коли реакція кроку апериодична, тобто вона не має коливань (z Ј 1), час відгуку на рівні 5% завжди визначається часом, після якого відгук досягає 95% від остаточного значення.
З іншого боку, коли відгук загасає коливальний, час відгуку на рівні 5% визначається часом, в кінці якого відгук остаточно потрапляє в смугу, визначену 105% і 95% кінцевого значення.
На малюнку 3.12 наведено приклад запису часу відгуку від крокової реакції системи другого порядку за допомогою z
Визначення часу відгуку за виразом крокової відповіді не піддається обчисленню.
На відміну від систем першого порядку, не існує строго виразу, що дозволяє обчислити час відгуку за основними параметрами z і w n .
Однак ми можемо показати, що для даної належної пульсації час відгуку зменшується, коли коефіцієнт загасання зростає в інтервалі 0
Крім цього значення, час відгуку швидко збільшується, як показано на малюнку нижче. Це ілюструє варіацію продукту Tr5% на w n як функцію z на напівлогарифмічному масштабі.
У випадку, коли z = 0,7, час відгуку визначається співвідношенням:
Наступна емпірична формула часто використовується для оцінки часу відгуку в n% для 0
Зверніть увагу, що час відгуку обернено пропорційний w n. Отже, при постійному коефіцієнті демпфування час відгуку стає тим коротшим, оскільки w n великий.
Ми також показуємо наступні наближення:
Нарешті, зауважимо, що статичний коефіцієнт посилення залишається незмінним незалежно від зробленого наближення.
У додатку ми наводимо зведену таблицю, що групує основні часові характеристики реакції кроку, а також таблицю числових значень, що дозволяють розрахувати ці характеристики для коефіцієнта демпфування z та конкретного імпульсу w n, заданого.
3.2.4.6. Приклад системи другого порядку.
Ми розглянемо такі схеми L, R, C:
Ми вивчаємо реакцію цієї системи на одиничному рівні як функцію R. Ми даємо:
L = 1mH та C = 1µF.
Функція передачі задається:
З:
Вираз z показує, що це, зокрема, залежить від опору R. У наступній таблиці узагальнено деякі характеристики реакції кроку як функції від R: