Як я можу визначити нулі квадратних функцій

За темами лінійних та квадратних функцій

У цій публікації пояснюється, скільки коренів має квадратна функція та як її можна обчислити. Тут ви знайдете два розділи. Перший пояснює, скільки нулів має квадратична функція, а другий - рішення квадратних рівнянь за допомогою формули p-q або abc, за допомогою якої можна обчислити нулі квадратних функцій.

Трохи введення

Нулі - важливі точки у функції. Вони відіграють важливу роль, особливо на прикладах застосування, оскільки відзначають видатні моменти. Наприклад, якщо метання м’яча моделюється за допомогою квадратної функції, один із нулів позначає точку, в якій він потрапляє на землю. Якщо міст змодельовано за допомогою квадратної функції, це вказує на точку, в якій міст торкається землі.

Квадратична функція може мати один, два або взагалі не мати нулів. Це можна проілюструвати графічно.

Якщо квадратна функція має лише один нуль, графік функції може перетинати вісь х лише один раз. Це лише в тому випадку, якщо вершина параболи лежить на осі х. Таким чином, вершина функції відповідає нулю функції.

Якщо квадратна функція має два нулі, парабола двічі перетинає вісь х. Це якраз той випадок, коли вершина параболи, що відкривається вгору, лежить нижче осі х або вершина параболи, що відкривається вниз, лежить над віссю х.

Якщо квадратна функція не має нуля, парабола взагалі не перетинає вісь х. Це якраз той випадок, коли вершина параболи, що відкривається вгору, лежить над віссю х, а вершина параболи, що відкривається вниз, лежить під віссю х.

Оскільки значення функції параболи збільшується (при параболах, що відкриваються вгору), або зменшується (при параболах, що відкриваються вниз) в обох напрямках х від вершини, не може бути більше двох нулів. Оскільки при третьому нулі значення функції в якийсь момент повинні були б знову зменшитися (при розкритих параболах вгору) або збільшитися (при розкритих параболах вниз).

Нуль описує точку, в якій значення функції приймає хто нуль. Отже, ви можете обчислити його, якщо вирішити рівняння \ (f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 \) для x. Для розв’язання цього рівняння існує дві формули, які p-q- та формула abc (його часто називають Формула опівночі призначений). Немає значення, який із них використовується, оскільки вони обидва призводять до одного результату. Тому ви можете вибрати, які з них вам більше подобаються, або які ви вже знаєте зі школи.

І для p-q, і для формули abc спочатку ви знайдете розгорнутий текст, який пояснює виведення цієї формули. Тут ви можете дізнатися, звідки береться формула і чому вона насправді працює. Потім ви знайдете три розгорнуті тексти, які пояснюють застосування формули на різних прикладах, включаючи відеоролик You-Tube на ту саму тему. Виберіть форму пояснення, яка вам більше подобається.

Розрахунок нуля (-ів) квадратної функції за допомогою формули p-q:

Якщо для \ (x \) потрібно вирішити квадратне рівняння виду \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), можна використовувати формулу p-q. Це можна отримати, вирішивши наведене вище рівняння для \ (x \). Для цього ви використовуєте квадратне розширення.

1-й крок: Рівняння доповнюється квадратом, так що біноміал виду \ (\ лівий (х + \ frac

\ праворуч ^ 2 = x ^ 2 + px + \ ліворуч (\ frac

\ праворуч) ^ 2 \) генерується.

2-й крок: Двочлен генерується за допомогою біномних формул.

3-й крок: Рівняння розв'язується для \ (x \).

Пояснювальні тексти

Ви можете знайти три різні приклади для обчислення нулів квадратних функцій за такими розкладними текстами:

Якщо ви хочете обчислити нулі квадратичної функції \ (f (x) = - 3x ^ 2-6x-3 \), спочатку встановіть рівняння функції, рівне нулю, \ (f (x) = 0 \).

Тому має застосовуватися наступне: \ (- 3x ^ 2-6x-3 = 0 \)

Формула p-q має вигляд: \ (x _ = - \ left (> \ right) \ pm \ sqrt \ right) ^ 2-q> \) і вирішує квадратні рівняння виду \ (x ^ 2 + px + q \).

Для того, щоб мати можливість використовувати формулу pq, квадратне рівняння має мати вигляд \ (f (x) = x ^ 2 + px + q \), тобто префактор \ (a = 1 \) перед \ (x ^ 2 \) мати. Для цього спочатку ділимо рівняння на префактор \ (a = -3 \)

Тепер рівняння має бажаний вигляд і застосовуються \ (p = 2 \) та \ (q = 1 \). Якщо ми зараз вставимо у формулу p-q, то отримаємо:

Отже, корінь функції \ (f \) знаходиться в положеннях \ (x_1 = x_2 = -1 \). Зразок підтверджує результат:

Оскільки функція має лише один корінь, вершина також повинна знаходитися в точці \ (x = -1 \).

Якщо потрібно обчислити нулі квадратної функції \ (f (x) = x ^ 2 + 4x + 3 \), спочатку встановлюється рівняння функції, рівне нулю, \ (f (x) = 0 \).

Отже, має застосовуватися наступне: \ (x ^ 2 + 4x + 3 = 0 \)

Формула p-q має вигляд: \ (x _ = - \ left (> \ right) \ pm \ sqrt> \ right) ^ 2-q> \) і розв'язує квадратні рівняння виду \ (x ^ 2 + px + q \).

Для того, щоб мати можливість використовувати формулу pq, квадратне рівняння має мати вигляд \ (f (x) = x ^ 2 + px + q \), тобто префактор \ (a = 1 \) перед \ (x ^ 2 \) мають, що тут має місце. Отже: \ (p = 4 \) та \ (q = 3 \)

Якщо ми зараз вставимо у формулу p-q, то отримаємо:

Отже, нуль функції \ (f \) знаходиться в положеннях \ (x_1 = -1 \) та \ (x_2 = -3 \). Зразок підтверджує результат:

Якщо потрібно обчислити нулі квадратної функції \ (f (x) = 2x ^ 2-8x + 14 \), спочатку встановлюється рівняння функції, рівне нулю, \ (f (x) = 0 \).

Тому має застосовуватися наступне: \ (2x ^ 2-8x + 14 = 0 \)

Формула p-q має вигляд: \ (x _ = - \ left (> \ right) \ pm \ sqrt> \ right) ^ 2-q> \) і розв'язує квадратні рівняння виду \ (x ^ 2 + px + q \).

Не існує реального рішення для \ (x_ \), оскільки корінь від'ємного числа не може бути витягнуто з дійсного. Це означає, що функція не має нуля.

Пояснювальні відео

І ще одна математична пісня, щоб ніколи не забувати привабливу фразу:

Розрахунок нуля (-ів) квадратної функції за допомогою формули abc:

Якщо для \ (x \) потрібно вирішити квадратне рівняння виду \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \), можна використовувати формулу abc. Це можна отримати, вирішивши наведене вище рівняння для \ (x \). Для цього ви використовуєте квадратне розширення.

1-й крок: Спочатку коефіцієнт \ (a \) перед \ (x ^ 2 \) усувається діленням рівняння на \ (a \).

2-й крок: Рівняння доповнюється квадратом, так що біноміал виду \ (\ ліворуч (x + \ frac\ праворуч ^ 2 = x ^ 2 +> \ cdot + \ ліворуч (\ frac\ праворуч) ^ 2 \) генерується.

3-й крок: Двочлен генерується за допомогою біномних формул.

4-й крок: Рівняння розв'язується для \ (x \).

Пояснювальні тексти

Ви можете знайти три різні приклади для обчислення нулів квадратних функцій за такими розкладними текстами:

Якщо ви хочете обчислити нулі квадратичної функції \ (f (x) = - 3x ^ 2-6x-3 \), спочатку встановіть рівняння функції, рівне нулю, \ (f (x) = 0 \).

Тому має застосовуватися наступне: \ (- 3x ^ 2-6x-3 = 0 \)

Формула abc має форму: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) і вирішує квадратні рівняння виду \ (ax ^ 2 + bx + c \).

У цьому випадку застосовуються \ (a = -3 \), \ (b = -6 \) та \ (c = -3 \). Вставляється у формулу abc, а потім виводиться:

Зразок підтверджує результат:

Оскільки функція має лише один корінь, вершина також повинна знаходитися в точці \ (x = -1 \).

Якщо ви хочете обчислити нулі квадратної функції \ (f (x) = x ^ 2 + 4x + 3 \), ви спочатку встановлюєте рівняння функції, рівне нулю, \ (f (x) = 0 \).

Отже, має застосовуватися наступне: \ (x ^ 2 + 4x + 3 = 0 \)

Формула abc має форму: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) і вирішує квадратні рівняння виду \ (ax ^ 2 + bx + c \).

У цьому випадку застосовуються \ (a = 1 \), \ (b = 4 \) та \ (c = 3 \). Вставлений у формулу abc, результат:

Це призводить до \ (x_1 = \ frac = -1 \) та \ (x_2 = \ frac = -3 \) для нулів. Зразок підтверджує результат:

Якщо потрібно обчислити нулі квадратної функції \ (f (x) = 2x ^ 2-8x + 14 \), спочатку встановлюється рівняння функції, рівне нулю, \ (f (x) = 0 \).

Тому має застосовуватися наступне: \ (2x ^ 2-8x + 14 = 0 \)

Формула abc: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) і розв'язує квадратні рівняння виду \ (ax ^ 2 + bx + c \).

У цьому випадку застосовуються \ (a = 2 \), \ (b = -8 \) та \ (c = 14 \). Вставляється у формулу abc, а потім виводиться:

Оскільки негативний корінь не має рішення в реальному світі, функція \ (f \) не має кореня.

Пояснювальні відео

І ще одна математична пісня, щоб ніколи не забувати привабливу фразу:

Найважливіші речі з першого погляду

Перша вправа

Тепер ти сам можеш стати активним. Розв’яжіть принаймні два з наступних завдань. Якщо ви ще не можете цього зробити, це добре. Подивіться уважно на зразок розчину. У розділі "Практика робить досконалим" ви маєте ще більше можливостей потренуватися у цілому.

Завдання 1

Обчислити корінь (и) функцій

а) \ (f_1 (x) = 2x ^ 2-8 \)

б) \ (f_2 (x) = \ fracx ^ 2-x + \ frac \)

в) \ (f_3 (x) = 6x ^ 2-12x \)

г) \ (f_4 (x) = x ^ 2-4x-5 \)

вправа 2

Розв’яжіть такі рівняння.

а) \ (7x ^ 2 + 3x = -5 \)

б) \ (2x ^ 2 = 4-8x \)

в) \ (4 (x ^ 2-1) = 4x + 4 \)

Завдання 3

а) Накресліть квадратну функцію з нулем, одним або двома нулями. Чим вони виділяються?

б) Без розрахунку вирішуйте, чи мають наступні функції один, два чи ні нулів.

Рішення 1

а) Нулі знаходяться в \ (x _ = \ pm2 \). Щоб визначити нулі, спочатку встановимо функцію на нуль:

\ (f_1 (x) = 2x ^ 2-8 = 0 \)

Нулі тепер можна визначити за допомогою простих перетворень еквівалентності, p-q або формули abc.

Прості еквівалентні перетворення:

\ (\ leftrightarrow \) \ (2x ^ 2 = 8 \) | \ (+ 8 \)

\ (\ leftrightarrow \) \ (x ^ 2 = 4 \) | \ (: 2 \)

Це призводить до \ (x_1 = 2 \) та \ (x_2 = -2 \)

p-q формула:

Це призводить до \ (x_1 = 2 \) та \ (x_2 = -2 \)

формула abc:

Це призводить до \ (x_1 = 2 \) та \ (x_2 = -2 \)

б) Функція не має нуля. Щоб визначити це, спочатку встановимо функцію на нуль:

Рівняння можна розв’язати за допомогою формули p-q або abc.

p-q формула:

Оскільки корінь від’ємного числа не має розв’язку в реальному вираженні, рівняння не має розв’язку, а отже, функція не має нуля.

формула abc:

Оскільки корінь від’ємного числа не має розв’язку в реальному вираженні, рівняння не має розв’язку, а отже, функція не має нуля.

в) Нулі дорівнюють \ (x_1 = 0 \) та \ (x_2 = 2 \). Щоб визначити нулі, спочатку встановимо функцію на нуль:

Нулі тепер можна визначити за допомогою простих перетворень еквівалентності, p-q або формули abc.

Прості еквівалентні перетворення:

\ (\ leftrightarrow \) \ (x ^ 2-2x = 0 \) | Без \ (x \)

Твір дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли один із двох факторів дорівнює нулю. Твір \ (\ cdot \) тоді дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли \ (x_1 = 0 \) або \ ((x_2-2) = 0 \) \ (\ leftrightarrow \) \ (x_2 = 2 \)

p-q формула:

Це означає, що \ (x_1 = 1-1 = 0 \) та \ (x_2 = 1 + 1 = 2 \)

формула abc:

г) Щоб визначити нуль (и), спочатку встановимо функцію на нуль:

p-q формула:

Це означає, що \ (x_1 = 2 + 3 = 5 \) та \ (x_2 = 2-3 = -1 \)

формула abc:

Рішення 2

а) Спочатку рівняння виводиться у форму \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) та \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), а потім розв'язується за формулою abc або p-q.

\ (7x ^ 2 + 3x = -5 \) | \ (+ 5 \)

Рішення за формулою p-q:

Квадратне рівняння не має реального рішення.

Рішення за формулою abc:

Квадратне рівняння не має реального рішення.

б) Спочатку рівняння виводиться у форму \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) та \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), а потім розв'язується за формулою abc або p-q.

\ (2x ^ 2 = 4-8x \) | \ (- 3 \)

\ (\ leftrightarrow \) \ (2x ^ 2-4 = -8x \) | \ (+ 8x \)

Рішення за формулою p-q:

Рішення за формулою abc:

в) Спочатку рівняння виводиться у форму \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) та \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), а потім розв'язується за формулою abc або p-q.

\ (4 (x ^ 2-1) = 4x + 4 \) | \ (- 3x \)

\ (\ leftrightarrow \) \ (4x ^ 2-4-4x = 4 \) | \ (- 4 \)

Рішення за формулою p-q:

Рішення за формулою abc:

Рішення 3

а)

Функції відрізняються положенням їх вершини. Ми розрізняємо два випадки: парабола, відкрита вгору, і парабола, відкрита вниз.

Брехня немає нуля попереду,…

отже, вершина знаходиться вище осі х, коли параболи відкриваються вгору.

отже, вершина знаходиться нижче осі х, коли параболи відкриваються вниз.

Брехня нуль раніше вершина лежить на ній на осі х як з відкритими вгору, так і вниз параболами. Нуль, таким чином, відповідає вершині.

Брехня два нулі попереду,…

отже, вершина знаходиться нижче осі х, коли параболи відкриваються вгору.

отже, вершина знаходиться над віссю х, коли параболи відкриваються вниз.

б) Графік функції \ (f_1 \) - парабола, що відкривається вгору. Вершину можна прочитати безпосередньо з рівняння функції з \ (S_ (3 | 2) \). Таким чином, вершина знаходиться над віссю х, а функція \ (f_1 \) не має нуля.

Графік функції \ (f_2 \) - парабола, що відкривається вниз. Вершину можна прочитати безпосередньо з рівняння функції з \ (S_ (1 | 2) \). Таким чином, вершина лежить над віссю х, і функція \ (f_2 \) має рівно два нулі.

Графік функції \ (f_3 \) - парабола, що відкривається вниз. Вершину можна прочитати безпосередньо з рівняння функції з \ (S _- \ frac | 0 \). Таким чином, вершина лежить на осі х, а функція \ (f_3 \) має рівно один нуль, що відповідає вершині.