Побачимо один одного в 4D - четвертий вимір продемонстровано математично
Матеріал виготовлений Александру Ламбою
Проблема вивчення багатовимірних тіл не нова. Хоча конкретний світ, в якому ми живемо, має лише три вимірювані матеріальні виміри, оскільки сам Всесвіт є тривимірним, такі поняття, як "мультивселенна" або "n-вимірні простори", були розроблені як у світі мистецтва, так і в точних науках. він міг би сказати, і в тому, що містика.
У світі мистецтва SF на сьогоднішній день найбільше цікавиться багатовимірністю, хоча з часом це була не одна з його улюблених тем, а лише корисна концепція. Таким чином, найзручнішим способом подорожі космосом у СФ залишається «червоточина», ярлик через «складку» тривимірного простору в багатовимірному мультивсесвіті, але це лише режим передачі, штука, а не проблема. вивчати себе.
Це багатопросторова геометрія
Хоча цікава і лише з цієї точки зору, розмова, про яку йдеться, хоче ще раз вразити, коли запускає питання: "але далі, що це буде?". Саме на цьому питанні я хотів би зосередитись на наступному, якомога практичнішим та "наочнішим" способом. Адже, будь то література, фізика чи геометрія, які ми не можемо візуалізувати, нам буде дуже важко повністю зрозуміти. І це, незважаючи на той факт, що світ науки давно визнав той факт, що сприйняття одне не може визначити реальність.
Око розв’язує за частки секунди, якщо воно пропонується у звичній формі, яка займає розум, можливо, годинами, щоб проаналізувати лише з рівнянь або рядків. Доводить це саме поняття графіка функції, що використовується не тільки в математиці, але і в економіці чи соціальних дослідженнях. У цьому випадку, якщо повернутися до геометрії, я не думаю, що дивно, що графічне зображення є основою розуміння.
Звичайно, проста картина є неточною і недостатньою, але вона необхідна при вирішенні будь-якої задачі в цій галузі математики. Саме про ці графічні зображення ми поговоримо пізніше, намагаючись, як закликає нас Едвін Еббот Ебботт з ХІХ століття, візуалізувати те, що знаходиться за межами нашого тривимірного простору. Ми будемо робити те саме, що вчитель англійської мови у своєму літературному підході (який також називають математичною фантастикою), починаючи від еволюції двовимірного до тривимірного.
Візуалізація гіперпростору
Спочатку ми зафіксуємо системи координат для довідки, починаючи з креслення тривимірної системи декартових осей на папері. Як відомо, план (наприклад, аркуш паперу) має лише два виміри. Однак це ніколи не заважало нам малювати та розпізнавати тривимірні тіла, правда? Як саме ми це робимо? Ну, дуже просто: обдурити око, змусити їх думати, що певні кути правильні, навіть якщо вони не є. Таким же чином ми спробуємо обдурити їх, щоб вони побачили чотиривимірні тіла.
Нижче ми бачимо, як, додавши вісь під певним кутом (вісь z) до системи площин координат x-y, ми отримуємо помилкову тривимірну систему (з усіма трьома осями відповідно перпендикулярною), але яку око сприймає як таку без проблем. Сам людський зір є плоским, сітківка розташована на поверхні, і глибина сприймається не безпосередньо, а через тріангуляцію і ... "досвід".
Око бачить плоскі образи, які на основі попереднього пізнання реальності переносить у космос. Ну, саме цей недосконалий механізм зору може допомогти нам змусити його навіть вийти за межі реального. Око може переконатись, що вісь z знаходиться поза площиною, можна переконатись, що чотири лінії перпендикулярні відповідно. Зокрема, продовжуючи, як описано вище, ми почнемо з космічної моделі системи просторових координат xyz з усіма трьома перпендикулярними осями, і додамо четверту під певним кутом, а потім змусимо око щоб побачити будь-які дві з чотирьох осей перпендикулярними одна до одної.
(Для того, щоб запропонувати легко відновлюване рішення, ви можете вибрати легкодоступні магнітні кулі та стрижні.) Таким чином, ми отримаємо визначену геометричну сутність із чотирьох вимірів, яку ми будемо називати далі. гіперпростір.
Чи можете ви, спробувавши, переконати себе, що будь-які дві осі перпендикулярні? Чудово, ми на правильному шляху! Більше того, ми можемо змусити око прийняти за дійсну таку систему осей, навіть намальованих на папері, намалювавши дві осі, справді перпендикулярні одна одній, і позначивши інші кути як прямі:
Отже, як, додавши вісь z до площини xy, ми отримали простір xyz, маючи три площини перпендикулярно: xy, xz та yz, додавши ще одну вісь q до простору xyz, ми отримали чотиривимірний гіперпростір xyzq, маючи чотири простори "перпендикулярно" між вони: xyz, xyq, xzq та yzq, відповідно шість перпендикулярних площин: xy, xz, xq, yz, yq та zq. Чи можете ви їх переглянути? Є кожен, візуально, тривимірні простори, відповідно плани?
Щоб ми не забули жодного елемента, ми можемо скористатися комбінаторним розрахунком: маючи кількість чотирьох ортогональних осей і знаючи, що нам потрібні дві для площини і три для простору, проблема визначення їх кількості така ж, як і розв’язання Cn k: де n = кількість доступних осей і k = кількість необхідних осей (C4 2 = 6, у випадку планів гіперпростору, відповідно C4 3 = 4, у випадку просторів гіперпростору). Точно такий же розрахунок є основою для визначення кількості площин у тривимірному просторі, але, будучи настільки поширеною проблемою, її вирішення здається суттєвим.
Тепер, коли ми визначили гіперпростір, давайте заповнимо його, тому що це те, що ми насправді хотіли отримати тут: перегляд чотиривимірні гіпертіла. У цій статті ми будемо задоволені візуалізацією найпростіших з них, а саме прямокутний гіперпаралеліпіпед (брат з неоднаковими сторонами гіперкуба, або тессеракта) і прямокутний гіпертетраедр. Ми побудуємо їх на основі прямокутного паралелепіпеда, відповідно прямокутного тетраедра, так само, як останні побудували на основі прямокутника, відповідно прямокутного трикутника.
Прямокутний гіперпалелеліпіпед
Почнемо з будівництва hiperparalelipipedului, починаючи з простого прямокутника в x-y площині. Інтуїтивно можна уявити, як, «потягнувши» або «помноживши» прямокутник вздовж осі z, виходить прямокутний паралелепіпед. Використовуючи ту ж процедуру в просторі 4D, ми будемо «тягнути» паралелепіпед уздовж осі q, і прямокутний гіперпаралеліпед виглядатиме наступним чином:
Для більш чіткого подання можна зробити 3D-модель, як показано нижче, з двох однакових паралелепіпедів, що мають з'єднані кути паралельних сторін, проведених уздовж осі q, помилково перпендикулярно до всіх інших:
Після того, як модель зроблена, я закликаю вас визначити та «візуалізувати» всі прямокутні паралелепіпеди, які обмежують цей гіперпаралеліпід! Ви побачите, що як тільки ви переконаєте свої очі прийняти кілька помилкових прямих кутів як правильні, тривимірні тіла, які «одягають» це 4D тіло, будуть виглядати так само нормально, як прямокутники у формі паралелограма, що укладають прямокутний паралелепіпед, намальований на папір.
І оскільки науковий підхід не обходиться без кількох рівнянь, пропоную проаналізувати основні характерні розміри цих тіл, дотримуючись аналогії з прямокутником і прямокутним паралелепіпедом. Що це? Ну, а для прямокутника (плоскої фігури) - площа і периметр, а для паралелепіпеда (тривимірне тіло) - об’єм і бічна площа.
Ми помічаємо, що обидві ці геометричні сутності характеризуються розміром, характерним для їх простору, що визначається максимальною кількістю доступних розмірів. По-перше, площа (2D) для прямокутника та об’єм (3D) для паралелепіпеда - величини, що визначають, скільки місця фактично займають сутності. Тоді розмір, непридатний для цього простору, визначається кількістю розмірів, що на одну одиницю менше цього простору, розміром, що представляє сутність, яка геометрично «закриває» це тіло: периметр (1D) у випадку прямокутника, відповідно бічна площа (2D ) у випадку паралелепіпеда.
Поширюючись, гіперпаралеліпіпед буде визначатися a hipervolum (4D) та a бічний об'єм (3D), представлений сумою об’ємів паралелепіпедів на його кінцівках. Тому що якщо прямокутник закритий відрізками, а паралелепіпед - прямокутниками, то гіперпаралеліпіпед буде закритий паралелепіпедами, так? Точно, 8, які ви визначили трохи раніше.
Для початку перелічимо відомі геометричні формули.
Інтуїтивно, слідуючи формулам 2D та 3D, шукаючи правило і поширюючи його на 4D, ми спокусимося повірити, що:
Це перевірені формули для попередніх двох випадків. Для поперечного об'єму гіперпаралеліпіпеда демонстрація не потрібна, просте відстеження паралелепіпедів в його кінцівках, формули обчислення обсягу яких ми знаємо, достатньо для того, щоб зауважити, що інтуїція була правильною.
Для гіперобсягу для демонстрації формули можна використовувати інтегральний метод обчислення. За аналогією з обчисленням площі за простим інтегралом, відповідно розрахунком об’єму за подвійним інтегралом, визначення гіперобсягу буде проводитися за допомогою потрійного інтегралу, як показано нижче. Хоча в потрійній інтегральній математиці за обсягом зазвичай прийнято представляти "щільність", четвертий фізичний вимір може характеризувати її ще краще.
Через те, що ми вибрали ці сутності таким чином, що вони містять лише паралельні сторони, інтегральний розрахунок стає дуже простим, всі функції, які потрібно інтегрувати, є фактично постійними:
Прямокутний гіпертетраедр
Тепер, коли ми зігріли наші думки цим дуже простим випадком, давайте розглянемо друге тіло, а саме прямокутний гіпертетраедр. Як і в попередньому випадку, ми продовжимо, спостерігаючи, як він виникає, починаючи з прямокутного трикутника.
Тепер замість того, щоб «намалювати» або «помножити» трикутник у площині xy вздовж осі z, ми візьмемо точку на осі z, на деякій відстані від площини трикутника, і об’єднаємо її з усіма кутами. отримуючи таким чином прямокутний тетраедр. Наче ми «множимо» трикутник, «зменшуючи» його постійно, до кінцевої точки. Таким же чином, розглядаючи цей час точку на осі q за межами простору x-y-z і поєднуючи її з чотирма точками прямокутного тетраедра, отриманого раніше, ми сформуємо прямокутний гіпертетраедр.
І в цьому випадку для кращого огляду ви можете зробити тривимірну модель, як показано нижче, починаючи з прямокутного тетраедра і проводячи ребра від кожного з його кутів до точки на осі q, помилково перпендикулярної до всіх інших. три з простору xyz: чи можете ви визначити чотири тетраедри, що з’явилися, і розмежувати 4D-тіло? Я впевнений, що так.
Відповідними геометричними формулами в цьому випадку будуть:
Знову ж таки, формули, які доводять істину в 2D та 3D.
Бічний об’єм знову відносно легко довести, слідуючи за зображенням та ідентифікувавши чотири обсяги прямокутних тетраедрів, формули яких ми знаємо, плюс об’єм базового тетраедра, розрахований за розширеною теоремою Де Гуа. І демонстрація потрійного об’єму інтегрування гіпер об’єму гіпертетраедра полягає в наступному (тут все стає дещо складним, оскільки функції інтегрування, хоч і лінійні, більше не є постійними, але все зменшуються з певним нахилом):
Для ще кращої візуалізації, подібної до процесу, за допомогою якого тривимірне тіло проектується в трьох площинах, таким чином досягаючи подання в "чіткому", і чотиривимірні тіла можуть бути спроектовані в чотирьох 3D-просторах, як показано нижче, отримання таким чином "вигляд" у кожному з чотирьох компонентних просторів гіперпростору на досліджуване гіпертіло:
Як я закликаю вас моделювати, малювати та аналізувати інші чотиривимірні тіла. І якщо вам цікаво, чому було б цікаво мати візуальне зображення абстрактних тіл, визначених у більших вимірах, ніж конкретний світ, скажімо просто так, оскільки ми не можемо знати, коли і як більш складні світи покличуть нас досліджувати їх.