Примусово затухаючий маятник
Ми знаємо, що рівняння простого маятника, що складається з маси на кінці дроту, що звисає в нерухомій точці і без тертя, має вигляд
де l - довжина маятника, g - прискорення сили тяжіння. Це рух з 2 ступенями свободи (для вирішення рівняння потрібні 2 початкові умови). Рух простого маятника завжди регулярний. Якщо є тертя, рух згасає, і маса повертається у положення рівноваги, яке є фіксованою точкою атрактора. З іншого боку, ми можемо мати дисипативну систему, яка може створювати хаотичні режими, якщо ми додаємо тертя та підтримку; рівняння буде тоді
де 2 - коефіцієнт демпфування і є належною пульсацією системи. Ми встановимо так, щоб повний оберт відповідав x = 1, і щоб обслуговування мало одиницю періоду; тоді ми маємо і
Дивний атракційний сюжет
x, будучи (до коефіцієнта) кутом маятника з вертикаллю, ми можемо ідентифікувати x з x + 1, що представляє ту саму точку. Ми фактично візьмемо дробову частину x, якщо x> 0, а дробову частину x збільшимо на 1, якщо x карта періоду-1, яка є стробоскопією періоду, рівного періоду утримання, тобто - скажемо, що ми розглянемо точки фазового простору, досягнуті, коли час кратний періоду, наприклад для t = 0, 1, 2, 3.
Беремо рівняння у вигляді, який насправді є попереднім (ми встановлюємо і).
Вибираємо c = 0,2 і
> a: = op (1, op (1, p)): (витягуємо список пунктів)
> list1: = op ([]): для i до (nops (a) -1)/10 do
op (2, op (10 * i, a))] fi od: (беремо дробову частину, якщо x> 0, інакше 1 + дробову частину)
Тонкошарова фрактальна структура аттрактора видно набагато краще, оскільки число точок стає більшим, що ще більше подовжує час обчислень. Ця структура характерна для явища розтягування-складання, операції змішування, що веде до хаосу.
Поведінка відповідно до амплітуди форсування
Повернемося до низької амплітуди виштовхування; після перехідного режиму маятник регулярно коливається по обидва боки свого положення рівноваги, що призводить до еліпсу у фазовій площині (x, u). Якщо сила примусу зростає, амплітуда коливань також збільшується, і, якщо це перевищує половину обороту, маятник зможе здійснити повні оберти: маятник зупиняється.
Потім ми спостерігаємо хаотичний перехідний режим, з якого маятник виходить, щоб закріпитися в одному з трьох можливих режимів, який є або режимом регулярних коливань, або режимом, коли маятник регулярно обертається в одному напрямку з частотою примушування, так чи інакше. Вибір кінцевого режиму залежить від початкових умов; є три басейни притягання:
крок = 0,1, рядок = червоний, сцена = [t, x]); (3 початкові умови)
Існують 3 можливі режими для однакових значень параметрів відповідно до початкового стану і, отже, три аттрактори. Існує багатостабільність.
Поведінка насправді є складною і дуже чутливою до значень параметрів. Для сусіда 2.17 системі не вдається зафіксуватися на одному з трьох попередніх режимів, і аттрактор стає хаотичним за сценарієм, який нагадує про перерву:
Опція сцена = [t, x] отримує:
Система деякий час повертається в одному напрямку, а потім раптово змінює напрямок.
Простежимо аттрактор карти періоду-1 за тією ж програмою, що і для дивного аттрактора, на час між 100 і 800:
Ми повинні порівняти цей малюнок з малюнком 9.1, ескізом якого він є. Ми бачимо креслення дивного аттрактора з його внутрішньою структурою.
Якщо ми збільшимо форсування, хаотичні фази стискаються, і режим стає відверто хаотичним.
Для вищих значень форсування знаходять регулярні режими, потім знову хаотичні для ще вищих значень.
Безкоштовний генератор
Це генератор з двома лунками, який також називають генератором Даффінга.
Рівняння екранованого вільного ангармонічного генератора має вигляд
Помножуючи та інтегруючи, це приходить
що трактується як збереження механічної енергії суми кінетичної енергії (маса приймається рівною 1) та потенційної енергії, представленої наступним чином:
Це справді генератор із двома свердловинами: у нас є дві нерухомі точки, для яких є центри для незатухаючого генератора та свердловини, якщо останній затухає, і точка сідла для x = 0.
Давайте намалюємо фазовий портрет, взявши кілька початкових умов:
Розглянемо тепер затухаючий генератор з рівнянням
Давайте намалюємо фазовий портрет:
Через тертя механічна енергія зменшується, точка наближається за годинниковою стрілкою; в даний момент вона потрапляє в одну з двох свердловин і обертається навколо неї до остаточного положення на дні свердловини. Оскільки система залежить від двох параметрів (двох ступенів свободи), можливого хаосу не існує.
Примусовий генератор
Це вже не так, якщо ми введемо синусоїдальне примушення, як це має місце для рівняння
Давайте намалюємо новий фазовий портрет з:
Ми бачимо, що траєкторія хаотична. Осцилятор обертається іноді навколо нерухомої точки, іноді навколо іншої або навколо обох, не вдаючись зафіксувати.
Ми можемо намалювати аттрактор карти 1 періоду осцилятора. Для цього необхідно взяти форсування періоду 1 форми; це дорівнює діленню на 4 і на 2; беремо:
Атрактор потовщується, якщо тертя зменшується.
Ми також можемо побудувати за один раз 4 карти-1 карти в різний час, побудувавши за допомогою pointplot3d одну точку з 5, що відповідає 4 точкам за період, оскільки крок інтеграції 0,05, а період - 1 Точки тієї ж карти всі ставлять на одну і ту ж абсцису, приймаючи дробову частину часу:
Рівняння маятника
Незатухаючий параметричний маятник має загальне рівняння
Це рівняння отримується, коли один із параметрів маятника з часом змінюється, наприклад для простого маятника, точка прикріплення якого коливається вертикально.
Якщо h (t) має вигляд, ми отримуємо рівняння
Коли справа доходить до гойдалки, що по 2 людини натискають на одну сторону; виникає параметричний резонанс, коли частота збудника вдвічі перевищує власну частоту маятника.
Іншим прикладом параметричного маятника є намагнічена голка, розміщена в центрі пари котушок Гельмгоца, в якій пропускається суперпозиція постійного та змінного струму. Голка піддається дії декількох сил, момент яких дорівнює; її рівняння записується з урахуванням демпфірування рідини
де кут голки з напрямком фіксованого амплітудного поля момент інерції голки, m магнітний момент голки. Це рівняння справді є рівнянням параметричного маятника.
Еволюція траєкторії
Ділянка як функція від t для параметричного рівняння маятника та у ньому:
Коли амплітуда мала, збудник віддає енергію маятнику, а амплітуда останнього збільшується. Але період маятника також збільшується з амплітудою, так що збудник поступово зміщується, а амплітуда зменшується. Отже, у нас є удари.
За наявності демпфування удари швидко зменшуються, а амплітуда вимушеного режиму стає постійною:
Період коливань удвічі більше періоду збудника.
Якщо ми збільшимо амплітуду маятника, то збільшиться, і через перехідні процеси кут скоро перевищить; маятник зупиняється. Бо ми знаходимо:
Для одного і того ж значення параметрів існують три різні постійні режими в залежності від початкових умов: регулярні коливання в період, подвійний від збудника, режим, коли маятник завжди обертається в одному напрямку з частотою збудника і ідентичний режим у зворотному напрямку. Існує багатостабільність.
При подальшому збільшенні маятник не встигає оселитися на одному з трьох режимів, а постійно стрибає з одного на інший через перехідні процеси: траєкторія стає хаотичною.
Сюжет атрактора
Ми обираємо. Тоді режим хаотичний:
Щоб побудувати графік атрактора, ми змінюємо t на та x на так, що у нас буде період 1 для x та 0,5 для t. Потім ми повинні помножити другого члена на:
> list1: = op ([]): для i до (nops (a) -1)/10 do
якщо op (1, op (10 * i, a))> 0, то list1: = list1,
[frac (op (1, op (10 * i, a))), op (2, op (10 * i, a))]] else list1: = list1,
[1 + frac (op (1, op (10 * i, a))), op (2, op (10 * i, a))]]:
Пульсації знову є результатом процесу розтягування-згортання диференціальних рівнянь.
Ми також можемо отримати хаотичний рух за допомогою намагніченої голки, підданої дії двох магнітних полів, одне нерухоме, а друге, що обертається з пульсацією. У певний момент голка робить кут із фіксованим полем, а нерухоме поле - це кут з полем, що обертається; отже, моментом дії магнітної сили є рівняння, отримане проеціюванням на вісь, перпендикулярну до площини руху
для незатухаючого руху.
Рівняння можна записати у спрощеній формі, додавши тертя рідини, відмітивши х кут замість
Візьмемо c = 0,1, помножимо t і x на 2, щоб мати період 1 для x і 2 для t; тоді ділиться на 2 і ми можемо писати
Динаміка складна. Ми спостерігаємо хаотичний атрактор, коли досягається значення, близьке до 0,7; цей аттрактор досягається каскадом подвоєння періоду, як ми можемо побачити, побудувавши 3 траєкторії:
> для i в [0.64,0.67,0.68] виконайте p [i]: = фазовий портрет ([D (x) (t) = u,
Для (верхнього креслення) період дорівнює 2, що є періодом обертового поля.
Для (середнього малюнка) період дорівнює 4 (від 85 до 89, наприклад); це подвійний період обертального поля.
Адже період знову подвоївся (наприклад, з 85 до 94); це в 4 рази більше періоду обертового поля.
Адже система хаотична; вона коливається нерегулярно і час від часу стрибає на один або кілька поворотів; її дивним атрактором буде аттрактор А; намалюємо траєкторію, потім аттрактор:
> list1: = op ([]): для i до (nops (a) -1)/20 do
> list2: = op ([]): для i to nops ([list1]) do
якщо op (1, op (i, [list1]))> 0,7, то list2: = list2,
else list2: = list2, [list1] [i] fi od:
При значенні, близькому до 0,725, компас має тенденцію ловитись на обертовому полі; аттрактор раптово зростає і стає аттрактором B: він зазнає кризи:
Коли продовжує зростати, ми маємо послідовність регулярних і хаотичних траєкторій з атрактором типу B.
Траєкторія руху кульки, яка відскакує між двома стінками, підпорядковується закону Декарта відбиття при кожному ударі (кут відбиття дорівнює куту падіння). Цей простий закон може призвести до хаотичної траєкторії, якщо куля відскакує між квадратом і колом з однаковим центром всередині квадрата.
Більярд між двома колами
Почнемо з простого випадку кульки, яка відскакує між двома колами з однаковим центром.
Два кола мають свої центри в O і мають радіус 1 і 2. Початковою точкою є точка, а перша точка знаходиться на колі радіуса 1 і на лінії, похилій на 13 по горизонталі, з координатами (Le наступна точка на великому колі буде симетричним відносно радіуса, що проходить через. Тому k має константу, тобто
Більше того, відстань Для усунення симетричної порівняно з центром, яка задовольняла б рівнянням, додається умова Навіть точки отримуються таким чином, непарні точки мають відстань до центру, рівну 1.
x1: = cos (альфа); y1: = гріх (альфа); (початкова точка)
> список: = рядок ([x0, y0], [x1, y1]): для i до 22 виконайте if frac (i/2) <> 0, тоді (якщо n непарних)
elif frac (i/2) = 0, тоді (якщо n парних)
x0: = x1: y0: = y1: x1: = x2: y1: = y2 fi od:
> list2: = list: (починаємо спочатку)
Помилка множиться на 2 при кожному відображенні, але рух не є хаотичним, оскільки кореляція між 2 сусідніми рухами у початку координат залишається. Почнемо знову з квадратного більярдного столу.
Квадратний більярдний стіл
Цього разу куля відскакує, дотримуючись закону відбиття Декарта, між колом радіуса 1 і квадратом з однаковим центром сторони 2.
Куля починається з початкової точки; вона потрапляє в коло, якщо абсолютне значення відстані від початку координат до початкової лінії менше радіуса кола; ця відстань d задається, де p - ордината на l ' початок лінії рівняння -
Якщо, отже, куля потрапила в коло, точка удару є спільною для прямої та кола, така що абсолютна величина різниці абсцис є мінімальною, щоб видалити інше перехрестя.
Тоді відбита траєкторія буде симетричною траєкторії падаючого по відношенню до нормалі, тобто промінь, що проходить через Si, є кутом цього променя з горизонталлю, кут відбитої траєкторії з горизонтальними сироватками буде перетином відбитої лінії проходячи через схил з першої зустрічається сторони площі.
Для цього ми шукаємо 4 перетину прямої з 4 сторонами або продовженнями сторін; правильним буде перетин, який перетинає сторону, а не її продовження і в напрямку радіуса, тобто проекція відбитого на промені променя повинна бути> 0.
Залишається випадок, коли траєкторія не перетинає коло. Тоді перетин робиться на квадраті, а не на його продовженні в точці, що відрізняється від початкової точки. Тоді відбитий кут протилежний куту падіння.
Все це дає таку програму:
> список: = op ([]): для i до 100 do: p: = y0-tan (alpha) * x0:
d: = abs (p * cos (alpha)): (перший випадок, частка потрапляє в коло)
c: = subs (sol [1], x): e: = subs (sol [2], x): якщо abs (x0-c)
тоді x1: = c: y1: = subs (sol [1], y) ще x1: = e: y1: = subs (sol [2], y)
fi: (ми прибираємо інше перехрестя)
d2: = вирішити (subs (y = -a, eq), x): (правильним перетином є той, що перетинає сторону в напрямку радіуса)
ще x2: = d2: y2: = - a fi: список: = список, рядок ([x0, y0], [x1, y1]),
ще x2: = d2: y2: = - a fi: список: = список, рядок ([x0, y0], [x2, y2]):
x0: = x2: y0: = y2: альфа: = - альфа-фід:
Траєкторія руху кулі хаотична і залежить від чутливості до початкових умов; якщо ми починаємо 2 кульки з тієї самої початкової точки з дуже близькими кутами, траєкторії дуже швидко відключаються.