Терези - що це за пік CiupaCabra
Я знайшов проблему, описану на зображенні, що додається в Інтернеті. У розділах коментарів було два протилежні рішення. Тож я подумав, що з цього буде справжнім рішенням.
Тож, в принципі, питання було б таке. Припустимо, у нас є дві однакові склянки, наповнені однаковою кількістю тієї ж рідини, скажімо води. У лівій склянці на дно склянки за допомогою шнурка буде прикріплений пінг-понг, а над правою скляною сталевою кулькою такого ж розміру (обсягу), як кулі для пінг-понгу, буде підвішено струну, опускаючи сталеву кулю у воді, як показано на малюнку. Якщо обидва окуляри потрібно розмістити на драбині, з якого боку вони могли б зробити?
Згідно з Інтернетом, будь-яка з наведених нижче відповідей вважається рішенням.
- Ліва сторона нахилятиметься вниз, коли кулі для пінг-понгу та кабель додаватимуть масу ліворуч, коли вони будуть підключені до системи.
- Правий бік нахилявся вниз через плавучість води на сталевих кулях, штовхаючи сталеві кулі вгору і вниз по драбині.
Тепер, яким буде рішення відповідно до фізики?
7 відповідей
Ось безкоштовна діаграма тіла:
Чотири рівняння рівноваги такі
$$ \ begin B_1 - T_1 - m_1 g & = 0 \\ B_2 + T_2 - m_2 g & = 0 \\ F_1 + T_1 - B_1 - M g & = 0 \\ F_2 - B_2 - M g & = 0 \ end $$
де $ \ color $, $ \ color $ - плаваючі сили, $ \ color $, $ \ color - напруга серця, а $ M g $ - вага води, $ m_1 g $ - вага м'яча для пінг-понгу та $ m_2 g $ - вага кульки зі сталі.
Вирішення вищесказаного дає
$$ \ begin F_1 & = (M + m_1) g \\ F_2 & = M g + B_2 \\ T_1 & = B_1 - m_1 g \\ T_2 & = m_2 g - B_2 \ end $$
Отже, справа закінчиться, якщо плавучість сталевої кулі $ B_2 $ буде більшою за вагу кулі для пінг-понгу $ m_1 g $.
Це та сама відповідь, що і @rodrigo, але з діаграмами та рівняннями.
Вага на лівій чаші буде вагою води плюс ваза плюс куля для пінг-понгу (плюс нитка, ігнорується).
Вага на правій посудині буде вагою води плюс ваза плюс плавучість сталевої кульки (плюс плавучість зануреної нитки, ігнорується). Ця плавучість - це маса еквівалентного об'єму води.
Оскільки кулі для пінг-понгу легші за воду, ваги рухатимуться вправо.
Чому вага на чаші прямий? Подивіться так: куля знаходиться в рівновазі, тож сума всіх сил на ній буде дорівнювати 0. Ці сили - це вага, натяг дроту та плавучість. Отже, натяг на дроті становить $ натяг = куля - плавучість $ (очевидно?). А вага на прямій пластині - це сума всіх ваг за мінусом натягу на дроті. Це $ вода + ваза + кулька - напруга $, що те саме, що $ вода + ваза + плавучість $.
Думковий експеримент
Ми можемо дійти до інтуїтивного пояснення без спеціальних знань з фізики. Стратегія полягає у відтворенні обстановки якомога ближче, зберігаючи при цьому дві частини в рівновазі.
Уявіть, що ви починаєте з двох однакових склянок, наповнених однаковою кількістю води, без куль. Поміщений на шкалі, він балансує.
З лівого боку покладіть кулю для пінг-пінгу з застряглою ниткою. Припустимо, дріт і стінки кулі мають незначну вагу. У такому наближенні залишки залишаються збалансованими. (Зрештою, все, що я зробив, це назвати довільну сферу повітря над водою.)
Потім зробіть вигляд, що внизу лівої склянки є спрайт води, який керує лебідкою, затягуючи струну. Знову ж таки, це не впливає на масштаб, оскільки зміна конфігурації лівого судна є автономною. Куля опускається, і рівень води піднімається.
З правого боку опустіть водопроникну кульку, підвішену ниткою. (Робіть вигляд, що стінки кулі мають незначну вагу.) Кулі наповнені водою, яка вже була в мензурці. Знову ж, шкала залишається збалансованою, бо все, що я зробив, названо на честь довільної сфери води.
Припустимо, всередині прямої кулі знаходиться король Мідаса, який перетворює воду на золото, сталь або будь-який щільний матеріал. Це не має значення, адже будь-яка зайва вага ляже на струну, яка підвішує правий м’яч.
Поки що ваги залишаються збалансованими. Але в чому різниця між сценарієм на даний момент і сценарієм у вашому запитанні? Рівень води праворуч не піднімався, коли я опустив пористу планку в пряме скло, як це було б, якби я опустив тверду сталеву кулю.
Тож налийте в потрібну склянку певну кількість води, еквівалентну об’єму сталевого кульки, і ви відтворили конфігурацію! Звичайно, сходи тоді повернули б праворуч.
Я вражений тим, що це для деяких настільки заплутано. Це занадто довго, щоб бути коментарем, тому я даю відповідь. Версія TL; ДР: Правильні відповіді, які говорять про те, що шкала нахилятиметься вправо. Склянка, наповнена водою зі сталевими кульками, підвішеними зверху, важча за склянку, що містить кулі для пінг-понгу, закріплені знизу.
Гіпотези
- Два повітряні кулі однакові. Для цього до тих пір, поки волоски не розділяться, прикріпіть роз’єм до нижньої частини обох повітряних куль. З'єднувач буде використовуватися для закріплення м'яча для пінг-понгу зліва вниз. Нам потрібен той самий роз’єм, який не використовується, праворуч, для виготовлення однакових повітряних куль.
- Два повітряні кулі містять однакову кількість води.
- Кулі для пінг-понгу та сталеві кульки однакового розміру і повністю підвішені у воді.
- Кулі для пінг-понгу менш щільні, ніж вода, тоді як сталеві кулі, звичайно, щільніші за воду.
- Струни мають незначну масу.
- Ваги дуже чутливі і можуть виявити різницю маси на рівні субцентриграми.
Експеримент №1: Пінг-понг, закріплений ліворуч, без сталевої кулі праворуч
Це легко: ліва сторона важча. Просте пояснення - розглянути водні кулі + пінг-понг зліва як систему. Ця система є статичною, тому чиста сила дорівнює нулю. Маса системи - це сума маси води та кулі: $ m_ = m_w + m_b $. Сила тяжіння здійснює силу зниження $ g m_ = g (m_w + m_b) $. Ігноруючи атмосферний тиск, єдиною силою є дно аеростатів на воді. Це має бути прямо протилежно вазі системи вода + куля, щоб мати чисту силу нуля. Таким чином, сила, що передається лівій стороні шкали, становить $ W_l = g (m_f + m_w + m_b) $ де $ m_f $ - маса повітряної кулі. Праворуч це лише маса води та аеростата, тому сила, що передається в праву шкалу, становить $ g (m_f + m_w) $, або $ g m_b $ менше, ніж сила зліва. Впадини вказують ліворуч.
Пам'ятайте, що ми ігнорували сили на струну, плавучість і тиск. Посилання на ці результати дає ту саму відповідь, що і вище, але із значно більшими зусиллями. На кулі діють три сили, сила тяжіння ($ W_b = g m_b $, вниз), плавучість ($ B = g \ rho_w V_b $, вгору) і напруга ($ T $, вниз). М'яч статичний, тому $ T + W_b = B $ або $ T = B-W_b $. На неї діє три сили: сила тяжіння ($ W_w = g m_w $, вниз), третій закон проти плаваючої сили, яку вода надає на кульку ($ B = g \ rho_w V_b $, але тепер спрямована в нижча, ніж вгору) і нижня сила аеростата на воду ($ F_p $ вгору). Чиста сила на воду дорівнює нулю, тому $ F_p = W_w + B $. Силами внизу аеростата є натяг у струні, спрямований вгору, і тиск у воді, спрямований вниз: $ F_f = F_p - T = (W_w + B) - (B-W_b) = W_w + W_b = g ( m_w + m_b) $.
Хтось скаже "але як реакційна сила реагує на плавучість до дна аеростата?" Майте на увазі, що я не посилався на третій закон Ньютона в контексті протидії плаваючій силі, яка в підсумку діяла внизу повітряної кулі. Я використовував статичний аналіз. Пояснення того, як ця сила, можливо, передається на дно аеростата, полягає в тиску. Сила повітряної кулі на воду рівна, але протилежна силі води на повітряній кулі, і це часовий пояс тиску. Наявність кульки піднімає висоту кінчика води на величину, необхідну для покриття об'єму кульки, що збільшує тиск на дні аеростата. Якщо аеростат циліндричний, це досить простий розрахунок: $ \ Delta h = V_b/A $ і так $ \ Delta P = \ rhog \ Delta h A = \ rho g V_b $. Це величина плавучості.
Експеримент № 2: Відсутність м’яча для пінг-понгу зліва, сталевого м’яча, підвішеного праворуч
Вага буде нахилятися вправо. Є простий шлях, складний шлях і складніший шлях для вирішення. Найскладнішим є залучення тиску, і результат буде таким же, як і інші два підходи. Я уникну тиску. Найпростіший спосіб - статичний аналіз. Вода чинить на кульку плаваючу силу, яка діє на воду рівною, але протилежною силою. Вода статична, так що дно аеростата діє на воду сили, яка дорівнює сумі його ваги та величини плаваючої сили: $ W_w + B = g m_w + B $. Додаючи вагу аеростата, ви отримаєте загальну вагу праворуч: $ W_r = g (m_f + m + w) + B $. Зліва у нас є лише вага повітряної кулі та вода. Вага нахиляється вправо.
Експеримент №3: Кулі для пінг-понгу, які стоять на якорі ліворуч, а сталева куля підвішена праворуч
Тепер ми знаємо вагу, зареєстровану колбою + вода + система куль для пінг-понгу зліва, і вагу, зареєстровану системою колб + вода + підвішена сталева кулька справа. Це проста справа порівняння двох: $ W_r - W_l = g (m_f + m + w) + B - g (m_f + m_w + m_b) = B - g m_b $. Оскільки куля для пінг-понгу плаває, $ B> g m_b $, тому шкала нахиляється вниз вправо.
Експеримент №4: Як і в експерименті №2, тепер додайте води з лівого боку
Ми можемо просто додати води до повітряної кулі ліворуч в експерименті №2, щоб збалансувати сходи. Коли ми робимо це, ми бачимо, що баланс збалансований, коли рівень води в двох аеростатах знаходиться на однаковій висоті над дном аеростата. (Це аргумент тиску.) Якщо ми виміряємо кількість доданої води, вона буде рівною за обсягом об’єму кульки. (Це аргумент плавучості).
Експеримент №5: кулі для пінг-понгу, закріплені на лівій кулі, ліві в експерименті №4 праворуч
Оскільки два аеростати в експерименті №4 мають однакову вагу, шкала буде продовжувати нахилятися вправо, як і в експерименті №3. Якщо ми подивимося на два аеростати, то побачимо, що рівень води в них однаковий.
Експеримент №6: м'яч для пінг-понгу, прив'язаний ліворуч, м'яч для пінг-понгу, прив'язаний праворуч
Тут ми замінюємо сталеву кулю в експерименті №3 на подрібнену кулю для пінг-понгу, закріплену знизу. Оскільки плаваюча сила скасовується в системі пінг-понг + вода (див. Експеримент №1), можна подумати, що тест цілим у порівнянні з подрібненим пінг-понгом збалансується. Це не потрібно. Цілі кульки для пінг-понгу важать трохи більше. У ньому близько 4 центів повітря всередині. Це частина вимірювання ліворуч, але не праворуч. Непошкоджена система м'ячів для пінг-понгу трохи складніше. Оскільки наш масштаб є точним до субцентиграм, у цьому експерименті шкала буде нахилятися вниз вліво.
Вищевказане є неправильним. Рівень води буде трохи нижче з боку подрібненої кулі для пінг-понгу. Якщо кулі для пінг-понгу не надуваються до значно вищого тиску, ніж атмосферний, злегка підвищений тиск на стороні подрібненої кулі для пінг-понгу буде більш-менш компенсувати зменшення маси.
Експеримент №7: Замініть сталеву кулю в експерименті №2 на неушкоджену кульку для пінг-понгу
Нарешті, замініть прикріплену до башти струну, яка підвішує сталеву кульку у воді, жорстким стрижнем, прикріпленим до вежі, що змушує занурити кулю для пінг-понгу. Результат буде ідентичним експерименту №2. Плаваюча сила дорівнює об’єму, а не масі. Не має значення, яку кульку ми використовуємо, якщо об’єм залишається незмінним. Вплив на вежу, очевидно, буде іншим, але вежа не є частиною систем, в які ми граємо.
Ну, я зробив це неправильно і вибачився перед тими, кого перекладав.
Це здавалося легко: вода в обох має однакову вагу, тому я думав, що її видалення не матиме значення для балансу. Це було неправильно: видалення води зі склянки з правого боку впливає, наявність підвішеної кулі не додає зайвої ваги, тому правий лоток опускається вниз.
Я провів кілька експериментів, щоб перевірити це, використовуючи пластикову чашку для пиття на чутливій цифровій шкалі зважування, я був обмежений максимальною вагою, яку показувала б вага, загальною кількістю до 200 г, що обмежувало те, як я робив тести. Я сфотографував результати (вибачте за фони, ігноруйте зелену мітку):
Як заключний експеримент, не сфотографований, я помітив рівень води та показники шкали перед тим, як знизити вагу сталі. Опустивши вагу нижче поверхні, я видалив воду назад до того ж рівня. Тож я вийняв витіснену вагою воду, і показання сходів повернулося до початкового. Для мене це показує, що додаткова вага на піддоні, коли масивна маса занурена, дорівнює вазі витісненої води.
Це призводить до простого пояснення, чому прямий ухил зменшується. Вийміть сталеві кульки і уявіть, як вони залишають у воді отвір точно такого ж розміру, що і кулька, так що загальний рівень водної поверхні буде таким, яким він був із зануреною кулею. Уявіть, цей отвір заповнений зайвою водою: тоді сили на сферичній водяній щітці, яка замінила кульку, точно такі ж, як і сили, що діяли на підвішені кулі. Для мене це показує, що наявність кулі додає ваги, рівної вазі обсягу витісненої води.
Це також показує, що єдине, що має значення для підвішеного об’єкта, - це його об’єм і що він щільніший за воду. Його вага і форма несуттєві (якщо вони не містять зайвого повітря, оскільки вони опускаються нижче поверхні).
Зараз я усвідомлюю, що щось дуже подібне було сказано їм у згаданих коментарях та відповідях, і хоча я опинився на самоті, я ціную та визнаю їх попередні знання.