Різницеві рівняння; ануїтети; коефіцієнти al; atoires Застосування до хвиль в усіх середовищах; аторії

Найважливіша частина курсу буде складатися з викладу різних граничних теорем для розв’язків диференціальних рівнянь із випадковими коефіцієнтами (ергодична теорема, теорема гомогенізації, теорема наближення-дифузії). Ми також обговоримо деякі додатки до хвиль у випадкових середовищах у простих одновимірних рамках, де рівняння з частковими частковими зведені до звичайних диференціальних рівнянь.

рівняння

  1. Приклади та моделювання.
    1. Простий приклад: частинка в залежному від часу полі швидкості.
    2. Рівняння акустичних хвиль в одновимірному середовищі - Однорідне середовище. Характеристики (хвилі, що йдуть праворуч і ліворуч). Підхід Фур’є.

  2. Гомогенізація та самосереднення.
    1. Рівняння акустичних хвиль в одновимірному середовищі - Неоднорідне середовище. Опис середовища з використанням випадкових процесів. Визначення наявних ваг.
    2. Теореми гомогенізації.
    3. Ефективне середовище. Застосування: швидкість звуку в композитному середовищі.

  3. Ергодичні та стаціонарні процеси.
    1. Ергодична теорія.
    2. Квадратична теорія.

  4. Марківські моделі.
    1. Моделі ризику: моделі з експоненціальними шарами, процес дифузії.
    2. Загальні властивості марковських процесів. Процес Феллера. Нескінченно малий генератор. Класифікація. Ергодичність.
    3. Процес стрибка. Імовірність переходу. Рівняння Колмогорова. Псевдо-пуассонівський процес.
    4. Процес розповсюдження. Генератор, рівняння дифузії. Приклади: броунівський рух, процес Орнштейна-Уленбека. Рівняння Фоккера-Планка.
    5. Контур граничної теореми, потрібно вирішити рівняння Пуассона.
    6. Розв’язування рівняння Пуассона: дискретний випадок, неперервний випадок.
    7. Теореми дифузійного наближення.

    Деякі фізичні програми

    1. Пропускання хвилі через шар випадкового середовища. Теорія О'Доерті-Енсті: Модифікація часової форми імпульсу під час його поширення у випадковому середовищі.
    2. Гармонійний генератор із випадковим збуренням. Дослідження коефіцієнта Ляпунова: Позитивність, кількісне дослідження.
    3. Відображення хвилі шаром випадкового середовища. Феномен локалізації.

    1. Змішування моделей. Псевдогенератори.
    2. Гауссові моделі.

  5. Тимчасовий розворот хвиль у випадковому середовищі.
    1. Фізичний опис та моделювання.
    2. Вивчення перефокусування хвилі, повернутої вчасно. Статистична стабільність.

Бібліографія

[1] М. Аш, В. Колер, Г. Папаніколау, М. Постель та Б. Уайт, Частотний вміст випадково розсіяних сигналів, SIAM Rev. 33 (1991), 519-625.

[2] П. Біллінгслі, збіжність імовірнісних показників, Уайлі, Нью-Йорк, 1968.

[3] С. Н. Етьє та Т. Г. Курц, процеси Маркова, Уайлі, Нью-Йорк, 1986.

[4] Ж.-П. Фуке, Г. Папаніколау і К. Р. Сіркар, Похідні фінансові ринки зі стохастичною волатильністю, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

[5] Х. Дж. Кушнер, методи апроксимації та слабкої збіжності для випадкових процесів, MIT Press, Кембридж, 1984.

[6] Х. Куніта, Стохастичні потоки та стохастичні диференціальні рівняння, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.