Випадкові величини, розподіли ймовірностей • Maths-Brinkmann

В останній статті «Комбінаторика» ми розглядали впорядковані та невпорядковані зразки із заміною та без неї. У цьому дописі ми про це дізнаємось Знати формули випадкових величин, розподіли ймовірностей, очікуване значення. Тож ви можете z. Б. в Ігрові заяви про очікуваний прибуток або збиток робити. На багатьох прикладах.

Дві кістки (одна синя і одна зелена) кидаються разом 400 разів.
Частоти для окремих результатів наведені в таблиці.
Кожній з пар чисел (1 | 1) ... (6 | 6) може бути призначена сума їх чисел.

Відносні частоти сум очей слід порівнювати з ймовірністю їх появи.
Цей факт слід відобразити в таблиці та гістограмі.

Відносні частоти для окремих сум очей, як правило, не сильно відхиляються від розрахованих ймовірностей. Обов’язковою умовою є, відповідно, велика кількість спроб.

Визначення випадкової величини:

Таблиця значень випадкової величини для кидання двох кубиків, кількість яких додається.

Якщо при киданні двох кубиків кожному результату присвоюється загальна сума, створюється випадкова величина X.
Якщо кожній величині цих випадкових величин присвоїти свою ймовірність, виходить розподіл ймовірностей (функція ймовірності). Розподіл ймовірностей або розподіл випадкової величини може бути представлений таблицею та гістограмою.

Визначення розподілу ймовірностей

Функціональна ілюстрація, наприклад, кидання двох кубиків, загальна кількість яких утворюється.

За допомогою ймовірності хотілося б z. Б. робити заяви про очікуваний прибуток чи збиток в азартних іграх. Виникає питання: якого прибутку можна очікувати за гру, якщо грати частіше?

Приклад:

Щоб проілюструвати це, давайте ще раз подивимось на суму двох кубиків.
Це можна перетворити на азартну гру, встановивши таке правило:

Правило:

Загальна сума, досягнута одним кидком, виплачується в євро.

Звичайно, оператор гри повинен думати про те, наскільки висока ставка в грі повинна бути, щоб він не зазнав втрат.
Для цього він повинен знати, яку суму він повинен виплачувати в середньому за гру за велику кількість ігор. Принаймні ставка повинна бути такою високою.

Подібно до усереднення з розподілу частоти в описовій статистиці, можна сформувати величину, помноживши суми виплат на їх імовірності.

Ми називаємо це значення очікуваним значенням .

Для нашого прикладу значення 7 означає, що за великої кількості ігор в середньому потрібно виплатити 7 € за гру.

Оператор гри Отже, він повинен вимагати принаймні 7 євро за гру, щоб він не зазнав збитків.
Суми виплат або виплат відповідають випадковим величинам
Х зі значеннями: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

А тепер давайте розглянемо гру з точки зору гравця, який повинен заплатити 7 євро за гру.
Для нього прибуток розраховується таким чином:
Прибуток = виплата - ставка.
Тепер прибуток відповідає випадковій величині, яку ми називаємо Y, тобто
Y зі значеннями: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
Це означає, що тепер можна визначити очікуване значення прибутку.

Очікуване значення перемоги - 0. Це означає, що в довгостроковій перспективі гравець нічого не виграє. Але він теж нічого не втрачає. Шанси рівні.

Формула: очікуване значення X

Примітка:

Є E (X)

> 0, саме так гру називають сприятливою для гравця.
= 0, саме так гру називають чесною .
несприятливий (несправедливий) для гравця.

Коментарі щодо очікуваної вартості:

Очікуване значення - це очікуване середнє значення X у серії випадкових спроб.
У той час як середнє значення - величина з описової статистики - відноситься до минулого, тобто до значень, які насправді відбулися у вибірці, очікуване значення описує величину, яка відноситься до майбутнього, тобто до величини, з якою можна очікувати в довгостроковій перспективі.

Як і середнє значення, очікуване значення у багатьох випадках не є одним із значень, яке може прийняти випадкова величина X.

Приклад та вправи

На шкільному подвір’ї професійно-технічного коледжу час від часу відбуваються цікаві азартні ігри, незважаючи на заборону.
Правила гри:
Ставка за гру складає 2 євро.
Гравець спочатку ставить одне з чисел 1, 2, 3, ..., 6.
Потім він тричі кидає кубик.
Якщо ставлене число падає

ні, ставка втрачена.
одного разу він повертає свою частку.
двічі він отримує подвійну ставку.
тричі, він отримує втричі більшу ставку.

Мабуть, найважливіше питання, яке виникає в цій грі, - це питання перспективи перемоги. Це те, що хочуть знати всі студенти, і ті, хто грає, і ті, хто має банк. Відповісти на це питання можна за допомогою теорії ймовірностей.
Випадкова величина X - це чистий прибуток, тобто сума, яку потрібно виплатити гравцеві за мінусом ставки в розмірі 2 євро.

За допомогою трирівневої діаграми дерева та правила шляху можна розрахувати ймовірність прибутку чи збитку.
Застосовується таке: G = прибуток, V = збиток.

Для розрахунку перспектив прибутку множать значення випадкових величин на пов'язані з ними ймовірності та додають результати:

Розрахована кількість -1 говорить про те, що в довгостроковій перспективі, тобто при багатьох повтореннях гри, для гравця можна очікувати втрати в розмірі 1 євро за гру.
Звичайно, банк збирає цю суму.
З цієї причини гру також називають нечесною, оскільки прибуток і збитки не збалансовані в довгостроковій перспективі.
Прибуток та збитки були б збалансовані із середнім значенням 0. Тоді це була б чесна гра. Цього можна досягти, наприклад, шляхом збільшення прибутку.

Вправа 1:

Очікуване значення для представленої вище гри в кістки було E (X) = -1.
Тож гра несправедлива.
Наскільки високими були б ставки, щоб гру можна було назвати чесною?
Виплачені суми залишаються незмінними:
Якщо ставлене число падає

ні, виплата становить 0 євро.
один раз виплата становить € 2.
двічі виплата складає 4 євро.
три рази виплата складає 6 євро.

Вправа 2:

Кожен квиток виграє !
На церемонії вручення дипломів кожному з 50 учасників необхідно придбати квиток.
Перший приз має вартість 100 €, другий 25 € та третій 10 €.
Той, хто не отримає жодного з цих призів, отримає втішний приз у розмірі 1 євро.
Наскільки дорогим повинен бути квиток, щоб доходи та витрати відповідали?
Кожна партія продається за € 5.
Виручка надходить у Фріденсдорф. Наскільки великими є доходи?
Рішення нижче

Вправа 3:

Урна містить червону, чорну та зелену кулі.
Куля малюється без її заміни, поки не з’явиться зелена кулька.
Якщо зелена кулька в

Якщо зроблено перший хід, виплата складає 2 євро.
2. Витягніть ход, виплата складає 1 євро.
3-й хід розіграно, виплата становить 0 €.

Наскільки високою повинна бути ставка, щоб це була чесна гра?
Рішення нижче

рішення

Вправа 1:

ні, виплата становить 0 євро.
один раз виплата складає 2 євро.
двічі виплата складає 4 євро. три рази виплата складає 6 євро.

Рішення:

Гра чесна, якщо в довгостроковій перспективі розігрується рівно стільки, скільки прийнято.
Для цього ми обчислюємо очікуване значення виплат.
E (X) = 1 означає, що в середньому € 1 за гру буде виплачено протягом тривалого періоду.
При ставці 1 € за гру, гра чесна.

Вправа 2: Кожен квиток виграє!

На церемонії вручення дипломів кожному з 50 учасників необхідно придбати квиток.
Перший приз має вартість 100 €, другий 25 € та третій 10 €.
Той, хто не отримає жодного з цих призів, отримає втішний приз у розмірі 1 євро.
Наскільки дорогим повинен бути квиток, щоб доходи та витрати відповідали?
Кожна партія продається за € 5.
Виручка надходить у Фріденсдорф. Наскільки великими є доходи?
Рішення: Розраховується очікуване значення:
E (X) = 3,64 означає, що кожна партія повинна коштувати 3,65 євро для покриття витрат.
При ціні квитка 5 євро та 50 проданих квитків прибуток 50 (5 - 3,64) = 68 євро
Ця сума надходить у Фріденсдорф.

Вправа 3:

Урна містить червону, чорну та зелену кулі.
Куля малюється без її заміни, поки не з’явиться зелена кулька.
Якщо зелена кулька в
Якщо зроблено перший хід, виплата складає 2 євро.
2. Витягніть ход, виплата складає 1 євро.
3-й хід розіграно, виплата становить 0 €.
Наскільки високою повинна бути ставка, щоб це була чесна гра?
Рішення: За допомогою трирівневої діаграми дерева та правила шляху ви можете розрахувати ймовірності витягування зеленої кулі.

Очікуване значення виплати - E (X) = 1.
Якщо це чесна гра, ставка також повинна становити 1 євро.