Поради та підказки щодо алгоритму GauЯ A
G3 Лінійні рівняння та системи рівнянь
Алгоритм GauЯ: поради та підказки
На цьому етапі кілька порад та підказок щодо ручного розрахунку. Показано, як правила перетворення можна запам’ятати легше, а розумний вибір опорних елементів обговорюється на прикладі. На закінчення коротко обговорюються проблеми для комп'ютерів.
: Просто пам’ятайте правила перетворення
Хитрість, щоб отримати арифметичну інструкцію
пам’ятайте, що задіяні елементи повинні бути позначені графічно.
Важливо, щоб зигзаг завжди оброблявся від елемента, що підлягає перетворенню до елемента опори. Це може означати знизу вгору, зверху вниз, зліва направо або справа наліво, залежно від того, де знаходиться елемент, який потрібно перетворити, і поворотний елемент.
Використовуйте стандартизовану лінію
При нормалізації поворотної лінії розрахунок здійснюється наступним чином:
Це частковий крок, який також виконується при обчисленні інших елементів.
Елементи, що беруть участь у перетворенні, показані в таблиці:
Якщо лінія повороту була нормалізована, робота може бути збережена при обчисленні інших елементів, тоді як зусилля по нормалізації поворотної лінії - з іншого боку.
Вибір опорних елементів
Розумний вибір шарнірних елементів також може заощадити деяку роботу при ручних розрахунках, як показано в наступному прикладі. Калькулятор на цій сторінці має покрокову опцію. Якщо це встановлено, опорні елементи можна вибрати вручну, щоб можна було перевірити власні обчислення.
Вихідна дошка
Таблиця 1
Таблиця 2
Таблиця 3
Таблиця 1 -> Таблиця 2
Звичайно, можна вибрати a22 = 4 в якості елемента опори. Тоді нулі, які опинились у 3-й колонці, будуть знищені. Якщо, навпаки, обрано a23 = 2,5, для заповнення третьої панелі мало що зробити.
Таблиця 2 -> Таблиця 3
Немає необхідності перетворювати поворотну лінію, а цифри трохи гуманніші, якщо а44 = 1 вибрано в якості стержневого елемента.
Фаза заміщення не розрахована попередньо. Кінцевий результат:
x1 = 1; х2 = 1/2; x3 = 1; x4 = -2;
Калькулятор та алгоритм GauЯ
Загалом для вибору основних елементів комп'ютерами застосовуються різні критерії. Наприклад, важливим є аспект чисельної стабільності. Оскільки комп’ютер не обчислює з дробами, виникають помилки округлення. Існує ризик того, що елемент, який насправді дорівнює нулю, буде виглядати дуже малим числом, не рівним нулю через помилку округлення, і що він буде фатально вибраний як опорний елемент. Отже, комп’ютер може бути запрограмований таким чином, що він завжди вибирає найбільший елемент з точки зору кількості з потенційних опорних елементів.
1/3 → 0,33 1-3 0,33 = 0,01
Більше знаків після коми призводить до меншої кількості помилок округлення, але принципово не вирішує проблему.
Варіант: Повна елімінація (також алгоритм ГауЯ-Йордана)
На додаток до часткової елімінації та заміни існує також варіант алгоритму GauЯ, в якому є лише одна фаза, в кінці якої результат можна прочитати безпосередньо. Загалом таблиць менше, але розрахунок окремих таблиць складніший.
Різниця лише в тому, що елементи в рядках, які вже були позначені, також перетворюються. Щоб спробувати: Калькулятор на цій сторінці має відповідну опцію. Цей варіант також відомий як алгоритм ГауЯ-Йордана.