Динамічні системи зі складною поведінковою структурою Гомоклініка
Співпраця: С. Гонченко (Інститут прикладної математики та кібернетики, Нижній Новгород, Росія), Л. Лерман (Інститут математики ФУ Берлін)
Фінансування: пріоритетна програма DFG "Ергодична теорія, аналіз та ефективне моделювання динамічних систем"
Опис дослідницької роботи:
Дослідження гомоклінічних роздвоєнь забезпечує унікальний інструмент для розуміння нелокальних динамічних явищ. Знання структури певного (як правило, скінченного) набору виділених траєкторій (наприклад, періодичних орбіт, до яких існує гомоклінічна траєкторія та точок рівноваги з гомоклінічною петлею) дозволяє всебічно описати складну динамічну поведінку.
У звітному періоді проводились розслідування з наступних тем.
1. Біфуркація синього неба. У 1995 р. Д. Тураєв та Л. Шильников довели новий тип біфуркації для періодичних розв’язків ([1]): У сукупності всіх плавних тривимірних річок є поверхня ковимірності 1, яка складається з точок біфуркації (біфуркація блакитного неба)
існує і має властивість, що при наближенні до цієї поверхні період і довжина чудового періодичного розчину стають нескінченно великими. Цей результат був доведений на підставі того, що річки плавні. Зараз було показано, що для цього достатньо плавності C 2 ([2]). Цей результат має особливе значення з точки зору зведення динамічних систем до нелокальних інваріантних багатовиробництв (наприклад, інерціальних різноманітностей), оскільки в цьому процесі системи втрачають свою початкову плавність ([3, 4]).
Результати роботи [1] можна розширити, показавши, що геометрична побудова, використана в роботі [5], природно зустрічається в класі динамічних систем із швидкими та повільними змінними, що важливо для додатків (через поведінку стрибків між різні типи повільних колекторів).
2. Кодименсія 2 біфуркації гомоклінічних петель. Відомо, що в загальних умовах періодичний розчин відходить від гомоклінічної петлі сідлової точки. Порушення цих загальних умов призводить до біфуркацій коразмірності 2. Вирішено раніше відкриту проблему, чи відомі сценарії біфуркації кодименсії 2. Можна показати, що крім відомих сценаріїв біфуркації
більше не може дати ([5]).
3. Самолокалізовані рішення із систем Гамільтона. У системах звичайних диференціальних рівнянь самолокалізовані рішення представляють гомоклінічні петлі.Біфуркації гомоклінічних петель в системах Гамільтона в основному не вивчені. Щодо існування N-імпульсів у системах Гамільтона було показано, що порушення загальних умов у роботі [6], як вони є, наприклад, Б. виникає в біфуркації фліп орбіти в системах Гамільтона, призводить до існування нескінченної кількості N імпульсів. Набір цих рішень був повністю описаний мовою символічної динаміки, і в цьому контексті була представлена роль спеціальних негомоклінічних рішень (наприклад, періодичних та гетероклінічних рішень). Показано, що існування надгомоклінічних розчинів (вони представляють гомоклінічні орбіти до гомоклінічних орбіт) суттєво збільшує складність динаміки ([7]).
Для сингулярно порушених систем Гамільтона досліджено явище експоненціально малої розділювальної матриці. Отримані результати можуть бути використані для опису імпульсних розчинів у різних фізичних системах (наприклад, на мілководних хвилях) ([8]).
4. Динаміка в нових будинках. Комп’ютерне моделювання хаотичних систем завжди показує появу гомоклінічних контактів, тобто H. незмінні різновиди сідлоподібних періодичних рішень торкаються одне одного. Ньюхаус показав, що системи з гомоклінічними контактами є щільними в певних зонах простору всіх динамічних систем. У [9] детально показано, що повний опис динаміки систем в районах Ньюхауса в принципі неможливий.
Однією з головних властивостей гомоклінічних контактів є одночасне виникнення періодичних розчинів з топологічно різною поведінкою. Це явище також демонструється для районів Ньюхауса в системах Гамільтона ([10, 11, 12]).
Проектна література: