Сторінки 151 - 196 - Flip PDF Завантажити FlipHTML5
Опис: корисний підручник для студентів та викладачів
Прочитайте текстову версію
Урок 1 Пропорційні відрізки трикутника прямокутника Проблемна ситуація Дідусь має дві ділянки, одну квадратну та одну прямокутну. Hh C Я зробив їх ескіз і позначив h h сторону квадрата, а p і q сторони прямокутника. На моєму ескізі він намалював J A pDp q B прямокутний трикутник і сказав мені, що E I його землі мають рівні площі: так це h2 = p · q. правда? Ми хочемо знати! Який зв’язок між довжинами сторін прямокутних трикутників? Ми пам'ятаємо . Середнє геометричне з двох додатних чисел є квадратним коренем їх добутку. Приклад: şmi 1e8dieasgteeommgetrică2 ? 18 36 6. Середнє геометричне чисел 2 з двох чисел Загалом, додатне число h є додатним m і n, якщо h2 = m ∙ n або h = m ⋅ n. Співвідношення також можна записати у вигляді пропорції: m = h. Hn Звідси інша назва середнього геометричного, а саме пропорційного середнього. Докажемо! Теорема У прямокутному трикутнику висота, що відповідає гіпотенузі, є середнім геометричним значенням висоти відрізків, визначених нею на гіпотенузі. Гіпотеза: Висновок: A ⇒ AH 2 BH ? HC 'ABC, A 900; AH A BC Доказ: B H C ∆ABH
∆CAH (Великобританія). Звідси випливає, що BH = AH, отже AH2 = BH · HC AH HC Взаємність Якщо у трикутнику ABC, де кути B і C гострі, висота в A теореми про висоту є пропорційним середнім значенням відрізків, визначених нею на протилежній стороні, тоді трикутник є прямокутною в А. Гіпотеза: Висновок: A 'ABC; AH A до н.е.; AH 2 BH ? HC ⇒ BAC = 90 ° Доказ: B HC Оскільки AH2 = BH · HC призводить до BH = AH. Ми думаємо критично AH HC і конструктивно! Крім того, AHB ≡ CHA (прямі кути). Виявляється, ∆AHB
∆CHA (L.U.L.). Отже B ≡ CAH, C ≡ BAH. На закінчення BAC = 90 °. Що станеться, якщо точка Н знаходиться в А за межами сторони ВС? Проаналізуйте наступну цифру, а потім дайте відповідь! HB C 152 Навчальна одиниця 8: Метричні співвідношення у прямокутному трикутнику
У попередніх трикутниках ABC було проведено висоту AH трикутника. Точка H - ортогональна проекція точки A на сторону BC. Визначення A Ортогональна проекція точки на пряму d є стопою перпендикуляра, проведеного з цієї точки на прямій. Якщо точка знаходиться праворуч A 'B = B', її проекція збігається з самою точкою. D Ортогональна проекція відрізка на пряму MN CA B E може бути відрізком або точкою. F ’M’ N ’C’ A ’B’ E ’d F Докажемо! Тепер ми можемо сформулювати нову властивість прямокутного трикутника: Теорема У прямокутному трикутнику довжина катета - це середнє геометричне між довжиною катета гіпотенузи та проекцією цього катета на гіпотенузу. Гіпотеза А: Висновок: 'ABC, A 900 ⇒ AB2 BH ? До н.е. c2 a ? m cb AH A BC AC2 CH ? CB b2 a ? n B m n C H a C Доказ: BH = AB. Отже AB2 = BH · BC. E AB BC ∆ABH
∆CBA (Великобританія). Виявляється, Зауважимо! A D Теорема про катети описує взаємозв’язок між відрізками BA, BH та BC, які мають спільний кінець. BH Теорема про ногу стверджує, що квадрат ABDE і прямокутник BHJG з BG = BC, пофарбовані на малюнку праворуч, рівнозначні (вони мають рівні площі). GJ F Взаємна Якщо у трикутнику ABC, у якого кут B гострий, сторона AB - середнє геометричне теореми катету між BC і проекцією сторони AB на сторону BC, то трикутник прямокутний в A. A Гіпотеза: Висновок: BH ∆ABC; AH ⊥ BC ⇒ BAC = 90 ° C AB2 = BH · BC Ми думаємо критично Заповнити на зошиті доказ взаємності теореми про катет. і конструктивний! Навчальна одиниця 8: Метричні співвідношення у прямокутному трикутнику 153
Запропоновані задачі 1 1. Використовуючи як одиницю виміру довжину сторони мережевого квадрата, обчисліть гіпотенузи трикутників нижче. d) f) i) a) h) b) c) e) g) j) 2. Обчисли довжини, позначені буквами для трикутників нижче. x yz 34 3 u 4 2.5 t 30˚ 24 v 3 2 3. Знайдіть довжини сторін AD 6. На сусідньому малюнку AQP трикутників на малюнку ABCQ і QMNP сусіднього CO 3a, залежно від a, є квадратами, що мають B (сторона площа). Це сторона довжини M N G a та 3a відповідно. Обчисліть площу та периметр B HF C чотирикутника 4. Покажіть, що наступні триплети чисел можуть BMOQ. представляє довжини сторін деяких прямокутних трикутників: 7. Визначте довжину d завантажувальної рампи в а) (3, 4, 5); зображення нижче. б) (5, 12, 13); в) (17, 15, 8). 2,5 м д 5. З’ясуйте обчисленням, який із трикутників на 6 м нижче прямокутний. Вкажіть гіпотенузу в кожному випадку. 8. Знайдіть значення x таке, що трикутники внизу - рівнобедрені прямокутники. C 16 A D a) 4 20 12 5 12 16 b) c) BE 13 F 25 J 11 L N 2M d) e) 4 13 1+ 3 3 23 5 KP 156 Навчальна одиниця 8: Метричні співвідношення у прямокутному трикутнику
Урок 3 Постійні співвідношення у прямокутному трикутнику Проблемна ситуація Літак піднімається від землі під кутом 30 ° і рухається на 1000 м. На якій максимальній висоті досягає літак? Що робити, якщо літак 1000 м злітає під кутом 25 ° і проходить таку ж відстань 1000 м? 30˚ Спостерігайте, як літак рухається на відстань 1000 м з різних кутів. 1000 м 100200˚m 103000˚m 1000 м 60˚ 80˚ Ми хочемо знати! Як ми можемо використовувати кути для визначення довжин? Коротке дослідження Що станеться, якщо дистанція запуску літака в 2 рази довша? Що робити, якщо це в 3 рази довше? Але в 4 рази коротше? B a3 a2 C2 C3 Утворіть a210C˚ 1b1 подібні трикутники! b2 b3 A1 A2 A3 ∆BA1C1
∆BA3C3 Результат: b1 = a1, де b1 = b2 b2 a2 a1 a2 b = 1 b = 2 b3 b1 = a1, де b1 = b3 a1 a2 a3 b3 a3 a1 a3 N2 Якщо враховується інший кут, O 35 ˚ M2 отримуємо ще одну серію рівних коефіцієнтів M1, відмінну від першої! Це означає, що існує міра між мірою кута і значенням співвідношення між катетом і гіпотенузою трикутника ...... і значення цього відношення не є A2A4A5 C залежить від прямокутного трикутника A6, в якому ми знаходимося, так само, як міра кута не залежить від форми кут є частиною. Звичайно! Ось ще більш переконлива цифра: B A3A1 A Правильні трикутники на малюнку - два на два (залежно від ситуації (UU). Результат = t b A = 1A2 A3 A4 = A6C a BA1 BA 4 A5C Напишіть пари подібних трикутників для перевірки серія рівних звітів Критичне та конструктивне мислення 158 Навчальна одиниця 8: Метричні відношення у прямокутному трикутнику