Гармонічні коливання - Фізика Абітура

Дослід: пружинний маятник

Вага (помаранчева коробка) висить на пружині. Якщо його потягнути вниз, а потім відпустити, він починає гойдатися вгору-вниз.

коливання

Ліворуч: Вібрація з тертям
Вібрація втрачає енергію через тертя, тому вага коливається все ближче і ближче до положення відпочинку і, нарешті, перестає вібрувати.

Правильно: Вібрація без тертя
Вага рівномірно коливається навколо положення відпочинку.

Спочатку ми розберемося з вібрацією без тертя. Для отримання додаткової інформації про вібрацію з тертям див.

Загальне визначення вібрації

Вібрація (також відома як коливання) описує хід зміни стану, коли система виходить із стабільної рівноваги внаслідок порушення і відштовхується назад до початкового стану відновлюючою силою. [. ]

Нанесення на пружинний маятник

Ліворуч: Стійка рівновага
Сила розтягування пружини (вгору) і прискорення за рахунок сили тяжіння (вниз) врівноважують одне одного. Коробка не рухається.

Правильно: Порушення та сила відштовхування
Якщо вага виведений з рівноваги через порушення (наприклад, тягнуть рукою), виникає дисбаланс сил між силою розтягування пружини та прискоренням сили тяжіння.
Отримана загальна сила, що діє на вагу, називається сила відштовхування згадується, оскільки він "намагається" "загнати" вагу назад у вихідне положення.

Загальне визначення вібрації (продовження)

[. ] В основному коливання системи засноване на періодичному перетворенні енергії між двома формами енергії. Система проходить через початковий стан неодноразово через фіксований інтервал часу.

Нанесення на пружинний маятник

Щоб точніше пояснити коливання пружинного маятника, розглянемо швидкість необхідна вага.

Помітно наступне:

При максимальному відхиленні
Швидкість ваги мінімальна (\ (0 м/с \)). Відновлююча сила максимальна.

При проходженні положення відпочинку
Відновлююча сила мінімальна (\ (0 Н \), оскільки сила пружини та сила ваги врівноважують одна одну). Швидкість максимальна.
Вага рухається через його поодинці інерційність продовжувати.

Висновок
Існує перетворення енергії між потенційною енергією пружини та кінетичною енергією ваги.

Відновлююча сила

Сила, яка виникає при деформації пружини, була відома ще із середньої школи. Це є:
$$ F = - D \ cdot s $$

Положення для відпочинку
\ (F_ = F_G + F_ = F_G - D \ cdot s_1 = 0 \)

Розлад
\ (F_ = F_G + F_ = \ підзагрузка> - D \ cdot s_2 = - D \ cdot s_2 \)

Вібраційне диференціальне рівняння

За допомогою формул \ (F = m \ cdot a \) та \ (a = \ ddot \) (прискорення є другою похідною шляху) отримують таке диференціальне рівняння:
\ begin F_ & = - D \ cdot s \\ m \ cdot a & = - D \ cdot s \\ m \ cdot \ ddot & = - D \ cdot s \ end Як це рівняння можна вирішити, тут не показано описані більш докладно.

Рівняння вібрації

Розв'язуючи диференціальне рівняння, отримується рівняння коливань: $$ s (t) = s_0 \ cdot \ sin (2 \ pi f t + \ phi_0) $$

  • амплітуда
    Амплітуда \ (s_0 \) описує максимальне відхилення коливання.
  • Тривалість періоду (період коливань)
    Період - це час, що минає, коли коливальна система проходить рівно один період коливань, тобто після закінчення якого вона знову знаходиться в тому ж стані коливань. Взаємною величиною періоду \ (T \) є частота \ (f \), отже: \ (f = \ frac \).
  • частота
    Частота \ (f \) вказує на кількість повних коливань за одиницю часу і вимірюється згідно німецького фізика Генріха Герца в Герцах (\ (Гц = \ dfrac \)).
  • Фазовий кут
    Фазовий кут \ (\ phi_0 \) вказує, на якій фазі починається коливання. Фазовий кут \ (\ phi_0 = 2 \ cdot \ pi \) відповідає зсуву на один період.
    При фазовому куті \ (\ phi_0 = \ frac \ cdot 2 \ cdot \ pi = \ frac \ cdot \ pi \) коливання зміщуються на чверть періоду. (Тобто весняний маятник починався б зверху)

приклад 1:
\ (s_0 = 2 м \), \ (f = \ frac Гц \) та \ (\ phi_0 = 0 \)

Період $$ T = \ dfrac = \ dfrac Гц> = 10 с $$

Кутова частота

Коливання також можна розуміти як проекцію кругового руху.

Кутова швидкість \ (\ omega \) такого руху вже відома з проміжного рівня: $$ \ omega = 2 \ pi f $$ Це відповідає куту в секунду, який проходить синій вказівник.

В анімації ліворуч вага коливається з частотою \ (f = 0,25 Гц \), отже, кутова швидкість: $$ \ omega = 2 \ pi f = 2 \ pi \ cdot 0,25 Гц = \ dfrac \ pi Гц $ $ Однак для вібрацій \ (\ omega \) використовується як Кутова частота призначений.

Рівняння коливань тепер: $$ s (t) = s_0 \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi_0) $$

Приклад 2:
\ (s_0 = 5 м \), \ (\ omega = \ frac \ pi Гц \) та \ (\ phi_0 = \ frac \ cdot 2 \ cdot \ pi = \ frac \ cdot \ pi \)

Частота $$ f = \ dfrac = \ dfrac \ pi Гц> = \ dfrac Гц $$ Тривалість періоду $$ T = \ dfrac = \ dfrac Гц> = 4 с $$

Швидкість і прискорення

Функція швидкості зміщується вліво на \ (\ frac \ pi \) порівняно з функцією коливань.
Функція прискорення зміщується вліво на \ (1 \ pi \) порівняно з функцією коливань.