Крістіан Гольдбах, людина, яка любила прості числа - спектр науки

Щомісячний математичний календар: Крістіан Гольдбах (1690–1764): Людина, яка любила прості числа

Однією з найвідоміших на сьогодні неперевірених здогадок в теорії чисел є:

На сьогодні всі спроби довести цю теорему зазнали невдачі. Навіть присудження мільйона доларів навряд чи мало якийсь прогрес. Чен Цзінгрун (1933-1996), учень Хуа Луогенга (1910-1985), найважливішого китайського математика ХХ століття, домігся "найкращого наближення" на сьогоднішній день в здогадках Гольдбаха в 1966 році. Чен Цзінгрун зумів довести, що кожне досить велике парне число можна представити як суму простого числа та іншого числа, що має не більше двох простих множників.

До перших парних чисел належать ті, що мають лише одне розкладання Гольдбаха (4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 12 = 5 + 7).

Для більших парних чисел існує «тенденція» до зростаючої кількості можливостей, але тоді завжди існує число, яке має лише кілька розкладів, наприклад 98 = 19 + 79 = 31 + 67 = 37 + 61.

Крістіан Гольдбах, син протестантського пастора, виріс у Кенігсберзі (Східна Пруссія), де відвідував середню школу та університет. Під час навчання в основному займається правом та медициною. Тривалі навчальні поїздки між 1710 і 1724 роками привели його до численних міст Європи, де він познайомився з багатьма важливими математиками: у Лейпцигу він відвідав Готфріда Лейбніца, в Лондоні обмінявся ідеями з Авраамом де Мойвром, в Оксфорді - з Ніколаусом Бернуллі (I) та Венеція - його двоюрідний брат Микола II, який встановив контакт зі своїм молодшим братом Даніелем (усі племінники Якова та Йоганна Бернуллі).

Повернувшись в Кенігсберг у 1724 році, він зустрів двох вчених, які подорожували, німецького філософа Георга Бернгарда Більфінгера та швейцарського математика Якоба Германа, які якраз їхали до Петербурга, щоб побудувати там академію наук за берлінським зразком. У наступному році Гольдбах звернувся до президента нової академії з проханням отримати офіс, спочатку був відхилений, але потім був призначений на кафедру математики та історії в кінці 1725 р.

За часів студентства Гольдбах майже не займався математикою; з часу його зустрічі з Лейбніцем, проте, його інтерес до математичних предметів зріс, як, наприклад, показує стаття про нескінченні ряди в "Acta eruditorum".

З моменту заснування академії Гольдбах зайняв посаду секретаря і виконував цю координаційну діяльність, поки в 1727 році не був призначений вчителем молодого царя Петра II (онука Петра Великого). Цариця Катерина I постановила, що її дванадцятирічний онук повинен змінити царський престол. У боротьбі за фактичну владу в країні між суперниками генералами Меншиковим і Долгоруковим Москва тимчасово знову стає столицею Росії, тому Гольдбаху доводиться рухатися разом із судом. Коли через п'ять років молодий цар помер, Гольдбах спочатку перебував у Москві, поки нова цариця Анна Іванівна не перевезла суд назад до Петербурга в 1732 році. Після смерті Анни Іванівни в 1740 р. Її сина, якому було всього кілька тижнів, тимчасово проголосили царем, доки владу не захопила Єлизавета, дочка Петра Великого. Крістіан Гольдбах вижив - як один з небагатьох при дворі - всі ці зміни уряду без шкоди.

У Гольдбаха все менше часу на хвилювання з математики; У 1729 р., А потім знову в 1732 р. Він опублікував статтю про нескінченні серії. Його тягар адміністративних завдань в контексті управління академією зростає з року в рік, поки він нарешті не просить скоротити свої завдання.

Гольдбах навіть був повністю звільнений від обов'язків в академії в 1740 році; бо нова цариця підвищила красномовного космополіта до важливої посади в Міністерстві закордонних справ, яка в наступні роки допомогла йому отримати великі багатства і землю. Математика залишається його улюбленим заняттям, і в Леонарда Ейлера він має дуже компетентного кореспондента.

Леонхард Ейлер та Крістіан Гольдбах особисто познайомились у 1727 році, коли Ейлер почав викладати у Петербурзі. Жваве листування двох учених розпочалося за часів Гольдбаха в Москві і тривало понад 35 років. Внутрішньополітична турбулентність 1740/41 рр. Спонукала Ейлера прийняти виклик до Берліна, де він зайняв посаду директора математичного класу Прусської академії наук.

Вони обговорюють перш за все проблеми теорії чисел. Гольдбаха стосується не лише вищезазначене припущення. У ході своїх досліджень він дає багато пропозицій Ейлеру, який може вирішити низку таких проблем:

Репрезентативність непарних натуральних чисел: Гольдбах підозрює, що кожне непарне натуральне число (більше 17) може бути представлене у вигляді 2 · n 2 + p, де p - просте число (19 = 2 · 1 2 + 17 = 2 · 2 2 + 11; 21 = 2 1 2 + 19 = 2 2 2 + 13 = 2 3 2 + 3; 23 = 2 3 2 + 5; 25 = 2 1 2 + 23 = 2 2 2 + 17 = 2 3 2 + 7; 27 = 2 2 2 + 19; 29 = 2 3 2 + 11; ...). Ейлер досліджує непарні числа до 999; Гольдбах навіть перевірив припущення до числа 2499; Моріц Штерн знайшов два контрприклади в 1856 р. (5777 і 5993); невідомо, чи є якісь інші контрприклади.

Властивості чисел Ферма (натуральні числа виду Fn = \ (2 ^ \) + 1, які, як припускав Ферма, завжди є простими числами); Ейлер виявив у 1732 р., Що F5 = 4 294 967 297 не є простим, оскільки число ділиться на 641. Сьогодні передбачається, що лише числа F0 до F4 є простими числами.

Властивості чисел Мерсенна (натуральні числа виду Mn = 2 n - 1) та досконалих чисел (натуральні числа, сума дійсних дільників яких збігається з самим числом): Вже Евклід показав, що кожне натуральне число виду 2 n -1 · (2 n - 1) ідеально підходить, якщо 2 n - 1 є простим числом; Ейлер доводить, що зворотна теорема також справедлива.

Поліноми, що породжують прості числа: У 1772 р. Ейлер знайшов поліном n 2 + n + 41, в якому при вставці натуральних чисел n = 0, 1, 2, 3, ..., 39 отримують усі прості числа.

Репрезентативність натуральних чисел як сума квадратних чисел, кубових чисел, загалом k-ї степенів, визначення найменшого числа g (k) необхідних доданків, де: g (2) = 4 (так звана теорема Лагранжа про чотири квадрати); g (3) = 9; g (4) = 17; g (5) = 37 (доведено Чен Цзінгрун у 1964 р.). Узагальнення називається проблемою Варінга (за Едвардом Варінгом, 1736-1798).