Маятниковий годинник вільно базується на Гаррісоні
Рис. 1: Другий маятниковий годинник із компенсацією барометра Гаррісона
Рис. 2: Зв'язок між похибкою ходи та амплітудою маятника зі зміною тиску повітря
Спадщина Гаррісона
У 1775 році Джон Гаррісон, який вже вирішив проблему довготи при навігації в морі за допомогою дуже точного годинника, резюмував свої думки щодо оптимального маятникового годинника в рукописі (див. "Про такий механізм", "переклад" Девіда Гескін). На відміну від свого сучасника hamрема, втечу якого досі часто використовують у точних маятникових годинниках, Гаррісон не хотів малу амплітуду маятника (близько 1 °), а дуже велику - близько 7 °. Він цілком усвідомлював, що період коливань також мінімально збільшується із збільшенням амплітуди (точне рішення періоду коливань можна знайти в "Математичному маятнику"). Якщо період коливань збільшується, то годинник сповільнюється, тобто сповільнюється.
З іншого боку, маятниковий годинник також може діяти через зовнішні впливи. Це той випадок, коли щільність повітря зменшується (із зменшенням тиску або зі збільшенням температури), оскільки тоді тертя повітря (значення cw) зменшується, а маятник гальмує менше. Крім того, плавучість повітря зменшується, а це означає, що вага маятника збільшується. Збільшується лише вага (відновлююча сила під час коливань), але не маса (інерція маятника відносно відновлюючої сили). Інерційна маса ще нижча, оскільки повітря, яке переміщується разом із нею, стає легшим. Все це можна дуже легко врахувати в рівнянні для періоду T маятника довжиною L (g = прискорення під дією сили тяжіння, ρL = щільність повітря, ρP = щільність маятника):
Коефіцієнт f для повітря, що проходить уздовж маятника, знаходиться між приблизно 0,5 для маятника лінзи та приблизно 1 для маятника циліндра. Висновок рівняння коротко викладено в "T-Air density.pdf". Якщо це рівняння (з f = 1) застосовується для обчислення похибки швидкості маятникового годинника із зменшенням тиску повітря на 1 гПа, результат буде +0,013 с/д (секунди на день). Це значення добре узгоджується з літературою. На додаток до більш швидкої швидкості годинника, амплітуда маятника також трохи збільшується, оскільки збільшена сила відновлення забезпечує маятнику більше енергії, а тертя повітря зменшується.
Висновок Гаррісона полягав у тому, що похибка ходи внаслідок зміни щільності повітря з досить великою амплітудою автоматично компенсується залежністю періоду коливань від амплітуди. Блискуче! Однак сучасники Гаррісона були підозрілими, і лише у 2015 році підхід Гаррісона було доведено як дієвий: «Відео: Надзвичайно точний годинник». Цей годинник згадується в наступному - як у відео - "Годинник B".
Розрахунки компенсації Харрісона
Практично відразу після прочитання про годинник B у щоденній газеті та знаходження чергової статті Беттса (pdf: Барометрична компенсація Гаррісона), я переконався в концепції та зробив перші розрахунки. Початковою точкою було, з одного боку, вищевказане рівняння, а з іншого - робота тертя WR, яку маятник повинен виконувати при русі по повітрю (для розрахунку використовувався кульковий маятник з нержавіючої сталі діаметром D = 70 мм):
WR = FR sP (= сила тертя, помножена на хід маятника), де
Тут шлях маятника sP і середня швидкість маятника vP такі:
sP = 2 L φ і vP = 2 sP/T (з амплітудою φ в радіанах).
Коефіцієнт опору cw розраховували за Каскасом (3-я сторінка). За допомогою цих рівнянь тепер розраховується робота тертя при «нормальному» тиску (наприклад, 1000 гПа) для даної амплітуди маятника. Потім тиск змінюється (наприклад, збільшується на 1%), а амплітуда маятника змінюється методом спроб і помилок, доки щойно розрахована робота тертя не збігається з початковою. За допомогою двох амплітуд маятника вищезазначене точне рішення періоду коливань тепер можна "подавати" і перетворювати в секунди на день.
Ці розрахунки були проведені кілька разів для заданих амплітуд від 0 до 4,5 ° і зведені на рис. 2. При амплітуді 0 ° годинник сповільнюється на 0,127 с/д згідно з першим рівнянням, якщо тиск збільшується на 10 гПа. Це відставання стає меншим і меншим із збільшенням амплітуди, поки не буде досягнута повна компенсація тиску при 3,7 °. В принципі це відповідає прогнозу Гаррісона, але він говорив про 7 °, а годинник B компенсує тиск трохи більше 6 °. Як це можна пояснити?
Гаррісон передбачив кругові щелепи на затисканні пружини маятника (явно відсутні щелепи Гюйгенса, з якими компенсація не працювала б), і такі кругові щелепи також вбудовані в годинник B. Щелепи призводять до того, що довжина маятника скорочується зі збільшенням амплітуди, а період коливань спочатку навіть зменшується із збільшенням амплітуди, перш ніж він знову збільшується при дуже великих амплітудах. Беттс (див. Вище) описує конструктивну координацію щелеп та маятникових пружин як "випробування на пагорбі". Тільки після гори значення s/d зменшуються зі збільшенням амплітуди.
Якщо маятникова пружина затиснута гострими краями - як це прийнято сьогодні - тоді гори немає або найвища точка гори знаходиться на амплітуді 0 °. Як результат, компенсація тиску відбувається при значно менших амплітудах. Це добре, адже з амплітудою нижче 4 ° годинники, придатні для вітальні, можна будувати з компенсацією Гаррісона:-)
3: Тест на розпад для визначення потреби в енергії при великих амплітудах
Рис. 4: Оцінка тесту на розпад: потужність маятника
Міркування щодо конструкції годинника
Маятник, який коливається з амплітудою 4 °, має в 16 разів більше енергії, ніж у 1 °. Під час кожного напівколебання (1 с) невелика частина енергії віддається, головним чином, через тертя повітря, яке має бути замінене спуском. Якщо тертя повітря ламінарне, то сила тертя пропорційна швидкості, а втрати енергії (сила, змінена в переміщеннях) пропорційні швидкості та амплітуді. При співвідношенні 4 ° до 1 ° енергоспоживання годинника буде в 16 разів вищим. При турбулентному терті повітря коефіцієнт навіть 64, оскільки сила тертя пропорційна квадрату швидкості.
Для більш точного визначення коефіцієнта було проведено наступне випробування на розпад (див. Також рис. 3): Маятник (на той момент сферичний маятник діаметром 80 мм і вагою m = 2 кг) був відхилений на хороших 5 °, а потім випущений він міг вільно розгойдуватися (без приводу/гальмування). Він втрачає енергію і амплітуда стає все меншою і меншою. Час та відповідну амплітуду вібрації реєстрували за допомогою хронометра. Експеримент закінчився через добрі 5 годин. Втрати енергії ΔE тепер можна розрахувати з 2 амплітудних значень φ1 та φ2 за інтервал часу Δt:
Якщо втрати енергії поділити на різницю в часі Δt, отримана необхідна потужність P:
P = ΔE/Δt з одиницею вимірювання Вт або мВт
Розрахована таким чином потужність показана на рис.4. Видно, що "нормальні" годинники другого маятника з амплітудою приблизно 1 ° знаходяться майже в діапазоні ламінарного тертя повітря (два нахили кривих для ламінарного та турбулентного тертя вводяться на діаграмі як прямі лінії для кращої орієнтації). При найбільшій виміряній амплітуді 5 ° нахил турбулентного тертя майже досягається. Оцінка числових значень, на яких базується діаграма, дає в 37 разів більше потужності для амплітуди 4 ° порівняно з 1 °. Тому практично неможливо оформити годинник як щомісячний бігун. Був обраний денний бігун.
Гальмування
Рис. 5: Сила тяжіння за допомогою колінного важеля