Народження досьє Гаспарда Монжа
Досьє - Математика: транспорт із найменшими витратами
Опубліковано 25.01.2009 - Змінено 19.09.2015
Спочатку задуманий у вісімнадцятому столітті як інженерна проблема, оптимальний транспорт зараз знаходиться в основі різних питань фундаментальної математики та теоретичної фізики. Слідуючи деяким його перєгринаціям, ми побачимо, як магія математики може привласнювати, змішувати та перетворювати предмети з різних фонів.
Математика: транспорт з найменшими витратами
Народження: Гаспард Монж
Повторне відкриття: Леонід Канторович
Відродження: Ян Бреньє, Джон Матер, Майк Каллен
Оптимальний транспорт і геометрія
Бібліографія в Інтернеті
Гаспар Монж (1746-1818) - провідний французький математик і інженер, фахівець з геометрії. Гарячий революціонер, засновник Політехніки Екола, ключовий учасник єгипетської кампанії, близький друг Наполеона Бонапарта, Мондж веде життя як персонаж роману, роблячи при цьому свій міцний слід у математиці.
Мабуть, його найбільшим досягненням є теорія Росії описова геометрія, довгий час залишався опорою наукової підготовки інженерів; французька армія наприкінці режиму Ансієна настільки добре визнала величезний потенціал цієї теорії, що вона мала, як кажуть., класифікується "таємно-оборона ''.
Саме в 1781 році Мондж сформулював оптимальну транспортну проблему, більше схожий на інженера, ніж на математика чи економіста. Транспортуваними ресурсами є, наприклад, будівельні матеріали, видобуті з шахти, які будуть використані для певної конструкції. Щоб використати формулювання Монжа, зразкову чіткість і точність:
Вартість транспортування так званого простого ковалентного зв'язку. "data-image =" https://cdn.futura-sciences.com/buildsv6/images/midioriginal/d/0/e/d0e3dc7e1e_76472_molecule.jpg "data-url ="/science/definitions/chimie-молекула-783/"data-more =" Lire la suite "> молекула є, за інших рівних умов, пропорційною її вазі та простору, який вона призначена для подорожі, і тому загальна вартість транспорту повинна бути пропорційною сумі продуктів з молекул, помножених на пройдений простір, випливає, що зріз і засипка надаються за формою і положенням, не байдуже, що така і така молекула зрізу транспортується до того і іншого місця засипки, але що існує певний розподіл молекул першого у другому, згідно з яким сума цих продуктів буде найменш можливою, а ціна всього транспорту буде мінімальною. Саме вирішення цього питання я пропоную подати тут.
Рукопис Монжа
- початковий розподіл маси та остаточний розподіл; із зрозумілих причин їх загальна маса повинна бути однаковою.
- функція витрат: у цьому випадку Мондж припускає, що ціна транспорту пропорційна відстані, яку ми проходимо.
органічна речовина, з якої складаються живі істоти (тварини або рослини) або. "data-image =" https://cdn.futura-sciences.com/buildsv6/images/midioriginal/e/7/0/e70ccaaf4a_91935_matiere.jpg "data-url ="/science/definitions/matiere-matiere-15841/"data-more =" Read more "> матеріал займає в кінці перевезення. Що стосується функції витрат, назвемо її c (x, y), де x - початкова точка, а y - кінцева точка: транспортувати зерно речовини масою m від точки x до точки y, ми заплатимо вартість mc (x, y). Монж визначає c (x, y) як рівну відстані між точками x та y, це найбільш природне вибір, але зовсім не невинна.
Рис. 2. Проблема живців та засипки, сформульована Гаспардом Монжем
І невідоме в проблемі Монжа - це транспортний додаток, скажімо Т, який говорить нам, яке положення y = T (x), де ми повинні транспортувати масу, розташовану в x, так що загальна вартість транспортування буде мінімальною. Ця загальна вартість визначається за формулою:
тобто це сума транспортних витрат усіх окремих частинок. Для більшості математиків читачів, правильна формула, що визначає загальну вартість транспорту:
де µ - міра ймовірності, що представляє початковий розподіл маси; а транспортна напруга T # µ = ∨ (міра зображення µ на T дорівнює ∨), ∨ що означає кінцевий розподіл маси.
Мондж здається занадто впевненим у собі, коли оголошує, що збирається вирішити проблему. У своїй дипломній роботі він отримує конкретні рішення, алгоритми розрахунків для певних простих геометрій, робить зв'язок із чудовими геометричними відкриттями (лініями кривизни опуклих поверхонь.), Але не вирішує загальної проблеми, яка також буде присуджена Академією Наук.
І недарма: одне лише існування рішення проблеми Монжа, для досить загальних даних не буде продемонстровано до кінця ХХ століття! Що стосується побудови цього рішення "явним чином" (наприклад, за допомогою комп'ютера), то це все ще актуальна проблема, яка ще не до кінця вирішена. Для досягнення прогресу в цих питаннях були потрібні набагато потужніші інструменти, ніж ті, що були доступні Монжу.