Статистика математики

1. Проба Колмогорова-Смірнова

Тест Колмогорова-Смірнова - це тест на нормальність. Тобто тест, щоб перевірити, чи розподіл даних є чи майже Гауссовим. Оскільки тести на нормальність є тестами гіпотез, тест Колмогорова-Смірнова є тестом гіпотези.

Тест Колмогорова-Смірнова - це непараметричний тест гіпотези. Він використовується для порівняння функцій розподілу. Цей тест є тест на придатність, тобто він має на меті перевірити, чи спостережувані дані сумісні з даною теоретичною моделлю.

Якщо F (x) - функція розподілу даних, що аналізуються, а Fo (x) - теоретична функція розподілу, можна записати нульову та альтернативну гіпотези:

Ho: F (x) = Fo (x)
H1: F (x) ≠ Fo (x)

Проба Колмогорова - це тест, який порівнює спостережуваний розподіл статистичної вибірки з теоретичним розподілом. Його переважно використовують у тесті на хі-квадрат, коли спостережувана характеристика може приймати безперервні значення.

Проба Колмогорова-Смірнова є продовженням попереднього тесту, тесту Колморова-Смірнова, який порівнює розподіл двох статистичних вибірок. Він заснований на кумулятивна емпірична функція розподілу ECDF або CDF.

Цей тест використовується для визначення, чи слід зразок даний закон (або посилання) відомий своєю функцією безперервного розподілу F (x), або якщо два зразки відповідають одному закону.

2. Розподіл Колмогорова-Смирнова

Розподіл Колмогорова є таким:

α (c) = 1 - 2Σ (-1) s-1 екс
[s = 1, + ∞]

Де рівень значущості α залежить від позитивного реального параметра c.

Ми маємо властивість:

Коли n велике, ця ймовірність не залежить від F.

3. Емпірична функція розподілу

Якщо для вибірки існує n незалежних символів з дійсними значеннями, отриманими під час випадкового експерименту і відповідають випадковій величині X значень x, то емпірична функція розподілу Fn цього зразка визначається кумулятивною функцією наступних частот:

(1) x = сума від 1 до x.

З δ (xi ≤ x) =
1, якщо xi ≤ x
0 в іншому місці

4. Порівняння двох розподілів

4.1. Проба Колмогорова

Для n спостережень (x1,. Xn) випадкової величини X.

Перевірена гіпотеза така:

"Функція розподілу X, позначена F, дорівнює F0" з ризиком помилки α ".

1. Впорядковуємо спостережувані значення x1 ≤ x2 ≤. ≤ xn.

2. Ми визначаємо функцію розподілу як ступінчасту функцію, встановлюючи F (x1) = 1/n, F (x2) = 2/n,. F (xn) = 1

3. Обчислюємо Dobs = max | F (x) - Fn (x) |

4. Програмне забезпечення або таблиця надає критичні (теоретичні) значення Dα такі, що
ймовірність P (max | F (x) - Fn (x) | ≥ Dα) = α

5. Приймається така процедура рішення: Якщо Добс

Використовуйте програмне забезпечення: →

Калькулятор KS: 1 зразок

4.2. Проба Колмогорова-Смірнова: Два зразки

Для n спостережень випадкової величини X та p спостережень випадкової величини Y ми перевіряємо гіпотезу: "Функції розподілу Fx від X і Fy від Y рівні" з ризиком помилки α.

Ми відкидаємо цю гіпотезу, якщо Dobs n1, n2 більше, ніж Dcritical n1, n2 .

Критика n1, n2 подається таблицями або програмним забезпеченням. Для зразків великий розмір, ми маємо:

α	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001
c (α)	1.22	1.36	1.48	1,63	1,73	1.95

Використовуйте програмне забезпечення: →

Калькулятор KS: 2 зразки

5. Приклад

Масу апельсина перевіряють протягом 5 тижнів. Щотижня ми беремо його масу. Ми маємо таку таблицю:

тиждень	1	2	3	4	5
маса (г)	200	190	170	140	100

Чи дотримується помаранчева втрата ваги експоненціального закону ймовірності?

маса (г)	100	140	170	190	200
робочої сили	1	1	1	1	1
сукупна робоча сила	1	2	3	4	5
кумулятивні частоти	0,2	0,4	0,6	0,8	1

а) Для цього експоненціального закону ймовірності нам потрібен його параметр λ і його функція розподілу f (t), які можна знайти тут:
експоненціальний закон.

μ = E (X) = 1/λ = (200 + 190 + 170 + 140 + 100)/5 = 800/5 = 160

---