Математика - портал для книг та ідіом; es

Дата публікації • 11 листопада 2010 р
Розрахунковий час читання • 30 хвилин

В ім’я нескінченності. Релігійна містика та математична творчість

Взаємозв'язок математики та містики серед російських математиків та їх вплив на появу теорії описових множин.

Від імені нескінченності - французьке видання Naming Infinity - робота, спочатку опублікована англійською мовою Лорен Грем і Жан-Мішель Кантор і опублікована в 2009 році пресою Belknap при Гарвардському університеті. У цій захоплюючій книжці автори відтворюють маловідому сторінку історії математики, появу описової теорії множин. Французька версія твору, збільшена на розділ, також супроводжується прекрасною передмовою за підписом Лорана Лаффорга (професора IHES та володаря медалі Fields).

В даний час описова теорія множин - це спеціалізована область досліджень, яка викладається лише на дуже просунутих рівнях курсів математики в університеті, і яка вимагає від студента міцного досвіду теоретичних множин та класичної математики. Використовуючи свої знання як історики науки та математики, метою авторів у цій роботі є не входження в технічні аспекти цієї теорії, а опис її генезису, а також її долі. Математики, які були її головними архітекторами в перша половина ХХ ст. Як чітко вказує заголовок роботи, описова теорія множин, яка випливає з аналізу функцій і теорії множин, народилася в результаті зухвалих, а часом і мучених роздумів серед математиків про саму природу. Про математичну нескінченність, з другої половини ХІХ ст. Розслідування hamрема та Кантора, яке веде їх з Парижа до Москви, призводить до того, що вони ставлять під сумнів психологію математичного творення, і зокрема, у випадку Російської школи математики, щодо його передбачуваних релігійних джерел.

Спочатку так звана теорія описових множин народилася в роботі трьох геніальних французьких математиків Еміля Бореля (1871-1956), Рене Байра (1874-1932) та Анрі Лебега (1875-1941), усіх трьох фахівців з теорії функцій. Оскільки Грехем і Кантор дуже добре пояснюють у своїй роботі, це "французьке тріо" математиків, усі з Еколе Нормале Супер'єр, працювало в особливо вирішальний момент в історії математики, коли ціле покоління математиків по всій Європі дивується про основи це слід дати певним поняттям, які дотепер вважалися очевидними чи примітивними в математиці.

З цієї точки зору однією з найвпливовіших постатей кінця ХІХ століття був Георг Кантор (1845-1918), засновник теорії множин разом з Річардом Дедекіндом (1831-1916). Теорія множин взяла на себе зусилля, докладені одночасно цими двома математиками для з'ясування значення понять безперервності (у Дедекінда) та нескінченності (у Кантора), одночасно з самим поняттям числа. Поняття нескінченності, що є результатом роботи Кантора і Дедекінда, змусило їх протягом 1870-х і 1880-х років ввести поняття множини, яке вони неофіційно визначили як таке, що визначається Дедекіндом, "будь-яка колекція, яку можна об'єднати в ціле за законом ". Про множину кажуть, що вона нескінченна, якщо існує відповідність, що дозволяє асоціювати з кожним з елементів множини окремий елемент у належній частині цієї множини, і навпаки. Наприклад, набір цілих чисел у цьому сенсі нескінченний, тому що існує одностороння відповідність цього набору з більш обмеженим набором парних чисел (з 1 ми асоціюємо 2, з 2 ми асоціюємо 4 і т.д.).

Робота Кантора мала значний відгук із 1880-х років, зокрема з молодим Емілем Борелем протягом наступного десятиліття, завдяки вченню Камілла Джордана, яка впровадила теорії Кантора у Франції. Аналітик за освітою, Борель змушений ставити під сумнів у своїй роботі саме те визначення, яке слід дати загальному поняттю функції в математиці. Одним із питань, яким керується Борель, є знання, які умови дозволяють забезпечити чітке визначення функції. Структура набору Кантора справді передбачає, що тепер ми можемо бути зацікавлені в певних довільних наборах функцій як самостійних математичних об'єктів, таких як, наприклад, безліч неперервних функцій реальної змінної, безліч розривних функцій двох дійсних змінних тощо. Далі підхід Кантора передбачає, що будь-яку функцію можна розглядати як сукупність, яка пов'язує з елементами першої множини (область функції) елементи другої множини (її кодомен), роблячи поняття функції поняттям як абстрактне, багато в чому, як концепція цілого, але тим самим сприйнятливі до тих самих труднощів та апорій.

Бореля в його дипломній роботі особливо цікавить проблема вимірювання множин точок, проблема, яку більш глибоко досліджували його студенти Бейр і Лебег кілька років потому, в дисертації Бейра (1899) і в основоположній статті Лебега про аналітичну функцій. визначається (1905), і що насправді зводиться до сумніву в підрахованому чи незліченному характері певних підмножин набору реальних даних. Оригінальність Бейра і Лебега, слідуючи Борелю, полягає у визначенні індукцією певних класів функцій, які повинні задовольняти дуже загальні властивості, так само, як це дозволило Борелю визначити певні множини як вимірювані. Це дослідження призведе до думки, що існує ієрархія функцій, така, що одні функції неможливо знизити для інших або неможливо визначити з точки зору операцій функцій, визначених спочатку, тим самим повторюючи результати Кантора щодо ієрархії нескінченностей. Згодом це дасть ряд часткових відповідей на задачу Кантора про континуум для конкретних множин дійсних чисел, що задовольняє властивості зростаючої складності.

Походження Єгорова та Лузіна в російській математичній школі може навести на думку, що з "французьким тріо" необхідно поєднувати "російський дует", але теза, яку захищають Кантор і Грем, полягає в тому, що це необхідно в Фактично говорити про "російське тріо", до якого також входив православний батько Павло Флоренський (1882-1937), містик і багатознавець. Насправді Флоренський вивчав математику одночасно з Лузіним у Москві, і між двома чоловіками зав'язалася міцна дружба. Зокрема, Флоренського дуже рано надихнула ортодоксальна містична течія, тека Поклонників Імені, яка в поклонінні Імені Ісуса бачила спосіб безпосереднього контакту з Богом (слідуючи вірі, що "ім'я Бог є Бог "). Ця течія, розповсюджена на монастир Афон в 1907 році, боролася православною ієрархією, перш ніж жорстоко була репресована царизмом у 1913 році, а потім опосередковано, антирелігійними переслідуваннями радянського режиму, як це сталося у Флоренському.

У цьому особливо темному епізоді років радянської чистки розповідь про Graрема і Кантора дає болюче і безкомпромісне світло, зокрема через невтішне зображення, яке випливає з невдячності або боягузтва кількох найяскравіших колишніх учнів Люсіна, до того ж провідні математики підростаючого покоління, але також описом мужності і величі душі менш відомих чоловіків і жінок, таких як математик Микола Чеботарьов, який з поваги відмовився зайняти посаду Єгорова в 1930 році, і якому доля, як і дружині, довірилася забезпечити поховання Єгорова в Казані. Окрім цього розповіді про жахливі роки сталінських чисток і розпад Лузітанії, нарешті, роботи Жана-Мішеля Кантора і Лорен Грем дають дуже повчальну картину російської математичної школи та нащадків Єгорова та Лузіна в ній.

В цілому, робота Жана-Мішеля Кантора та Лорен Грехем пропонує завжди стимулююче читання, одна з найбільших заслуг якого, на мої очі, полягає в тому, щоб вийти із забуття та висвітлити надзвичайні інтелектуальні досягнення покоління. Математики на роздоріжжі між двома епохами: чи то у Франції, Борель, Бейр і Лебег, чиє потомство, пошкоджене спустошенням Першої світової війни, певною мірою затьмарило нове покоління молодих турків із групи Бурбакі; або, в Росії, Єгоров та Лузін, яких землетрус 1917 року зрештою відріже від своїх послідовників.

Наприкінці книги Грем і Кантор зазначають: "стверджуючи, що містика допомагала російським математикам розвивати описову теорію множин, нам довелося подолати свої особисті забобони. [...] Ми віримо більше в раціональність, ніж у містичне натхнення". Однак я читаю, що математик Лузін, мабуть, погодився б із останнім твердженням. Хіба не вірогідніше, що Лузін, як і багато інших вчених, насамперед і найголовніше витягнув із свого релігійного запалу форму особистої моральної сталості, необхідної для здійснення його наукової роботи, набагато більше, ніж натхнення для змісту? він міг мати математичні об'єкти та визначення? Можливо, я занижую тут вплив Флоренського на Лузіна, але це питання варто поставити в будь-якому випадку.

Незважаючи на ці дефляційні застереження, які, перш за все, виражають певні розбіжності в інтерпретації, книга Жана-Мішеля Кантора та Лорен Грехем, тим не менше, залишається дуже приємною та дуже поінформованою історією, і розслідування, яке пропонує читачеві, в тому числі для нематематика, живою і унікальною картиною доль теорії математичного континууму в Європі з 1870-х до 1930-х років

Пол ЕГРЕ

Пол Егре - науковий співробітник CNRS, член Інституту імені Жана Нікода та відділу когнітивних досліджень вищої школи Normale Supérieure з 2005 р.

Агреже та доктор філософії, магістр математичної логіки, Пол Егре викладав філософію в Паризькому університеті I та Університеті Парижа IV, а також викладає логіку та філософію у вищій школі. Пол Егре - фахівець з питань епістемології, філософської логіки та філософії мови.

З 2007 по 2010 рік він керував дослідницьким проектом ANR щодо когнітивних витоків хвилі. У 2007 році він був "запрошеним вченим" на кафедрі лінгвістики та філософії MIT.