Позиційні взаємозв’язки між двома колами в математичному студентському словнику
Два кола не можуть мати жодної спільної точки, торкатися рівно в одній точці або перетинатися рівно в двох точках.
Можливі структури перетину отримують аналітично, досліджуючи відповідні кругові рівняння загальних розв’язків.
Використовуючи т. Зв Чотирилистий, в яких виникають усі можливі позиційні відносини, слід обговорювати можливі позиційні відносини між двома колами.
Кола k 1 і k 4 не мають спільних точок. Крім того, вони мають особливе положення один до одного - вони мають однаковий центр. Два кола в цьому положенні також називають концентричними .
Кола k 2 і k 3 мають рівно одну спільну точку. Цю спільну точку також називають точкою дотику кіл k 2 і k 3. У цьому випадку початком О є точка контакту.
Взагалі, точка дотику B двох кіл k і k 'завжди лежить на Прямі лінії, що з'єднують два центри M і M 'двох кіл, бо якби його не було, то отримали б другу точку B' ≠ B, віддзеркалюючи B в M M '¯, яка також лежала б на обох колах. Це суперечило б унікальності контактної точки В.
Кола k 1 і k 2 перетинаються рівно в двох точках (точки перетину n).
Оскільки периметр трикутника чітко визначений, два різних кола не можуть мати більше двох спільних точок. З цього також випливає наступне загальне твердження.
- Вирок: Якщо два кола k і k 'перетинаються в двох точках A і B, пряма через A і B перпендикулярна прямій, що з'єднує два центри кіл M 1 і M 2 .
Доказ:
Згідно з вищезазначеними міркуваннями, точка А не може лежати на прямій, що з'єднує дві центральні точки. Якщо зараз відбивається точка A при M 1 M 2 ¯, точка зображення A 'очевидно лежить на обох колах k і k', тому має застосовуватися A '= B.
Тепер ми хочемо позиційних відносин двох кіл аналітично визначити. Для кіл те саме стосується прямих ліній і площин:
Розрізи геометричних об’єктів отримують шляхом пошуку спільних рішень рівнянь, що описують відповідні об’єкти.
Необхідні для цього розрахунки не представляють особливої складності для району. Однак, якби ми загалом працювали з невідомими коефіцієнтами, огляд був би втрачений дуже швидко. Тому має бути достатньо типового прикладу, в якому обговорюються всі необхідні кроки.
- Приклад: Слід дослідити, як коло з центром M 1 (0; 3) і радіусом r 1 = 1 L E і коло з центром M 2 (3; 0) з радіусом r 2 = 7 L E лежать один одному.
Координати (x S; y S) можливих спільних точок повинні задовольняти рівнянням обох кіл, тому вона повинна застосовуватися:
(I) x S 2 + (y S - 3) 2 = 1 (I I) (x S - 3) 2 + y S 2 = 7
Тепер ми спочатку вирішимо дужки:
(I ') x S 2 + y S 2 - 6 y S + 9 = 1 (I I') x S 2 - 6 x S + 9 + y S 2 = 7
Якщо тепер відняти друге рівняння від першого, всі квадратні доданки опущені:
6 x S - 6 y S = - 6 b z w. y S = x S + 1 (∗)
Покладемо це рівняння в (I), обчислимо дужки і нарешті отримаємо:
x S 2 - 2 x S + 3 2 = 0 (∗ ∗)
На цьому етапі, однак, загальний позиційний взаємозв'язок двох розглянутих кіл також вирішується в цьому прикладі. Наші міркування призвели до квадратного рівняння в x S, яке не може мати рівно одного або двох різних рішень.
Відповідно, кола, описані рівняннями (I) та (II), не мають, точніше однієї або рівно двох точок спільного. Набір рішень - включаючи позиційний зв’язок двох кіл - залежить від дискримінанта D, для якого в даному випадку застосовується D = 1 - 3 2 0. Отже, рівняння (∗ ∗) не має реального розв’язку, а отже, два кола, які ми розглядали, не мають спільної точки.
Якби розв'язки дали результат, координати y спільних точок можна було б легко визначити за рівнянням (*).
Оскільки квадратне рівняння не може мати більше двох розв’язків, два різних кола не можуть мати більше двох спільних точок. Це ще раз підтверджує наші (іміджево-геометричні) міркування, викладені вище.
Примітка: Якщо кола описуються векторними рівняннями, процедура може бути аналогічною або з векторного рівняння розробити відповідне координатне рівняння.