Затухаючий гармонічний генератор, затухаючі вільні коливання-Вступ
Завдання цього ресурсу - запропонувати вправи, пов’язані з вивченням фізичних систем механічного, електричного або мікроскопічного типу, які поводяться як вільно затухаючі генератори та описані моделлю гашеного гармонічного генератора.
Знання того, як визначити коливальну фізичну систему.
Знати модель демпфірованого гармонічного генератора.
Знати, як розв’язувати диференціальні рівняння другого порядку, лінійні, з постійними коефіцієнтами, без другого члена.
Знати, як покласти в рівняння різні коливальні фізичні системи.
Знати, як застосувати модель затухаючого гармонічного генератора до вивчення таких систем.
Знати, як визначати та інтерпретувати реакції цих систем, беручи до уваги характерні параметри та початкові умови, а також для різних збуджень.
Знати, як вивчати енергію таких систем.
Очікуваний час роботи: 150 хвилин
При дослідженні вільних гармонійних коливальних систем з одним ступенем свободи фізична величина, що описує еволюцію системи, є функцією часу. Відзначається, може представляти позицію, інтенсивність, різницю потенціалів тощо.
Ця величина задовольняє лінійне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами без другого члена.
У разі вільних затухаючих коливань диференціальне рівняння записується у приведеному вигляді:
або
де позначає коефіцієнт демпфування та власну пульсацію генератора (замість цього іноді використовують позначення).
Зменшений дискримінант пов'язаного з ним характеристичного рівняння може бути додатним, нульовим або від'ємним. Розчин і коливальний режим приймають різні форми:
Форма розчину
: справжні коріння
: подвійний корінь
: сполучені складні корені
з
(псевдо-пульсація)
Ці результати виводяться з роздільної здатності диференціального рівняння типу (пор. Ресурс "Лінійні диференціальні рівняння 1-го та 2-го порядку з постійними коефіцієнтами"), зазначаючи, що "фізичне" рівняння є рівнянням цього типу, коефіцієнтів, що відповідає
Скорочений дискримінант добре написаний:
Константи або визначаються з використанням початкових умов фізичної задачі: і
Загальна енергія демпфірованого гармонічного генератора з часом зменшується.
Затухаючий гармонійний генератор характеризується коефіцієнтом якості:
(запитуючи)
У випадку псевдоперіодичного режиму відгук генератора характеризується псевдоперіодом і логарифмічним декрементом