Наприклад; Рішення для аркуша вправ 36

оновлено: 6 липня 2004 р

наприклад

  • [Огляд]
  • [Інформаційна сторінка]
  • [відповідні завдання]
  • [Рішення для аркуша 36]
  • [Архів завдань]
  • [Реєстрація]
  • [Про нас]
  • [Зліва]
  • [Гаряча лінія]
  • [Електронна пошта]


Каролін купує кавун вагою 4 кг, який складається з 99 (масових) відсотків води. Недбало, вона залишає їх на сонці занадто довго, поки диня не складає лише 98 відсотків води. Наскільки важка тоді диня?


Оскільки диня спочатку складається на 99 відсотків з води, вона містить 1 відсоток інших (твердих) речовин. Це відповідає 40 грамам. Після того, як частина води випарується, ці 40 грамів становлять 2 відсотки від загальної маси відповідно до завдання. Тож диня важить лише 40. = 2000 грам. Отже диня втрачає половину своєї ваги.


Дуже звивисту музейну кімнату повинні охороняти троє охоронців. Кожен повинен стояти на місці, з якого він може спостерігати за всією кімнатою. Після нетривалих пошуків двоє охоронців знаходять два (різні) такі місця і поселяються там. Третій вартовий якийсь час без успіху блукає по кімнаті. Чи можете ви дати йому підказку, де знайти підходяще місце?


Третій охоронець може вибрати будь-яку точку на ланці між позиціями перших двох охоронців.
Чому? Нехай А і В - позиції перших двох охоронців, а С - точка на їхній сполучній лінії. Далі нехай X - будь-яка точка простору. Якби не вдалося побачити точку X з C, на відрізку CX була б точка Y, на якій розташована перешкода.

З іншого боку, вартовий на А бачить всю кімнату, особливо Х. Отже, вся відстань AX повинна проходити в просторі (тобто вона повинна бути без перешкод), і саме тому точка перетину Z прямої лінії, що проходить через B і Y з AX, лежить у внутрішній частині кімнати, і там немає жодної перешкоди. Нарешті, вартовий у В також бачить все, особливо Z, і тому вся лінія BZ повинна бути в космосі, що суперечило б позиції Y.
Отже, такої точки Y немає, і весь відрізок CX видно з C вільно. Таким чином охоронець на С бачить кожну точку простору.


Примітки: кімната, подібна до нашої музейної кімнати, в якій є точка, з якої можна побачити всю кімнату (або іншими словами: у якій кожен зв’язок від цієї точки до іншої точки цієї кімнати повністю лежить у кімнаті), називається зіркоподібною .

І нашим доказом ми показали, що множина всіх точок, з яких можна побачити весь простір, є опуклою. (Визначення опуклості полягає саме в тому, що для кожних двох точок у множині також належить сполучна лінія до множини.)

Є також приклади, коли третій охоронець не може бути розміщений в будь-якому іншому місці, крім маршруту між двома іншими охоронцями:


Покажіть, що число 3 2048 - 1 ділиться принаймні на 12 різних простих чисел.

Це 2048 = 2 11, це означає, що ви можете застосувати третю біноміальну теорему одинадцять разів і таким чином отримати дванадцять факторів:

3 2048 - 1 = (3 1024 + 1) (3 1024 - 1)
= (3 1024 + 1) (3 512 + 1) (3 512 - 1)
= (3 1024 + 1) (3 512 + 1) (3 256 + 1) (3 256 - 1)
.
= (3 1024 + 1) (3 512 + 1) (3 256 + 1) (3 128 + 1) (3 64 + 1) (3 32 + 1)
. (3 16 + 1) (3 8 + 1) (3 4 + 1) (3 2 + 1) (3 1 + 1) (3 1 - 1)

Але ми ще не закінчили, оскільки ми маємо показати існування дванадцяти різних простих факторів при розкладанні. Тому ми тепер показуємо, що ці попарні множники мають 2 як найбільший спільний коефіцієнт (gcd). Для цього нехай r> s - два натуральних числа. це є

3 2 r + 1 = 3 2 r - 1 + 2
= (3 2 r-1 + 1) (3 2 r-1 - 1) + 2
.
= (3 2 r-1 + 1) (3 2 r-2 + 1). (3 2 с - 1) (3 2 с - 1) + 2,

таким чином, кратне (3 2 s + 1) плюс 2. Отже, коефіцієнт корисної дії 3 2 r + 1 та 3 2 s + 1 повинен бути коефіцієнтом 2. Оскільки (3 2 t + 1), очевидно, навіть для кожного цілого t 0, то gcd рівно 2.

Оскільки 3 1 - 1 = 2, gcd (3 2 r + 1, 3 1 - 1) = 2 для r 1.

Оскільки кожен фактор 3 2 r + 1 з r 0 більший за 2, отже, кожен з цих одинадцяти факторів забезпечує (принаймні) свій власний простий коефіцієнт для розкладання. На жаль, 3 дає 1 + 1 = 2. 2 таким чином лише фактор 2; це означає, що ви не можете використовувати коефіцієнт 2, який інакше все ще трапляється, і є також єдиним дільником 3 1 - 1. Отже, нам потрібен ще один головний фактор. 3 4 + 1 = 2. 41 не допомагає, але це 3 8 + 1 = 6562 = 2. 17-й 193 і тому ми маємо щонайменше дванадцять різних простих факторів.

Для того, щоб точно з’ясувати, скільки (різних) простих множників має число, потрібна важка артилерія та певний обчислювальний час. У нас не було стільки часу і терпіння. Зрештою, Mathematica дуже швидко з'ясувала, що множники (3 128 + 1)/2 - (3 1024 + 1)/2 не є простими числами. (3 16 + 1)/2 до (3 64 + 1)/2 - це прості числа, і Парі тоді в розумний час виявив, що (3 128 + 1)/2 має п’ять різних простих множників, найменший з яких - 257.


На планеті Каппа вчені нещодавно визначили радіус своєї планети рівно 1000 км. П’ять найбільших міст на Каппі мають бути пов’язані прямими залізничними лініями у найближчі кілька років; щороку повинен проходити маршрут між парою міст. Однак коштів у перший рік вистачає лише на 1571 км залізничних колій.
Покажіть, що ви все ще можете досягти плану в перший рік!


Оскільки за перший рік ви можете побудувати лише залізничну лінію довжиною 1571 км, ми маємо показати, що серед п’яти міст на Каппі є два, які розташовані на відстані не більше 1571 км. (Відстань, звичайно, така, як на поверхні кулі.) Однак, оскільки ми не знаємо, де знаходяться міста на Каппі, ми повинні показати, що для кожного розташування існує пара міст з максимальною відстанню 1571 км.

Ми доводимо це побічно, припускаючи протилежне і ведучи до суперечності. Тут означає протилежне: ми припускаємо, що п’ять міст розподілені на Каппі таким чином, що два з них знаходяться на відстані більше 1571 км.


Оскільки Каппа має радіус 1000 км, її окружність становить

За кошти в перший рік ви зможете побудувати чверть розміру і трохи більше за допомогою залізничних колій.

Повернувши сферу, якщо це необхідно, можна припустити, що перше місто А розташоване `` внизу '', тобто на Південному полюсі. Тоді всі точки на екваторі розташовані на відстані менше 1571 км від цього міста, а всі точки на півдні півкулі - ще ближче.

Отже, згідно з нашим припущенням, усі інші чотири міста знаходяться в північній півкулі.

Нехай Б - місто в північній півкулі. Він також визначає півкулю, на якій не може лежати жодне місто.

Якщо місто B розташоване безпосередньо на Північному полюсі, у північній півкулі більше не може бути міста, тому лише два міста A і B будуть на Каппі, що не може бути.

Але незалежно від того, де В знаходиться в північній півкулі, півкуля з центром В завжди містить північний полюс. І оскільки B не може бути Північним полюсом, ця півкуля також має спільний шматок із південною півкулею. Нехай X і Y - дві точки перетину ребер півкулі. Оскільки ребра є максимально великими колами (так званими великими колами) на сферичній поверхні, дві точки є абсолютно протилежними одна одній, тобто H. вони ділять кожне з двох кіл на дві рівні половини.

Оскільки ми не знаємо, на якому градусі північної широти знаходиться місто B, ми також не знаємо, наскільки його півкуля простягається над Північним полюсом, але в будь-якому випадку жодне місто не може знаходитися на половині північної півкулі, що перетинає половину екватора Від X до Y і обмежений Північним полюсом.

Іншу половину північної півкулі ми вдвічі зменшуємо вдвічі: Нехай М є середньою точкою між X та Y на екваторі (та, яка не знаходиться в півкулі навколо B). Тоді коло ділить праву половину північного полюса через південний полюс, північний полюс і М на дві рівні частини (вигнуті трикутники), на яких точки кута X, M і N або Y, M і N мають найбільшу можливу відстань у чверть кола сфери. Іншими словами: Будь-які дві точки трикутника мають відстань менше 1571 км.

Однак це означає, що в кожному з трикутників може бути не більше одного міста. Але тоді на Каппі є лише чотири міста.


Але оскільки на Каппі є п’ять міст, ми маємо протиріччя. Тож припущення, що між усіма містами є принаймні 1571 км, має бути помилковим. Як результат, на Каппі є (принаймні) два міста, які розташовані на відстані не більше 1571 км, і між ними ми (або каппайці) можемо побудувати залізничну лінію в перший рік.

Для друку у форматі PDF або у форматі PS